《对数及对数函数》练习题及讲解

1、对数及对数函数练习题讲解知识梳理：1、对数的定义：如果 a(a>0,a1)的b次幂等于N, 就是ab=N，那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。N > 02、指数和对数的关系： 3、对数恒等式：， ，4、运算法则：5、换底公式：6、两个较为常用的推论：1° 2° a, b > 0且均不为17、对数函数定义：函数 叫做对数函数；它是指数函数 的反函数。8、对数函数图象和性质：aa>10<a<1图象定义域值 域定 点单调性典型例题：例1、求以下各式中的(1) ； (2) ； (3)解：(1) (2

2、)，得 (3)由对数性质得解得 变式：计算： (1) ； (2) ；3解析 (1)，得或 (2)由对数性质得3令 =, , 例2：计算1计算：log155log1545+(log153)2 23解：1解一：原式 = log155(log153+1)+(log153)2=log155+log153(log155+log153) =log155+log153×log1515=log155+ log153= log1515解二：原式 = =(1-log153)(1+log153)+(log153)2=1-(log153)2+(log153)2=123原式变式：计算：1 12 解：原式 例3

3、：已知，求解：由可知，又由，可得，故变式：假设log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解： log 8 3 = p 又 例4：比较以下各组数的大小： (1)与 (2)， (3)假设解：(1)由在上单调递增，且，故< (2)，而， (3)令，由可知即 则， 在同一坐标系下画出这三个函数的图象， 如图示： 可知最大，最小，即变式：比较以下各数大小： (1) (2) (3) 解：1 (2) (3) 解： 例5：求以下函数的定义域、值域：(1) (2) (3) (4) 解(1)：要使函数有意义，必须： 即： 值域： 从而 (2)对一切实数都恒有 函数定义域为R 从而

4、 即函数值域为(3)函数有意义，必须： 由 在此区间内 从而 即：值域为(4)要使函数有意义，必须： 由： 由：当时 必须 当时 必须 综合得 当时 变式：求以下函数的定义域(1) (2) (3) 解：(1)由得且 所求定义域为(2)由得，解得，所求定义域为(3)由得，当时，当时，所求定义域为当时，；当时，例6：已知 (1)求f(x)的定义域 (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)0的x的取值范围  解：1令得，即(x+1)(x-1)0，故f(x)的定义域为(-1，1)又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数变式：求函数的单调区间，并用单调定义给予证

5、明。解：定义域 单调区间是 设 则 = 又底数 在上是减函数。【练习2】1求以下各式的值：1； 2 解：1原式=；2原式=2、计算：1lg1421g； 2； 3解：1解法一：；解法二：=；说明：本例表达了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。2；3=3已知，求的值。分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。解： 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。4、已知，求分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑

6、将移到等式左端，或者将变为对数形式。解：法一由对数定义可知：法二由已知移项可得，即，由对数定义知：， 法三， 说明：此题有多种解法，表达了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。5、1已知，用a表示；2已知，用、表示 解：1， log 3 4 - log 3 6 = 2， ， 又，=1换底公式： ( a > 0 , a ¹ 1 ；)6、计算：1 ； 2 解：1原式 = ； 2 原式 = 7设 ，求证：证明：， ， 8假设，求解：， ， 又 ， ， 9假设 ，求解：由题意可得：， ，10已知，比较，的大小。解：， ，当，时，得， 当，时，得， 当，时，得，

7、 综上所述，的大小关系为或或11求以下函数的值域：1；2；3且解：1令，则， ， ，即函数值域为 2令，则， ， 即函数值域为 3令， 当时， 即值域为， 当时， 即值域为12判断函数的奇偶性。解：恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。13求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又， 或，故在上递增，在上递减， 又为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。14假设函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令， 函数为减函数，在区间上递减，且满足，解得，所以，的取值范围为15、如果对数有

8、意义，求x的取值范围；解：要使原函数有意义，则解之得： 原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5) (-1，+)函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。16、设函数 ，假设 的值域为 ，求实数 的取值范围分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集则有 或 ，解得 17、已知函数f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1.(1)假设f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)假设f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.解：(1)(a21)x2+(a+1)x+10对xR恒成立.a21=0时，a=±1，经检验a=1时恒成立；a210时， a1或a ，a1或a .(2)a21=0，即a=1时满足值域为R；a210时， 1a .1a .18.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),1求f(x)的表达式及定义域；2求f(x)的值域。【解】1假设lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义，则又lg(lgy)=lg(3x)+lg