第二节 卷积与相关

1、第二节第二节 卷积与相关卷积与相关一、卷积与相关的定义一、卷积与相关的定义1.1.卷积定义卷积定义: :函数函数f(x)f(x)和和h(x)h(x)，其卷积运算用符号，其卷积运算用符号f(x)f(x)* *h(x)h(x)表示，定义为如下积分表示，定义为如下积分 fxhxfhxd 2.2.函数函数f(xf(x) )和和h(xh(x) )的相关定义的相关定义fxhxfhxd 2 2一维实函数卷积的几何说明一维实函数卷积的几何说明: : 首先，在以首先，在以为横轴的图上画出为横轴的图上画出f()和和h(),再再将将h() 反转得到反转得到h(- h(- ) )h(- h(- ) )平移平移x x值

2、得到值得到h-(h-(- -x x) )=h(x-) . . f() 和h(x-)相乘得到一新函数相乘得到一新函数,此新函此新函数图象与数图象与轴之间轴之间围成的面积便是函数围成的面积便是函数f(xf(x) ) * h(xh(x) )在在x x点点的数值的数值x x值不同值不同, , h(- )平移距离不同平移距离不同,而使而使f(x) * h(x)可可能取不同值能取不同值. fxh xfh xd根据这种几何解释容易得到以下结论根据这种几何解释容易得到以下结论:若若f(x)有非零值的有非零值的范围是范围是t1，h(x)有非零值的范围是有非零值的范围是t2,则则f(x) * h(x)有非零值有非

3、零值的范围为的范围为t1+t2.卷积使非零值范围扩大了卷积使非零值范围扩大了. 光学图象大多是平面图象，用二维函数表示信息光学图象大多是平面图象，用二维函数表示信息光学中的卷积运算大多是二维函数的卷积，二维函数光学中的卷积运算大多是二维函数的卷积，二维函数f(xf(x，y)y)和和h(xh(x，y)y)的卷积表示为的卷积表示为: : ,fx yhx yfhxydd 如果如果f(xf(x，y)y)和和h(xh(x，y)y)描述的是两个真实的光学描述的是两个真实的光学量，则量，则f(xf(x，y)y)* *h(xh(x，y)y)总是存在的总是存在的二二: :卷积运算图例卷积运算图例 考虑两个矩形函

4、数的卷积运算，从几何图形上看，考虑两个矩形函数的卷积运算，从几何图形上看，就是将其中个矩形函数绕纵轴翻转，然后再对另一个就是将其中个矩形函数绕纵轴翻转，然后再对另一个作平移，并计算两矩形函数的重叠面积，从而得到卷积作平移，并计算两矩形函数的重叠面积，从而得到卷积的运算结果。显然，这个结果是平移距离的函数。的运算结果。显然，这个结果是平移距离的函数。1oxa/2-a/21oxa/2-a/21oxa/2-a/21oxa/2-a/21oxa/2-a/2x1oxa-aa01f (x)f ()1h (x- )h (x- )01f (x)f ()1h (x- )01f (x)f ()h (x- )101x

5、f (x)01xh(x)2f (x) h (x) :0101f (x)f ()h (x- )h (x- )01f (x)f ()01f (x)f ()h (x- )1f (x)f ()1 h (x- )01f (x)f ()1h (x- )01f (x)f ()1h (x- )f (x)f ()h (x- )10101f (x)f ()1 h (x- )0101f (x)f ()h (x- )h (x- )01f (x)f ()01f (x)f ()h (x- )1f (x)f ()1 h (x- )01f (x)f ()1h (x- )01f (x)f ()1h (x- )f (x)f ()h (x- )10101f (x)f ()1 h (x- )三三 、相关运算、相关运算相关运算与卷积与算有以下关系： g(x,y) h(x,y) = g (-x, -y) h(x,y) G (fx,fy) H(fx,fy)g(x,y) g(x,y) G(fx，fy)2 自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换当g(x,y) = h(x,y)时称为自相关，自相关，有 g(x,y) g(x