第2补充知识概率论基础

1、基本概念基本概念条件概率与统计独立条件概率与统计独立随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布随机变量的数字特征随机变量的数字特征1、随机现象：在个别试验中结果不确定，但在大量重复试、随机现象：在个别试验中结果不确定，但在大量重复试验中结果呈现规律性的现象。如抛硬币；炮击同一目标时弹验中结果呈现规律性的现象。如抛硬币；炮击同一目标时弹着点。着点。一、基本概念一、基本概念2、随机试验：满足三个条件的试验：、随机试验：满足三个条件的试验：（1）可以在相同的条件下重复进行；）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验）每次试验的可能

2、结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。3、样本空间：对于随机试验样本空间：对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知尽管在每次试验之前不能预知试验的结果试验的结果,但试验所有的可能结果组成的集合是已知的但试验所有的可能结果组成的集合是已知的.这这个集合称为样本空间。例如：抛硬币等。个集合称为样本空间。例如：抛硬币等。一、基本概念一、基本概念lim( )AnnP An概率与频率的关系：随机事件：随机试验样本空间的子集称为随机事件。随机事件：随机试验样本空间的子集称为随机事件。一个事

3、件可能是样本空间的一个元素（基本事件），也可能一个事件可能是样本空间的一个元素（基本事件），也可能是一些结果的集合。是一些结果的集合。4、概率：用数字、概率：用数字P(A)表示事件出现的可能性，表示事件出现的可能性， P(A)叫叫A的的概率。概率。二、条件概率与统计独立二、条件概率与统计独立1、条件概率的定义：、条件概率的定义： 设设A、B为随机试验的两个事件，且为随机试验的两个事件，且P(A)0，则称，则称()()(/)(/)( )( )P ABP ABP B AP A BP AP B或为条件概率。2、概率的乘法定理：设、概率的乘法定理：设P(A)0，则有，则有()(/) ( )P ABP

4、B A P A二、条件概率与统计独立二、条件概率与统计独立3、全概率公式：设、全概率公式：设S为样本空间，为样本空间，A为其中的一个事件，为其中的一个事件， B1、 B2. Bn为为S的一个划分，且的一个划分，且P(Bi)0 (i=1、2)，则，则11221( )(/) ()(/) (). (/) ()() (/)nnniiiP AP A B P BP A B P BP A B P BP B P A B划分：划分：1,ijniiBBijBS 划分例子：划分例子：随机试验随机试验“掷一枚骰子掷一枚骰子”。S=1,2,3,4,5,6， B1=1,2,3、 B2=4,5、 B3=6是是S的一个划分。

5、的一个划分。但但B1=1,2,3、 B2=3,4、 B3=5,6不是不是S的划分。的划分。二、条件概率与统计独立二、条件概率与统计独立4、贝叶斯公式：、贝叶斯公式： 设设B1、 B2. Bn为为S的一个划分，且的一个划分，且P(Bi)0 (i=1、2)， A为其中的一个事件，为其中的一个事件， 则则1()() (/)(/)( )() (/)iiiiniiiP ABP B P A BP BAP AP B P A B例题：某电子厂的晶体管由三厂家供货，根据以往记录有如下数据：假设三例题：某电子厂的晶体管由三厂家供货，根据以往记录有如下数据：假设三厂家的产品在仓库中均匀混合，无区别标志。厂家的产品在

6、仓库中均匀混合，无区别标志。1、在仓库中随机取一只晶体、在仓库中随机取一只晶体管，求是次品的概率。管，求是次品的概率。2、在仓库中随机取一只晶体管，已知是次品，分析、在仓库中随机取一只晶体管，已知是次品，分析它出自三厂家的概率各是多少。它出自三厂家的概率各是多少。厂家厂家次品率次品率供货份额供货份额10.020.1520.010.8030.030.05112233( )(/) ()(/) ()(/) ()0.0125P AP A B P BP A B P BP A B P B111() (/)(/)0.24( )P B P A BP BAP A解：设解：设A表示表示“取出的一只是次品取出的一只

7、是次品”，Bi表示表示“所取到的产品是第所取到的产品是第i厂家的厂家的”。易知易知B1、 B2、 B3为为S的一个划分，的一个划分，且且P(B1)=0.15，P(B2)=0.8，P(B3)=0.05，P(A/B1)=0.02, P(A/B2)=0.01,P(A/B3)=0.051、由全概率公式：、由全概率公式：2、由贝叶斯公式：、由贝叶斯公式：2(/)0.64P BA 3(/)0.12P BA 二、条件概率与统计独立二、条件概率与统计独立5、事件独立：、事件独立： 某一事件的出现未提供另一事件出现概率的信息。某一事件的出现未提供另一事件出现概率的信息。(/)( )(/)( )()(/) ( )

8、(/) ( )( ) ( )P B AP BP A BP AP ABP B A P AP A B P BP A P B 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e，若对每一个，若对每一个e 属于属于S，有一个实数有一个实数X(e)与之对应，从而得到一个定义在与之对应，从而得到一个定义在S上的单上的单值实值函数值实值函数X=X(e)，称为随机变量。，称为随机变量。三、随机变量及其分布三、随机变量及其分布（一）随机变量的定义（一）随机变量的定义例如：对抛硬币试验，例如：对抛硬币试验， S=正面，反面正面，反面，定义变量，定义变量X 0,( )1,eXX ee正面反面11niiP三、随机变

9、量及其分布三、随机变量及其分布（二）离散型随机变量的分布列（律）（二）离散型随机变量的分布列（律）Xx1x2xnPiP1P2Pn离散型随机变量：可能的取值能够一一列举。离散型随机变量：可能的取值能够一一列举。1、定义：设、定义：设X是一个随机变量是一个随机变量,x是任意实数是任意实数,函数函数)(xXPxF称为称为X的分布函数。的分布函数。现实意义现实意义:对于像元件的寿命对于像元件的寿命t这样的随机变量这样的随机变量,我们往往关我们往往关心心t大于某值（例如大于某值（例如10000小时）的可能性小时）的可能性,而不是某个器件而不是某个器件的的t=11111.235小时。小时。三、随机变量及其

10、分布三、随机变量及其分布（三）连续型随机变量的分布函数（三）连续型随机变量的分布函数)(xXPxF2、性质：、性质： 可以看出：可以看出：(1)F(x)是一个单调不减函数是一个单调不减函数(2) 0=F(x)=1 且且 F(-)=0 F(+ )=1 三、随机变量及其分布三、随机变量及其分布（三）连续型随机变量的分布函数（三）连续型随机变量的分布函数( ,),F x yP Xx Yy3、两随机变量的联合分布函数：、两随机变量的联合分布函数：三、随机变量及其分布三、随机变量及其分布（三）连续型随机变量的分布函数（三）连续型随机变量的分布函数4、二维随机变量（、二维随机变量（X、Y）关于）关于X和和

11、Y的边缘分布函数：的边缘分布函数：( ),( ,)( )lim( ,)( )lim( ,)yxF xP XxP Xx YF xF xF x yF yF x y 即：同理：如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x),存在非负函数存在非负函数f(x),使使对于任意实数对于任意实数x有有:xdttfxF)()(其中函数其中函数f(x)称为称为X的概率密度函数的概率密度函数也就有也就有:)()(xFxf1 1、定义定义: :（四）连续型随机变量的概率密度（四）连续型随机变量的概率密度三、随机变量及其分布三、随机变量及其分布1( )02( )( )1( )( )( )( )( )bb

12、aaf xf x dxFf x dxf x dxf x dxF bF a （）（ ）(3)2 2、性质性质: :（四）连续型随机变量的概率密度（四）连续型随机变量的概率密度三、随机变量及其分布三、随机变量及其分布2( , )( , )F x yf x yx y 3 3、二维随机变量二维随机变量(X(X、Y)Y)的联合概率密度的联合概率密度（四）连续型随机变量的概率密度（四）连续型随机变量的概率密度三、随机变量及其分布三、随机变量及其分布4 4、二维随机变量二维随机变量(X(X、Y)Y)关于关于X X和和Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度( )( , )( )( , )f xf x y dyf

13、yf x y dx5 5、随机变量随机变量X X和和Y Y统计独立的充要条件：统计独立的充要条件：( , )( ) ( )f x yf x f y1、单个随机变量的函数的分布：、单个随机变量的函数的分布： 设设Y和和X是单调函数关系，存在反函数是单调函数关系，存在反函数X=g(Y)，若，若X位于（位于（x0,x0+dx）,则则Y位于位于(y0,y0+dx)，这两个事件的，这两个事件的概率应该是相等的：概率应该是相等的：()()()()()fxd xfyd yd xd xfyfxfgyd yd y四、四、(连续连续)随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布x0 x0+dx x y0+dyy0y2

14、、两个随机变量的函数的分布：、两个随机变量的函数的分布： 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X1、X2）的概率密度）的概率密度f(x1,x2),求新随机变量求新随机变量 的概率密度。的概率密度。11122212(,)(,)YgXXYgXX四、四、(连续连续)随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布11122212(,)(,)XfYYXfYY反 函 数 ：11121212122212(,)( ,)( ,)ffyyf y yf x xJf x xffyy结论：雅可比行列式雅可比行列式2、两个随机变量的函数的分布：、两个随机变量的函数的分布： 四、四、(连续连续)随机变量的函数的分布随机变量的函数

15、的分布121211122212121212121211 1(,)( ,)( ,)(,)()(X XX Xyxxxyyyx xxxyxy yyyffyyJffyyf y yf x xJf x xfy yyfyfy 11111111221212221221=g( )=f( )=解：设其反函数=g ( ,)= +=f( ,)=-可得于是：利用边缘概率密度公式：121211111,)( )( ,)X Xyy dyfyfx yx dx最后：例题：已知二维随机变量（例题：已知二维随机变量（X1、X2）的概率密度）的概率密度f(x1,x2),求随机变量求随机变量 Y=X1+X2的概率密度。的概率密度。（2）

16、设）设连续型连续型随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x),若积分若积分dxxxf)(绝对收敛绝对收敛,则称该积分的值为随机变量则称该积分的值为随机变量X的数学期望。的数学期望。记为记为E(X)dxxxfXE)()(五、随机变量的数字特征五、随机变量的数字特征1、数学期望、数学期望（1）对）对离散离散随机变量，数学期望随机变量，数学期望n1iii)x(px)x(E 数学期望又称为数学期望又称为统计均值统计均值，实际就是对随机变量多个可，实际就是对随机变量多个可能的取值能的取值加权加权求和，权重就是各个值出现的相应概率。求和，权重就是各个值出现的相应概率。例题：甲乙两人进行打靶例题：甲

17、乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为X1,X2,他们得他们得分布分别为分布分别为:X1pk0 1 20 0.2 0.8X2pk0 1 20.6 0.3 0.1五、随机变量的数字特征五、随机变量的数字特征1、数学期望、数学期望311i1ii 1322i2ii 1E(X )x p(x )0*0 1*0.22*0.81.8E(X )x p(x )0*0.6 1*0.32*0.10.5五、随机变量的数字特征五、随机变量的数字特征1、数学期望、数学期望数学期望的性质：数学期望的性质：（1）对常数）对常数C，E(C)=C（2）对常数）对常数C，E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X

18、)+E(Y)（4）若随机变量）若随机变量X与与Y独立，则独立，则E(XY)=E(X) E(Y)例题：若连续型随机变量的概率密度如下，求数学期望。例题：若连续型随机变量的概率密度如下，求数学期望。五、随机变量的数字特征五、随机变量的数字特征1、数学期望、数学期望1*ax axbbbexedxxedxabbbaa解：E(X)1,( )0,x abexaf xbxa设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若 存在，则称存在，则称它为它为X的方差，记为的方差，记为D(X)(2XEXE)()(2XEXEXD五、随机变量的数字特征五、随机变量的数字特征2、方差：随机变量的方差表达了、方差：随机变量的方差表达了X的取值与其数学期望的的取值与其数学期望的偏离程度偏离程度波动的范围。波动的范围。2222222)()()()()(2)()()(2)()(XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD公式推导公式推导:五、随机变量的数字特征五、随机变量的数字特征2、方差：、方差：方差的性质：方差的性质：（1）对常数）对常数C，D(C)=0（2）对常数）对常数C，D(CX)=C2D(X)（3） 若随机变量若随机变量X与与Y独立，则独立，则D(X+Y)=D(X)+ D(Y)定义定义: 量量(, )()( )CoV X YEXE XYE Y称为