读数学小丛书5之平均所思所想

1、读?数学小丛书5之平均?所思所想-奎文区孙家小学于湖波2021.1.15写在前面：每每到了期末的时候，学校各个口上要资料的接踵而至， 让你根本来不急思考，也不能思考，一想头就大了。越是忙的时候，越需要我们静下心来！怎么样才能让自己静下来呢？我觉得读书，写心得体会，这样就可以让自己静下来。因此就有了今天的所思所想。平均，这个词儿我们日常生活中太熟悉了 ，觉得没有必进一步思索它的全部含义，其实我们很需要追究一下：为什么人们要和“平均这个词儿打交道呢？小学里面的求平均数其实指的这一组数据的算数平均数，而什么是算数平均数呢？me."* 15为了酔算它們的平均値，只須把这帕个數一罐加起未，冉用

2、曄 去除一T*密我們把數A叫敞这沌个敷，叫的聲术平掬.可是我们根据什么理由，可以这样认为这样得出的数 A就是我们要求的平 均数呢？其实这里面有一层道理， 我们在求一组数据的平均值时，要能反映出这 组数的总的情况，我们希望这个平均值和这组数的偏差尽可能的小。而在计算偏 差时候，我们可以求出偏差的最小值。而当平均值是算数平均数的时候， 这个偏 差是最小的Oi + a*+ +(n旦響二込+間+唧+ «?_ m+®+-+釘)烟_如±牛+纠JH:定义一組數 的平均施供的时像，按照我們刚刚講的意思，这个平均恒鹫要 能反映这組数的总的情况，我們总是希望兀和这个按的偏差 I et

3、a j *码在总体上誼来尽可能地小.也就显說，我們婆适当地选取蠻 诡,使得平方和£=佃一的尸卜3彌尸4卜x-rfla达郵它的区小陆这里我們不複接把这乳个差数木身相加, 蕭把它們的平乃担加,是因垢这些差數 有些是正値' 冇些是 負値，直按相加，就会正負相消，不能反映总体的情况.現在我們来求使。取得晟Ah値的営値.經过餐单的变形 之后，上式可日写成.bnxi-2k 寺 + + 也Jr斗a1aM-ar+ 斗=曲护_2芒也±聲+kfl*+十込产+于儒J,在最后的式子中'末二項是豹工无关的常数！只育第一項和世 有关，而且永远不会是負数.因业只有当第一項尊于塞时，Q 的

4、帕戴小.也就是說I为了使D取最小熊,必須有®i+«i+*+«#Z = "匚 -An才行.算术平均的慰文就在于此.事实上，求平均的方法远不止一种，在各种不同的具体问题中，根据各种不 同的具体条件，为了各种不同的具体目的，我们经常需要采用各种不同的方法去 求各种不同数据的平均值。既然求平均值的方法有许多种，那么对于同一组数， 采用不同的方法得到的平均值之间的关系又怎么样呢？我们数学研究的就是数 量之间的关系F面介绍其它几种求平均的方法：几何平均、调和平均。我們也可把乳个数相乘t然垢把乘积开矗次方，这样我們又 得到了另一种平均，叫敝这能个数的几何平視待祥細些,

5、 就是任給n个非負实敕傅fnr我們把&二& *4叫做这沦个数的几何平均.們僥数的算术平均nH=，可+石i石这样得到的数n称为為,阳,，的稠利不均很容热看出，上面底义的三种平均都具有r面两个簡单 ftK*-如果玛令原蜡数据建此相养花卩fl；rta*31 * n為t=茁、那么它們的算术平均JL何平均.朋和平均也都尊于叫卽A = G H = a,二如杲斤个原始數据都押于皿和血之間，卽 祈主術百Af 4 = 1,2严，切，那么它們的算术平均、几何平均、摘和平均也都界于锲和盛之 間卽那临卫叛Jf,炭羔&苍血，烦卷割.而算数平均数、几何平均数、调和平均数这三个数之间有一种关系即定理

6、一对任稼决个正数来規采远嗚2ZW9G*利用这个定理，我们可以解决现实生活中很多有意思的极值问题。一如眼你仔細帯幽一下食品店里出欝的講头*品錚 会发現这些堆头的阵状走飾好是商和.底面血用大致相辔的圓 拄帶.除非有持惡的廉因碾雜发現有緬得兔根拄乎或畫爲 椅个月陇的罐头.你有沒冇療过这屋対什么了凸然，髙和 底面直您止致榕静的圆柱宠看上去此戦匀欷:这应藝蠡F 理由.旦更主耍的掠因世乎还不住这里*而应牍从我們的定 理一中特到祥案.找彷知逋为了存敖一宦量的我品，堆头的客积住住是一 崔的不妨設它是几*但堪容积迪卩口的圓柱吊罐头可以有 捽式各样的彫状，它可以浜任很期才也可以足幄扁的，在这餐 式各样的躍头申冒作

7、容駅抑擡一样的*但是它們的喪卤釈却 PS着用状両改变*也就是説，在阿禅可以存放客职是萨,的食 菇的押备編头中有的罐头用料校省，而有的连头却比絞舲h料.超然，迪节杓的观点来看，我竹爭然宣 禎制谜用料最赛的那种曝笑.那么究竟笆 么样的溥头用科最省呢T如图2 .設攏头的离是也底半楼是J 由于它的容駅是rv所及有即呸=瑶其次，我們知迖它酋表蓟积S茸于上下两个底面职甘和密T卢加上冊面囲2nrk, Q S 2i»ra + gjrrh我喈的知胚就是烫适肖地选样心仏使&旳最小航根据定 埋一 我們有Ex-FarA -2?rr*+ irA +3rrftA 3尹 丽押莎硕不石二3帀旳祚日&

8、诃了=需權这牛不毎衣吿詬我怦我面积水远不金比马。云"了小+因业断魁舱找到理当的賂賦世冷的何就馨于诙扎鄱 么遑个丁丄就恳我鬥要找的了*奠找出这样的 7 井不團难, 貝轉把匕匱平爭式中的不爭号变成尊号就荷了*型才需过 笹号咸立的集杵是所有的故彼就用第在我們的时題中便有I 2r* rh ffrA t由此立劃得出，化即戒和底面的直袪蹙離相零進按媳我啊所臭歸祐生 当h=2r肘.由甫卢血=2*卢c卩°*可希7舊z毛根曙这澗沖式子就可从萨P宦出rfh的具体数恒*原来罐头做成这种形状的是有数学在做支撑啊，同体积下这样最省材料二在一张半径毘R的彌劇的正中央上空味亠議电灯. 九字知UL灯绘啊丈

9、商了壤子边繰的亮度进小*但苦挂得识 低皋f逛螺坯仍然是不亮的.澤虫究竟应璃僵吓迤择灯的从玛上容插肯出淌匪*才能史谢子丈緣处駁亮T我帕述足用定理一来解决这問 題.如阳3 .液桌子的半軽屋几灯 的馬度尽此从灯别鹤靈子边祥的 尤權和柬面成夕旬.規物理学知 道，家子边緣一点处的尿度m 的正眩成正2匕，面和这一点到光滅 的期离丁的平方成反比，也就是睨这舉i是一个和灯光强度弃吴的當JBLR2司， 因此上式乂可耳为/ = sintfco»lfl,我們的仙题繭見耍遽杼込岂的此便有最交值.密艮知道 uurszwAite的"練也一雄便収口人储因此只須求田舰 篇胡n"&g*&a

10、mp;JUfiAtt的H敢行了.根権定理一*拉鬥时*a 占;2»i n1 «0审0、im 初、 二伍護砂$ *8“ /上，啰 少 亠蟲iF數.所以尸氷远不会鈕过导需.同此要使r3 只須便上面 不尊式中的毎号成立就召了.折以有I2ain*f/ = og* “一泌11 仇由地可得铲"=$、或毗u丙曲"傀片打这就是眾，in果把灯挂在廊陕面 臭 处，桌子边料豹亮度甩 匕 这个結果:瑚你挽匕君醤足仔現奚直义的.晚上看书的时候可以试试看看光线是不是这样，我试过了，确实亮!的冏长，卽2rxR.Hl倦的母触长就是这个圓的半径人所以IW鍵的离h= J M沁=五 °

11、; 4<>二亦.所以圓第的体积現在的間通就是笑适中选取z榔，使体积F<M大贺.和上 题一样的血圧，只要找出使有杲大値的龙就行了由定理 佩厂=為於“ 一内=岛宀G 8卅-R116213J=磊"片=常敷，也就是號秋远不起过島00.契使它有战大値，只要上述不等式中的等号成立所以有，ac3 = x3«81 由比立得.“2兀/|所以剪去的扇障的中心角应孩是滇废.上面三个傀题祁足夔求住一左的采件下去寻找集个虽的 赧大值或慢小値。这一类商題統称为板夬放小恻趙.徴分学 給出了解楼大极小問翹的一股方法.而在我們这儿反复运用 定理一就可解朮它們了.不过有时尢用定理一似乎还嫌不

12、 够还盅刖外想点办按.值我們冉来胃个例子.成一个显然，这个珂第的休积和裁去的用形的大小有关割的木多了興縑 的体积就小割的太少 了，卯錐的体积还是 小.箫間，究竟应歿穷 去多大一块，才能修所 田成的胃傩有最大的体釈1如图4,命工农示朝対下来的角度.由于圖繼是山剪剜 下来的局部傕成的，因此興锥底詡的周长遶尊于勇剩那局部(四)段左-啖衣AO 尿来、寛50厘米的长方 形低片，从它的四角条的 去一个辿长是Z的小正 方形之后，可以把余F的 胖分做成一个沒冇盂的戍心盘胡M另应肢是曰$务參才能使点心直的客积毀人T从也5找客易有Hi.剪去匹:角后所得盒子的容积忌r - r (80 - 2«) (50

13、- 2r).为了在不铃式中消去变敦气使不等氏的右竭只出現常数，我 們把卩写成卩=+ 4«<8O-2x) (50-2«)t把“,80 2叭60 20看成三个数来应用定理一钢.r-J 4龙(80 - 2x)(5071)V 2 (X+ 一羯 +(50-2x) T(罟)F为要使V舟E大値，只須上建不雲式中的卷号朋立，因此有.4乞=80 2口 502 釘但显然这是个矛盾的方程式，由它无法解出値.为此我 們冯另想他法.我什不妨引人一个待定的常數亿把/写成V =(M + 2)幻802xj501 - 2 后3一 J r(2* +2)*4-十(MK 一 込)2*(2* 1-2)1J+2)3)_ 帶数.因化当(2* + 2)« = 802x=50i-2T肘厂有用大览这样我們便科到了龙所滿足的两个方程我. (24 + 2)«-80-2>(2* + 2M=5M-2A 九这两个方程式分別有解，"40“ 2乂小吋 r"2f+l-要凑这冏題有解，这阴个"的統当然应孩相爭.为比只須选取的值，使它滿足40 _ 2