幻矩和多维新建四维幻阵的加框

1、幻阵的最小素材（1）这是偶阶幻阵中的最小素材，有 4*4*2*2 阶吗？为什么？这里拨和是每一堆中同位项之和，如 7+126+116+9=258=12+113+127+6=（2）将上列幻阵的层与堆互换，即成四层两堆，这时两堆的同位项为对称数；用自然数 1 到128 制作的 4 * 4 * 4 * 2阶幻阵Bw(i,j,k,p)如下：这是71069154这是116294865这是122233875这是幻阵的第 1堆 第126193479堆 第91层121018857125203380114314667113324568361079055181059253111028758幻阵的第1层115304

2、766层1271051281736773578865989568560堆 第幻阵的第4211728417210996499883621109550堆 第9784613243776层274271幻阵的第211321191242140731202544692581232239749982631129352258，竖和为 258，拨和为 129816494514370此幻阵，其行和为，列和为经检验， 这是一个标准幻阵！（3）对称和 w=n*m*r*s+1=129, 超过一半（大于 64）的大整数减去成为负数，上列的 4 * 4 * 4 * 2这是幻阵的第阶1幻阵 Bw(i,j,k,p)的剖析如下：堆

3、 第 1层8-24-3753层-143047-63层-82437-53层14-30-47637-23-385412-28-4157-42033-49-153146-62-31934-50-163245-6111-27-4258这是幻阵的第1堆 第 3-132948-64-21835-5110-26-43595-21-40569-25-4460堆 第3-19-34506-11736-52-22-3955116-32-4561这是幻阵的第2-72338-54-122841-574-20-334915-31-4662-112742-58这是13幻阵的第2堆 第 32-102643-59-52140-

4、56-92544-60-62239-551-17-3652-29-4864-18-3551此幻阵，其行和为 0 ，列和为 0，竖和为0，拨和为0，是一寻常解。2009 年 9 月 23 日星幻阵的次小素材（1）这是偶阶幻阵中的次小素材，由 6*4*2 阶幻立阵正交延拓而成。n*m*r*s=192 ，即用自然数 1 到 192 构造的6 * 4 * 2 * 4阶幻阵 Bw(i,j,k,p)如下：这是998611574幻阵的第451堆第1层5671821917060376812129168231197225263112177341308142这是4615530167幻阵的第2堆第18层931385

5、9126128520772433736412211126411146391622752103这阵的第3堆 第5层1395812770475497961058011731661131791幻阵的第49这是53136651241094堆第1层9887114756214540161281017522353212879181013865043192579此幻阵，其行和为，列和为，竖和为 193，拨和为 386经检验，这是一个标准幻阵！（2）由上列幻阵做平转置得到4 * 6 * 2 * 4层阶幻阵 Bw(i,j,k,p)如下：这是995645幻阵的第1堆63第 11428941

6、51第 1315214190第 1149291144第 1928611574941371487层147893138层514613996层140107603778125164119722513081165110423幻阵的第34堆42这是46238163261524116733364415210310055这是8510859771261207112982幻阵的第3堆4419110249475497这是53395810516212780277011714831328811376幻阵的第614堆57128698410139818748此87101147562143951067911813150431

7、92，拨和为 3861145403861612813193幻阵，其行和为579 ，列和为幻阵！ 她是，竖和为经检验，这是一个标准表现的双层形式。（3）由上列幻阵做层堆互换得到 4 * 6 * 4 * 2阶幻阵Bw(i,j,k,p)如下：这是995645幻阵的第1堆63第 1142894151第 3149291144第4618510055层539818748层147893138层1409561458611574315212851731162473336423幻阵的第34堆90这是1921431501475497这是948710114175752262358811376幻

8、阵的第612堆130 81 1610778119722538163261541521031487这是514613996此3716410859771261207112982幻阵的第2堆第44191102493571061287969118841311015043192，拨和为39581051621278027701171483132403861612813幻阵，其行和为 579 ，列和为，竖和为 386193经检验，这是一个标准幻阵！ 她是双堆形式。（4）对称和 w=n*m*r*s+1=193, 超过一半（大于 96）的大整数减去成为负数，幻阵 Bw(i,j,k,p)的剖析如下：上列的 4 *

9、6 * 4 * 2阶1堆63-81-1634这是-94幻阵的第第-51894-421层46-8-9355层53-95-648层-4686-786829-1974-72-2523-381285-5930-20-7767-262473-71-153364-823-41-52905645-7-60-3711这是-5幻阵的第1堆 第39-173166-8021-27-707636-14-8361-44291-49-578710-4065-79-1832-697522-28-846235-1392-50-4314754-96-39-5888这是94-86幻阵的第78-742堆 第1-635138-302

10、615-34-56-4576037-11-68-29197225-238116-34-89-442893-55层-53956-48-12-85592077-67-24-7371-33-64824152-90这是幻阵的第2堆 第35-47-5496此-93958-8817-31-6680-212770-76-361483-6144-2-914957-87-1040-657918-3269-75-222884-62-3513-925043-1幻阵，其行和为 0 ，列和为0，竖和为 0 ，拨和为 0， 是一个寻常解。2009 年 9 月 24 日星期四幻阵的加框构想随着幻立阵的加框工程完成，幻阵的加

11、框就提到议事日程上。在空间中，问题会更错综复杂，更具性，其的收获及喜悦引诱我们无限遐想？设有一个 n*m*r *s 阶幻阵，它由自然数 1 至 n*m*r *s，共 s 堆，每一堆都是 n*m*r 阶幻立阵，当然要计算其行和、列和、柱和、拨和符合。n*m*r *s 阶幻阵的加框可分为以下四种：1、 加层：每一堆加上顶层与底层，成 n*m*(r+2) 阶幻立阵，仍是 s 堆；2、 加框：给每一堆套上一个幻立框，幻立框由前后左右四个竖立的侧面组成，每堆加框后成(n+2)* (m+2)* r 阶幻立阵，仍是 s 堆；3、 加堆：加上首、尾两堆，每堆是 n*m*r 阶幻立阵，每拨成(s+2)项；4、

12、加壳：将 1，2 两步综合操作就是加壳，：将 1，2，3 三步操作全部做到，成为(n+2)* (m+2)*( r+2)*(s+2)阶幻阵，是(s+2)堆，每堆( r+2)层，每层(n+2)行(m+2)列。加首、尾两堆的操作较难？可转化为加层操作，然后用层堆互换还原成加5、堆，例如 n*m*r *s 阶幻阵层堆互换后成 r 堆，每堆是 n*m *s 幻立阵。最终目标是制作出四素阶的幻阵。由制作的 5*11*3 阶幻立阵正交延拓成 5*11*3*5 阶幻阵，刊幻方第七期的 94 页上；层堆互换后成 5*11*5*3 阶幻阵如下：n*m*r*s=825即用自然数 1 到 825制作的5 * 11 *

13、 5 * 3阶幻阵这是251502593244475这是594245471252幻阵的第 1堆72564753107416堆752106420724第 1216647118层6204796281387603077041566009733465138339124783819525371547448469525639388317696541527153749956653473814748178912295326第 2层幻阵的第 13097011581403316533855978482052139211979029121762711330619449569137238731670024154750

14、915427371464856645503这是472253504595241这是505591242473254这是243474255501592这是64360557204601这是55920160364557这是60564259556203这是56558205602644这是7579924863堆41972362751110堆61755109418722堆10841772165754堆648第 3292218649120786478层3296184776261554863852833幻阵的第 116013775930670338259996333655522393249858166923735

15、494501699236373863209254352915574648466332736150幻阵的第 1第 4层7563087051571399833565238459625081817523394650116787293219第 578829422064611747663014328617层13327616480629层5504462693374636390319698225301517479354431740149483662幻阵的第 1702159136758310654381598100332818524395246823694375546447318697216403897489

16、454552615214848266135739幻阵的第 2第1370402259236798511632468399557137734263591923152859056742445622362126976718568547659111777144261289782615堆287785613412274336第 2414271338539462810层537465808幻阵的第 2256238800367404469400515126337791412637154965611335719531377142956942145830587267770183221624682幻阵的第 2堆611第

17、 3340层806797369401258240525136344703962657121153117744273601934602758956642318122462227076868446658776143290783堆411273第 4540463层幻阵的第 2403260237799366635466397535146814866011243035819131477258656842545729625268766184222778145262714288781614413275337538461809幻阵的第 2堆第 5层620260464158560这是345677239796368

18、40525739854515631467142264711784612202723394864648072156571145616835019431277542835642245926588570769182225623266780286堆496814415第 153537536层406719幻阵的第 373177673299285128510437189801135822379276453305744167035149273022851966688232325573791163这是86793165342679这是162344676350208堆200348206499812堆20949781

19、5176608第 270617861053239第 360753436765103层75763101409717层104407720576433幻阵的第 367430028173278439186803130507376278455132824741578435302949572822644417251668690667124235323571354582幻阵的第 328273379675296805127509436188452134821378280432304622944268766957435249372651870233321795这是678346堆813180第38761层7185

20、80幻阵的第 3480671297283734506438190802129823380277454131849172922744552067689666231324572355792164341这是794161343680349207500堆347210498811177609531第 517960653340764102410层762105408716577434301幻阵的第 32982847357667218780412650844027945113382537757943130310727230443696866683225753534942065454320652065123951

21、7234幻阵，其行和为 4543206512394543206520651239此，列和为，竖和为454320652065，拨和为454320652065123945432065206512394543206520651239幻阵！4543206520651239454320652065123945432065206512391239这是一个标准加层操作后成新的 5*11*7*3 阶幻阵，这大概是一年后的成果。2009 年 9 月 25 日星期五7幻阵的第三素材（1）这是偶阶而成，幻阵中的第三素材，由 6*6*2 阶幻立阵 D 与 4*2 幻阵按如下公式计算先生构造巧妙且有效，但有待于进一步探

22、讨、归纳及延伸。我对以上公式先做初步的归纳；D(i,j, p)可简记为 D，p=1,2 ; k=1,2,3,4 ; i,j,k,pN.i,j1,6，因双层幻立阵 D 的对称和 w= n*m+1=73，中值 u=w/2，则Bw(i,j,k,p)= D(i,j, p)6*36+ D(i,j, p)Bw(i,j,k,p)= 6*36+ 1- D(i,j, p)4*36+ 1- D(i,j, p)当 k=1, D< u 当 k=1, D> u 当 k=3, D< u当 k=3, D> u或k=2, D> u 或 k=2, D< u 或 k=4, D> u或k=

23、4, D< u .;n*m*r*s=2886 * 6 * 4 * 2即用自然数 1 到 288 用幻阵 Bw(i,j,k,p)如下：数拓展（是双堆形式）作成阶这是25827727123335这是103幻阵的第2851堆第1层2476923021822556536325268229244238414728382563412789273292642702244025021723152246462683026226927936堆22257263第 377204189195239219251层1751561621221422454854幻阵的第11211381601161691481501371

24、7711121078832088992882092021301651151611171541768182这是311218266286254这是1869121699幻阵的第 2堆144171109170第 15276层2472282652821626025194628133255288275112742125927287280496622022265249397259227582374324371642332362263722160455124824220102532673226第21285100507038层11413312716714717944241235幻阵的第2堆74 81200396

25、2132118616815112917312012614113915211217814515813420687153101124174118125135180102207185191113119，拨和为107此幻阵，其行和为 867 ，列和为867，竖和为578289经检验，这是一个标准幻阵！（2）将上列 6 * 6 * 4 * 2阶幻阵 Bw(i,j,k,p)的剖析如下：（对称和这是w =6 * 6 * 4 * 2+1=289，大于中值 u=w/2 的大整数减去 w成为负项）幻阵的第1堆 第1层426155-50-70-38层-114-133-31-12-1823335247-1629-25

26、-19-4-68-3334114-1115-2130-2729-17-20-10361 堆-74-81899282-1082 堆-2-9172010-362堆74 81-89-5132822-32-26第77-85-100-9410498第5-13-28-223226第-7785100-49-6657-4448546967-6540-39-72-5962-5852-4346-71-64565363-3768-60-45-514147这是103 -96幻阵的第37678-80105-8683-8793121 -141138 -139 -131143 -14084-7988-1019791-127

27、 -129137130 -128117122116 -112 -124 -125123-95-75-107-106 -102142 -120110 -126层111115 -135 -113-7399144 -118109 -119这是幻阵的第1311218-23-3-35-24-716-29251946-833-34-1-1411-1521-3027-42-61-55507038层4966-5744-48-54-69-6765-40397259-6258-5243-467164-56-53-6337-68604551-41-473这是-103-84幻阵的第9679-76-788086-838

28、7114 -121133 -138141 -131 -143140139134 -136 -132-90-88127129 -137 -130128 -11799575107101 -105 -93-9294-97106102 -82-104-122 -116112124125 -123-142120 -111 -115135113-110126 -144118 -109119-9173-99108 -98此幻阵，其行和，列和，竖和，拨和俱为0，是一个寻常解。2009 年 9 月 26 日空间中的刚体转动及变换1、二维平面上的转置在二维平面上的图形（幻方或幻阵）有着许多转形与变换，这里我们只说

29、其中最重要的转置。转置是行标 i 与列标 j 互换，把一个 n*m 幻阵变换为 m*n 幻阵，在某些情况下，这一变换是必要且有效用的。2、三在三中的平转置中，n*m*r 幻立阵的形象是一个水平放置的长方体，参阅下图。将其每一层的行标 i 与列标 j 互换，成为 m*n* r 幻立阵，这是平转置。3、刚体的向前滚动（前滚动）n*m*r 幻立阵似长方体可以在三中做刚体滚前滚动是朝 i 轴正方向滚动 90 度，将原第一面(1mr)转成顶层，成为一个新的 r*m*n 阶幻立阵。4、刚体的横向滚动（横滚动）n*m*r 幻立阵的横向滚动是朝 j 轴正方向滚动 90 度，将原第一片(1nr)转成顶层，成为一

30、个新的 n*r*m 阶幻立阵。5、幻阵的层堆互换n*m*r*s幻阵的形象是 s 堆，每一堆都是 n*m*r 幻立阵。幻阵也有平转置、向前滚动和横向滚动，只是这 s 堆（长方体）要同时做同一种动作。除此，幻阵还有独特的层堆互换，即层标 k 与p 互换，n*m*r*s 四维幻阵变换为新的 n*m*s*r 阶幻阵，她有 r 堆，每一堆都是 s 层幻立阵。详细来说，将原 s 堆的每一堆第 1 层依序合起来，成为新 1 堆；将原 s 堆的每一堆第 2 层依序合起来，成为新 2 堆；将原 s 堆的每一堆第 r 层依序合起来，10成为新 r 堆；明显可知，每一层内均未变动，新的每一堆都是 n*m*s 幻立阵

31、。请看实例：幻阵第三素材的层堆互换，原是两堆 4 层的表现形式，现经过层堆互换，成为 4 堆双层的形式，它用于n*m*r*s=288 ， 即用自然数 1 到 288 构造的幻阵的加层操作。6 * 6 * 2 * 4阶幻阵 Bw(i,j,k,p)如下：幻阵的第 12851这是25827727123335这是426155239219251这是1038490堆第层247462813325528827511274212592728728017201025352762612673226283825634127891312282273292642702683026226927936堆21822556536

32、3252堆22257263第 1682292442384147266286254层247228234507038层1862052602519幻阵的第 2240223572454854696722440250217230622315224646496623244241235220222652493972592275823743243716423323622637221604551248242幻阵的第3第77204196792132118620687748120021285100210887820983202208899297751921067310219020710899幻阵的第 4191这是1

33、75156162122142110此堆143136161164第 1149132117123176170层114133127167147179121138160116169163148150137177111144131155130165168151129173120126867141139152112178145158134159124174118146153128125135180289140157172166113119，拨和为115154171109幻阵，其行和为 867 ，列和为，竖和为578经检验，这是一个标准的幻阵。（双层形式）2009 年 9 月 26 日11幻阵的第四素材理丝

34、桥：这是偶阶全部基本解决了。幻阵中的第四素材，有了这四素材，偶阶幻阵的问题就12因 n*m*r*s=432，故对称和 w = n*m*r*s +1=433；6 * 6 * 2 * 6阶幻阵 Bw(i,j,k,p)的剖析如下：这是-31-12幻阵的第1堆 第1层311218-23-3-35层-42-61-55507038层247-4-68-3334114-1115-2130-2729-17-20-1036-5132822-32-26-24-716-29251946-833-34-1-1411-1521-3027-2-9172010-365-13-28-223226-1823335-1629-25

35、-192堆 第1这是幻阵的第426155-50-70-38-49-6657-4448546967-6540-39-72-5962-5852-4346-71-64565363-373堆74 81-8968-60-45-514147第-77851004966-5744-48-54-69-6765-40397259-6258-5243-467164-56-53-6337-68604551-41-47这是-103-84幻阵的第19679-76-788086-8387103 -9684-797678-80105-8683-8793-74-81899282-10877-85-100-9410498-909

36、575-8890-95-75-107层-139-12088-1019791101 -105 -93-9294-104-97106102 -82-106 -102-7399107 -91这是73-99108 -98幻阵的第 4堆 第1139 -132112 -122 -110113120 -115114119 -117 -121126124 -116 -123125 -136-131 -137141129128 -130132 -112122110 -113115 -114 -119117121136130-126 -124116123 -125131137 -141 -129 -12813-1

37、11133 -142 -138118140-143127 -109135 -144134111 -133142138 -118 -140143 -127109 -1351层-175168 -148158-156151 -150 -155144 -134这是幻阵的第 5堆 第175 -168148 -158 -146149156 -151150155 -153 -157146 -149153157172166162160 -152 -159-167 -173177165-147169 -178 -174161 -172164 -166154176-162 -160152159 -16116717

38、3 -177 -165 -164147 -169178174 -154 -176-179163 -145171 -180170179 -163145 -1711层-211204 -184194-192187 -186 -191180 -170这是幻阵的第 6堆 第211 -204184 -194 -182185192 -187186191 -189 -193182 -185189193208202198196 -188 -195-203 -209213201-183205 -214 -210197 -208200 -202190212-198 -196188195 -197203209 -213 -201 -200183 -205214210 -190 -212215 -199181 -207216 -206，竖和为 0 ，拨和为 433 或 -433，故为一个非常解。-215199 -181207 -216206此剖析，其行和为 0 ，列和为 0此幻阵素材为六堆，其剖析的拨和不是零却为两中值即一个对称和w=433。它是一个非常解，十分遗憾！非常杂的改变？设计运用中很不方便，由幻阵对称和的改变，要做出相应且较复此素材仍有相当价值，可以做幻阵的中芯，向四面八方延展至要求，延展部分已是双偶，能顺利使用穿心对调。我仔细观察，这非常解数码是逐堆递增，且 5