许正川课例及教学设计

1、许正川课例及教学设计计算机辅助中学数学概念教学的教学案例问题背景：在中学数学教学中， 概念教学是重要的， 也是困难的。造成概念教学困难的原因是多方 面的。首先是对它的重视程度不够。在当前应试教育的体制下，对解题教学的重视远远超过 概念教学，用于解题训练的时间与精力远远多于对数学概念形成过程的剖析。另一方面，学生缺乏必要的抽象概念的思维过程。而传统教学在讲授概念时一个难以克服的困难是学生缺 乏足够的活动与实验，教师往往用自己的演讲代替了学生自身的“建构过程。在课堂上提 供的思维材料十分贫乏。利用计算机辅助数学概念教学恰恰可以弥补这一缺陷，它便于创设富于启发性的教学情景，在改良数学概念教学方面有着

2、巨大的潜力。设计依据：课堂教学模式：采用“问题情景一一实验探索一一观察发现一一对话交流一一得出结论 的新模式。用计算机辅助数学概念教学后，很好地实现了 e的大小数与椭圆的扁平程度形的结合，教学内容变得直观、具体，便于学生在实际的实验操作中从“数、“形两方面加深对这一知识的理解。另外，在传统的教学当中，往往借助椭圆的第一定义从“数 的角度得出椭圆第二定义，用计算机辅助数学概念教学后，先让学生从“形的角度建立起感性认识，然后从“数的角度上升到理论认识，适合学生的认知心理特点，再现了知识的 发生、开展过程，便于学生理解与掌握椭圆第二定义。教学情景：探索椭圆的第二定义题目：如图1，B是半径为r的定圆A

3、内的一定点，M是圆上的一动点，线段 BM的垂直 平分线与直径 MN的交点为P,求点P的轨迹。MP师：点P的轨迹是什么图形？ 生：一个椭圆。 “为什么？ “因为点P在线段BM的中垂线上，所以|PB|=|PM|这样,|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=r。由于点B在圆内，所以|AB|<r，而r长，根据椭圆的定义，点P的轨迹是椭圆图2。师：很好！点A、B就是这个椭圆的两个焦点，|AB|是这个椭圆的焦距，即|AB|=2c ;而圆A的半径|AM|是椭圆的长轴长，即|AM|=2a。B。等学生操作后你们发现了什么?实验：请同学们用鼠标在圆内左右来回拖动点 生：椭圆的大小在变。2c的大小，

4、2a并没有变，请大家“测算师：应该说椭圆的扁平程度在变。刚刚我们改变了软件菜单项一下比值 -的大小。C的值就显示在屏幕上.aa继续实验：请同学们再拖动点B,同时观察比值 -的大小变化。等学生操作后根据a您的观察，椭圆的扁平程度与比值c是什么关系？a生：比值越大，椭圆越扁；比值越小，椭圆越圆。师：我们把影响椭圆扁平程度的比值-定义为“椭圆的离心率。椭圆的离心率常用字母ea来表示，即e=C。e越接近于0，这时椭圆就接近于圆。它的取值有范围吗？a生：很容易有。在区间0, 1上。师：同学们，假设有光线从点 A发出，射到点P处，经过直线PE的反射，能反射到点B吗？ “能。 “为什么？ “根据线段的垂直平

5、分线的性质，有/APCN BPH师：这正是椭圆的光学性质。在一个顶部是半椭球的剧场中，如果演奏者在A处演奏，您在B处也一定听得很清楚。师：下面再请同学们把 B、N连接起来，作出线段 BN的 垂直平分线， 看一看它与直径MN的交点Q的轨迹。让同学们各自操作以后问 大家发现了什么？生：发现点Q就在点P的轨迹一一椭圆上图 3。 师：对。对线段 BN的操作与对 BM的操作是类似的。这样线段PQ就是椭圆的一条经过焦点的弦，称为椭圆的“焦点弦；线段AP AQ是椭圆的焦半径。它们有许多有趣的性质，以后我们再研究它。下面 请大家作出直线 EP、FQ的交点H,并探求它的轨迹。同学们操作以 后点H的轨迹是什么图形

6、？生：齐声一条直线。图3师：请再仔细观察一下。这条直线与直线AB有什么关系？生：垂直。师：这么肯定？请您作出直线 AB与直线I的交点D, “测算出它们所成角的大小，然后再 拖动点M看一看有没有变化。学生操作后，都说没有变化，是90°看起来H的轨迹确是一条直线，并且这条直线I与椭圆的长轴垂直，请同学们课后再证明一下。好，下面请大家过点 P 或者点Q作直线I的垂线，片刻设垂足为 T,然后“测算出|PA|、|PT|的大小，并“测算比值。学生完成操作后你们发现了什么?|PT |生: d = c。|PT | a再实验：请同学们拖动点 M再认真观察，验证您的结论是否正确。生：拖动点M变动以后它们

7、总相等。师：对。比值也是椭圆的离心率 e,那么椭圆又可以说成是满足什么样的几何条件的|PT |点的轨迹呢？我请 A同学表达一下。A：椭圆上的任意一点P到焦点A的距离与到直线I的距离之比总保持一个常数e。师：对。椭圆是平面上到一个定点A的距离与到一条定直线I的距离之比为一个常数 e0<e<1的点的轨迹。这也可以作为椭圆的定义，这个定义就称为椭圆的第二定义， 前面学习的椭圆的定义就称为椭圆的第一定义。这个常数e叫椭圆的离心率，这条直线I叫椭圆的准线。你们说椭圆有几条准线？生：两条。师：从椭圆的对称性就容易知道，椭圆有两条准线，两个焦点。图3中直线I是椭圆相应于焦点A的一条准线，还有另一

8、条相应于焦点B的准线。下面我们把直角坐标系建立起来学生都认为应该以线段AB的中点为原点，直线 ABH的轨迹一一椭圆。设直线I的方请学生各自(x c)2 y2 =- |x m|,a2a即直线I的方程为x= 。请同为x轴建立直角坐标系，再从另一个侧面来认识点 程为x=m,而点A - c, 0 , | PA | = c。应该有|PT | a在草稿纸上演算，请两个同学把他的演算抄到黑板上 化简得a2 c2 x2+ 2ca2 + cmx + a2y2= c2m2 a2。, ，“，一，一，、一 、，2a2师：对照椭圆的标准方程，应该有 a + cm=Q m=-一学们“测算 a的值与直线I的方程，验证一下。

9、c在椭圆的标准方程2 2x2 + y2 =1中，它的左、ab2右准线的方程分别是x= 一 ac2a、x=。c教学反思：在此课案的实施中，传统的“教师讲解一一学生模仿一一强化记忆一一测试讲评的教学模式改变为“问题情景-实验探索一一观察发现-对话交流一一得出结论的新模式。传统教学中，往往便于从“数的角度去分析椭圆的扁平程度与离心率e的大小关系，不便于从“形的角度加以表达，这样的教学内容就显得较抽象，用计算机辅助数学概念教学后，很好地实现了 e的大小数与椭圆的扁平程度形的结合，教学内容变得直观、 具体，便于学生在实际的实验操作中从“数、“形两方面加深对这一知识的理解。另外，在传统的教学当中， 往往借

10、助椭圆的第一定义从“数的角度得出椭圆第二定义，用计算机辅助数学概念教学后，先让学生从“形的角度建立起感性认识，然后从“数的角度上升 到理论认识，适合学生的认知心理特点，再现了知识的发生、 开展过程，便于学生理解与掌握椭圆第二定义。在整个的课堂教学中，没有了老师的滔滔不绝的讲，代之以学生动手“做数学。老师负责学习的组织，提示学生研究问题，帮助学生学习，成了学生学习的帮助者，学生成了学 习的主人，这正是建构主义倡导的教学模式。课堂上学生自始至终保持着浓厚的学习研究兴趣，学生在做实验的过程当中发现和提出了很多问题，就连平时数学成绩较差、 从不提问的学生都提出了很多中肯的问题，他们不再把学习数学看成负担，增强了学好数学的信心。 学生的动手实践的能力、观察能力、归纳能力等都得到很好地锻炼，有利于思维能力和创新意识培养，有利于促进素质教育，实践说明，教学效果明显。创新点说明