九年级数学下册4第1课时图形面积的最大值教案1北师大版

1、1 / 62.4二次函数的应用第 1 课时 图形面积的最大值1 能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值 时，函数取得最值；（重点）2 通过建立二次函数的数学模型解决 实际问题，培养分析问题、解决问题的能力, 提高用数学的意识，在解决问题的过程中体 会数形结合思想.（难点）如图所示，要用长 20m 的铁栏杆，围成 一个一面靠墙的长方形花圃， 怎么围才能使 围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm,花圃的面积为ym2，那么y=x（20 2x）.试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究_ 2探究点一：二次函数y=ax+bx+c的 最值_ 2已知二次函数

2、y=ax+ 4x+a 1 的最小值为 2,则a的值为（）A. 3 B . 1C. 4 D . 4或1解析：二次函数y=ax2+ 4x+a 1、情境导入2 / 624a(a 1)44a解得a= 1 或 4.Ta0,.a= 4.故选 C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有 三种方法，第一种是由图象直接得出，第二 种是配方法，第三种是公式法.变式训练：见学练优本课时练习“课 堂达标训练”第 1 题探究点二：利用二次函数求图形面积的 最大值【类型一】 利用二次函数求矩形面积的最大值米.(1) 求S与x的函数关系式及自变量的 取值范围；(2) 当x取何值时所围成的花圃面积最 大，最大值是多少？(3)

3、若墙的最大可用长度为 8 米，则求 围成花圃的最大面积.解析：根据AB为xm,则BC为(244x)m，禾 U 用长方形的面积公式，可求出关 系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形 花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于 0 且小于等于 8 列出不等式组 求解即可.解：(1)TAB= x，二BC=24 4x,.S2=AB- BC=x(24 4x) = 4x+ 24x(0 x 6)；2 2(2)S= 4x+ 24x= 4(x 3) + 36 , 0 x 6, 当x= 3 时，S有最大值为 36；24 4x 8,(3)T4wx 0,所以，

4、当x= 4 时，花圃的面积最大， 最大面积为 32 平方米.方法总结：根据已知条件列出二次函数 式是解题的关键.但要注意不要漏掉题中自 变量的取值范围.变式训练：见学练优本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方有最小值 2,a 0,最小值4acb4a2,整理，得a2 3a 4= 0,3 / 6边形EFGH勺面积最大值.变式训练：见学练优本课时练习“课 后巩固提升”第 7 题【类型三】 动点问题中的最值问题在矩形ABC的各边AB BC CD DA

5、上分别 选取点E,F,G, H,使得AE= AH= CF=CG如果AB=60,BC= 40,四边形EFG啲最大 面积是（）A. 1350 B .1300 C .1250 D . 1200 解析：设AE=AH= CF=CG= x,四边形EFGH勺面积是S由题意得BE= DG=60-x,1=SABEF=2(60 X)(40 x)，所以四边形EFGH勺面积为S= 60X40 x2 (60 x)(402 2x) = 2x+ 100 x= 2(x 25) + 1250(0vxw40).当x= 25 时，S最大值=1250.故选 C.方法总结： 考查利用配方法求二次函数 的最值，先配方，确定函数的对称轴，

6、再与 函数的自变量的取值范围结合即可求出四 如图，在矩形ABCD中,AB= n(m是大于 0 的常数)，BC= 8,E为线段BC上的动点(不 与B C重合).连接DE作EF丄DE垂足 为E, EF与线段BA交于点F,设CE= x,BF=y.(1) 求y关于x的函数关系式；(2) 若m= 8,求x为何值时，y的值最 大，最大值是多少？12(3) 若y=，要使DEF为等腰三角形，mm的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证 明厶BEFACDE根据对应边的比相等求函BF=DH=40 x， 贝 VSxAHE=CGF=*x2,SDGH4 / 6数关系式；(2)把m的值代入函数关系式， 再求二次

7、函数的最大值；(3)：/DE=90,只有当DE= EF时，DEF为等腰三角 形，把条件代入即可.解：TEF丄DE/BEF=90J /CED-ZCDE又/B=ZC=90,BEFBF BE y8xCD,，.CE=CD即x=_m，解得y=8xx2*2+x=g(x28x)=8(x4)+ 2，所以当x= 4 时，y取得最大值为 2;(3)/DEF=90, .只有当DE= EF时，DEF为等腰三角形，BEFACDE12m= 8 x.解方程一=m，得x= 6，或x= 2.当x= 2 时，m= 6;当x= 6 时，m= 2.方法总结：在解题过程中，要充分运用 相似三角形对应边的比相等的性质建立函 数关系式，是

8、解决问题的关键.变式训练：见学练优本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题【类型四】 图形运动过程中的最大面 积问题如图，有一边长为 5cm 的正方形ABCD和等 腰厶PQR PQ= PR=5cm,QR=8cm,点B C Q R在同一条直线l上，当C、Q两点重合 时，等腰PQR以 1cm/秒的速度沿直线I按 箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scnf. 解答下列问题：(1) 当t= 3 秒时，求S的值；(2)当t= 5 秒时，求S的值；(3)当 5 秒wt8秒时，求S与t的函 数关系式，并求出S的最大值.解析：当t= 3 秒和 5 秒时，利用三角 形相似求出重合部分的面积.当 5 秒t 3.根据抛物线的特点，可知 一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.方法总结：利用二次函数解决抛物线形 的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直 角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的由于本节课