第二章练习讲解及递延永续年金

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011问题某人拟购房，开发商提出两种方案：一是某人拟购房，开发商提出两种方案：一是现在一次性付现在一次性付8080万元；另一方案是万元；另一方案是5 5年后年后付付100100万元若目前的银行贷款利率是万元若目前的银行贷款利率是7%7%，应如何付款？应如何付款？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 现在一次性付现在一次性付8080万元；另一方案是万元；另一方案是5 5年后付年后付100100万万问题问题方案一的终值：方案一的终值： F F5 5 =800 000 =800 00

2、0（1+7%1+7%）5 5=1 122 080 =1 122 080 或或F F5 5 =800 000 =800 000（F/PF/P，7%7%，5 5）=1 122 080 =1 122 080 方案二的终值：方案二的终值： F F5 5 =1 000 000 =1 000 000所以应选择方案二。所以应选择方案二。方案二的现值：方案二的现值： P=1000000P=1000000（1+7%1+7%）-5-5 =1000000 =1000000 （P/FP/F，7%,5 7%,5 ） =1000000 =1000000 （0.7130.713） =713000=7130008000008

3、00000结论：按现值比较，仍是方案结论：按现值比较，仍是方案2 2较好较好4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例题例题例例. .某人拟购房，开发商提出两种方案，一是某人拟购房，开发商提出两种方案，一是5 5年后付年后付120120万元，另一方案是从现在起每年末万元，另一方案是从现在起每年末付付2020万，连续万，连续5 5年，若目前的银行存款利率是年，若目前的银行存款利率是7%7%，应如何付款，应如何付款? ?方案一的终值：方案一的终值：F=120F=120（万元）（万元）方案二的终值：方案二的终值：F=20F=20（F/A,7F/A,7,5,5）

4、 =20 =20 （5.75075.7507） =115.014=115.014（万元）（万元）4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例例. .某公司欲在某公司欲在5 5年后还款年后还款1,000,0001,000,000元，如利率元，如利率为为6 6，则每年末应等额在银行存入多少金额？，则每年末应等额在银行存入多少金额？例题例题已知已知F=1,000,000 i=6 F=1,000,000 i=6 n=5 n=5 求求A?A?A = F/(F/A,6%,5)A = F/(F/A,6%,5) = 1,000,000/5.6371 =177 396.18

5、 = 1,000,000/5.6371 =177 396.18元元已知已知F F、i i、n, n, 求求A A，A A称为偿债基金称为偿债基金；1/(F/A,i,n)1/(F/A,i,n)称为偿债基金系数。称为偿债基金系数。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例题例题例例. .某人拟购房，开发商提出两种方案，一是现某人拟购房，开发商提出两种方案，一是现在一次性付在一次性付8080万元，另一方案是从现在起每万元，另一方案是从现在起每年末付年末付2020万元，连续支付万元，连续支付5 5年，若目前的银行年，若目前的银行贷款利率是贷款利率是7%7%，应如

6、何付款？，应如何付款？方案一的现值：方案一的现值：8080（万元）（万元）方案二的现值：方案二的现值： P=20P=20（P/A,7%,5P/A,7%,5）=20=20（4.10024.1002）=82=82（万元）（万元）4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例题例题例例. .某投资项目现投资额为某投资项目现投资额为1,000,0001,000,000元，如企业资本元，如企业资本成本为成本为6 6，要求在四年内等额收回投资，每年末至，要求在四年内等额收回投资，每年末至少应收回多少金额？少应收回多少金额？已知已知P=1,000,000 i=6 P=1,

7、000,000 i=6 n=4 n=4 求求A?A?A = P/(P/A,6%,4)A = P/(P/A,6%,4) = 1,000,000/3.465 =288,600.29 = 1,000,000/3.465 =288,600.29元元已知已知P P、i i、n, n, 求求A A，A A称为资本回收额；称为资本回收额；1/(P/A,i,n)1/(P/A,i,n)称为资本回收系数。称为资本回收系数。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例题例题例例. .某人拟购房，开发商提出两种方案，一是现在一次某人拟购房，开发商提出两种方案，一是现在一次性付性付

8、8080万元，另一方案是从现在起每年年初付万元，另一方案是从现在起每年年初付2020万万元，连续支付元，连续支付5 5年，若目前的银行贷款利率是年，若目前的银行贷款利率是7%7%，应，应如何付款如何付款？方案一现值：方案一现值：8080万元万元方案二的现值：方案二的现值：P=20P=20（P/A,7%,5P/A,7%,5）（1+7%1+7%）=87.744=87.744万元万元或或P=20P=20 （P/A,7%,4P/A,7%,4）+1=87.744+1=87.744万元万元4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例题例题 例例. .某人拟购房，开发商

9、提出两种方案，一是某人拟购房，开发商提出两种方案，一是5 5年后年后一次性付一次性付120120万元，另一方案是从现在起每年年初付万元，另一方案是从现在起每年年初付2020万元，连续万元，连续5 5年，若目前的银行存款利率是年，若目前的银行存款利率是7%7%，应，应如何付款？如何付款？方案一终值：方案一终值：F =120F =120方案一终值：方案一终值： F =20F =20（F/A,7%,5F/A,7%,5）（）（1+7%1+7%）=123.065=123.065或或F F2 2 =20 =20（F/A,7%,6F/A,7%,6）-1=123.066-1=123.0664251 10011

10、 0010 1010 1101 0001 0100 1011五、递延年金五、递延年金 递延年金递延年金第一次支付发生在第第一次支付发生在第三期或第三期以后的年金。三期或第三期以后的年金。 递延年金递延年金终值终值 公式：公式： F=AF=A(F/A,i,n(F/A,i,n) ) 递延年金的递延年金的终值大小与递延期无关，故计算方终值大小与递延期无关，故计算方法和普通年金终值相同。法和普通年金终值相同。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 某人从第四年末起，每年年末支付某人从第四年末起，每年年末支付100100元，利率为元，利率为10%10%，问第七年

11、末共支付利，问第七年末共支付利息多少？息多少？答案：答案：0 01 12 23 34 45 56 67 7100100100100100100100100F=A(F/A,10%,4) F=A(F/A,10%,4) 1001004.6414.641464.1464.1（元）（元）例题例题4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011（一）递延年金现值（一）递延年金现值方法一：把递延年金视为方法一：把递延年金视为n n期普通年金，求期普通年金，求出递延期的现值出递延期的现值 ，然后再将此现值，然后再将此现值 调整到调整到第一期初。（第一期初。（m m为间隔期）为间

12、隔期） =A(P/A,i,n)(P/F,i,m)方法二：是假设递方法二：是假设递 延期中也进行支付，先求延期中也进行支付，先求出出(m+n)(m+n)期的年金现值期的年金现值 ，然后，扣除实际并，然后，扣除实际并未支付的递延期未支付的递延期(m)(m)的年金现值，即可得出最的年金现值，即可得出最终结果。终结果。 =A=A(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m) ) 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例题例题 某人年初存入银行一笔现金，从第三年年末某人年初存入银行一笔现金，从第三年年末起，每年取出起，每年取出

13、10001000元，至第元，至第6 6年年末全部取完，年年末全部取完，银行存款利率为银行存款利率为10%10%。要求计算最初时一次存。要求计算最初时一次存入银行的款项是多少？入银行的款项是多少？ 答案：答案：方法一：方法一：P=AP=A(P/A,10%,6)(P/A,10%,6)A A(P/A,10%,2)(P/A,10%,2) =1000(4.355-1.736) =2619=1000(4.355-1.736) =2619方法二：方法二： P=AP=A(P/A,10%,6-2)(P/A,10%,6-2) （1 110%10%）-2-2 =1000=10003.16993.16990.8264

14、 =2619.61 0.8264 =2619.61 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011有一项年金，前有一项年金，前3 3年无流入，后年无流入，后5 5年每年年每年年初流入年初流入500500万元，假设年利率为万元，假设年利率为10%10%，现值为（）万元。现值为（）万元。A A1994.591994.59B B1565.681565.68C C1813.481813.48D D1423.211423.21问题4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011有一项年金，前有一项年金，前3 3年无流入，后年无流入，后5

15、5年每年年初年每年年初流入流入500500万元，假设年利率为万元，假设年利率为10%10%，现值为，现值为（）万元。（）万元。A A1994.591994.59B B1565.681565.68C C1813.481813.48D D1423.211423.21解答P=500P=500（P/AP/A，10%10%，5 5）（P/FP/F，10%10%，2 2） =1565.68=1565.68答案：答案：B B4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011问题某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：案：(1)(1)从

16、现在起，每年年初支付从现在起，每年年初支付2020万元，连续支万元，连续支付付1010次，共次，共200200万元；万元；(2)(2)从第从第5 5年开始，每年年末支付年开始，每年年末支付2626万元，连万元，连续支付续支付1010次，共次，共260260万元。万元。(3)(3)从第从第5 5年开始，每年年初支付年开始，每年年初支付2525万元，连万元，连续支付续支付1010次，共次，共250250万元。万元。假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为为10%10%，你认为该公司应选择哪个方案，你认为该公司应选择哪个方案? ?4251 10011 0010

17、1010 1101 0001 0100 1011解答 解析：解析：方案（方案（1 1）P=20P=20（P/AP/A，10%10%，9 9）+1+1 =20=20（5.759+15.759+1） =135.18=135.18（万元）（万元）方案（方案（2 2） P=26P=26（P/AP/A，10%10%，1010）（）（P/FP/F，10%10%，4 4）=26=266.1456.1450.683=109.12 0.683=109.12 （万元）（万元） 方案（方案（3 3）P=25P=25（P/AP/A，10%10%，1010） （P/FP/F，10%10%，3 3） =25=256.14

18、56.1450.751=115.380.751=115.38（万元）（万元） 因此该公司应该选择第二方案。因此该公司应该选择第二方案。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 永续年金永续年金无限期定额支付的现金无限期定额支付的现金 永续年金没有终值，没有终止时间。现值可永续年金没有终值，没有终止时间。现值可通过普通年金现值公式导出。通过普通年金现值公式导出。 公式：公式：（二）永续年金（二）永续年金当当n n 时，时，4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例题例题例例. .某项永久性奖学金，每年计划颁发某项永久

19、性奖学金，每年计划颁发5000050000元元奖金。若年复利率为奖金。若年复利率为8%8%，该奖学金的本金应，该奖学金的本金应为（）元。为（）元。 永续年金现值永续年金现值=A/i=A/i=50000/8%=625000(=50000/8%=625000(元元) )例例. .现在向银行存入现在向银行存入50005000元，在利率为多少时，元，在利率为多少时，才能保证在今后才能保证在今后1010年中每年得到年中每年得到750750元。元。 5000=750 5000=750 * *（P/A,i,10P/A,i,10） （P/A,i,10P/A,i,10）=5000/750=6.667=5000/

20、750=6.6674251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011六、折现率、期间和利率的推算六、折现率、期间和利率的推算( (一一) )折现率折现率( (利息率利息率) )的推算（不用记笔记）的推算（不用记笔记）对于一次性收付款项对于一次性收付款项根据其复利终值根据其复利终值( (或现值或现值) )的计算公式可得折的计算公式可得折现率的计算公式为：现率的计算公式为：i=(F/P)i=(F/P)1/n1/n-1-1因此，若因此，若已知已知F F、P P、n n，不用查表便可直接计算出一次，不用查表便可直接计算出一次性收付款项的折现率性收付款项的折现率( (利息率

21、利息率)i)i。永续年金折。永续年金折现率现率( (利息率利息率)i)i的计算也很方便。若的计算也很方便。若P P、A A已知，已知，则根据公式则根据公式P=A/iP=A/i，变形即得，变形即得i i的的 计算公式为：计算公式为：i=A/P i=A/P 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011对于年金折现率的推算（较复杂） 普通年金折现率先计算年金现值系数或年金普通年金折现率先计算年金现值系数或年金终值系数再查有关的系数表求终值系数再查有关的系数表求i i，不能直接求，不能直接求得的则通过内插法计算。得的则通过内插法计算。 例：某公司于第一年年初借款例：

22、某公司于第一年年初借款2000020000元，每年元，每年年末还本付息额均为年末还本付息额均为40004000元，连续元，连续9 9年还清。年还清。问借款利率应为多少？问借款利率应为多少？ 依据题意：依据题意：P=20000P=20000，n=9n=9；则；则P/A=20000/4000=5= P/A=20000/4000=5= 。由于在。由于在n=9n=9的一行上的一行上没有找到恰好为没有找到恰好为5 5的系数值，故在该行上找两的系数值，故在该行上找两个最接近个最接近5 5的临界系数值，分别为的临界系数值，分别为1 1=5.3282=5.3282、2 2=4.9164=4.9164；同时读出

23、临界利率为同时读出临界利率为i i1 1=12%=12%、i i2 2=14%=14%。所以：所以：4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011内插值法公式：%59.13%)12%14(9164. 43282. 553282. 5%12)(121211iiii注意：期间注意：期间n n的推算其原理和步骤同利率的推算相似。的推算其原理和步骤同利率的推算相似。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011内插值法的步骤： 1.1.计算出计算出P/AP/A的值，设其为的值，设其为P/A=P/A=。 2.2.查普通年金现值系数表。沿

24、着查普通年金现值系数表。沿着n n已知所在的行横向已知所在的行横向查找，若能恰好找到某一系数值等于查找，若能恰好找到某一系数值等于 ，则该系数，则该系数值所在的列相对应的利率即为所求的利率值所在的列相对应的利率即为所求的利率i i。 3.3.若无法找到恰好等于若无法找到恰好等于的系数值，就应在表中行的系数值，就应在表中行上找与最接近上找与最接近的两个左右临界系数值，设为的两个左右临界系数值，设为1 1、2 2（ 1 1 2 2或或 1 1 2 2 ）。读出所）。读出所对应的临界利率对应的临界利率i i1 1、i i2 2，然后进一步运用内插法。，然后进一步运用内插法。 4.4.在内插法下，假定

25、利率在内插法下，假定利率i i同相关的系数在较小范围同相关的系数在较小范围内线形相关，因而可根据临界系数和临界利率计算内线形相关，因而可根据临界系数和临界利率计算出，其公式为：出，其公式为：4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011)(121211iiii4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011（二）名义利率与实际利率（二）名义利率与实际利率 计息期小于一年的复利计算计息期小于一年的复利计算终值终值 如果将如果将100100元存入银行，名义利率为元存入银行，名义利率为8 8，那第，那第6 6个月的终值是个月的终值是1

26、00 100 1+0.08/2=1041+0.08/2=104，在第，在第1 1年末的终值是年末的终值是104104 1+0.08/2=108.16 1+0.08/2=108.16，这，这与计息期为与计息期为1 1年的值年的值108108是有差异的。是有差异的。 一年中计息一年中计息m m次，则次，则n n年年末终值的计算公式：年年末终值的计算公式：F=P1+(i/m) F=P1+(i/m) mnmn 一年中的计息次数越多，在给定利率和期限的一年中的计息次数越多，在给定利率和期限的年末终值就越大。年末终值就越大。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011（二）名义利率与实际利率（二）名义利率与实际利率 计息期小于一年的复利计算计息期小于一年的复利计算现值现值 一年中计息一年中计息m m次，则次，则n n