2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招生考试数学试题大全【精】

1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1 .已知函数f(x) =(x2+a)ex有最小值，则函数 g(x)=x2+2x + a的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D.取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x) =exg(x),答案C.2 .已知 MBC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c.下列条件中，能使得 MBC的形状唯一确定的有( )A. a=1,b=2,2ZB. A =1500, asin A+ csinC V2asinC = bsin BC. cosAsin BcosC +cos(B +C)cosBsinC =0,C =60°D. a =内,b =1,A=600【

2、答案】AD .【解析】对于选项A,由于|o5|匕口 + 6,于是匕有雎一取值L符合题意j对于选项国由正弦定理，有+，+缶。=/，可得8与3二5=135。，无解j对于选项c,条件即3幺向(3-S = 0,于是(屈足。=(90号/力炉工侬浜0口：60°),不符合题意5对于选项D,由正弦定理，有典3 = ；,又5 = 60、于是5 = 30、C = 900,符合题意.23 .已知函数f(x)=x 1,g(x)=lnx,下列说法中正确的有()A. f(x), g(x)在点(1,0)处有公切线B.存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C. f (x), g(x)有且只有一个交点D. f

3、(x), g(x)有且只有两个交点【答案】BD【解析】 注意到y=x1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案 BD.24.过抛物线y =4x的焦点F作直线交抛物线于 A, B两点，M为线段AB的中点.下列说法中正确的有( )，”八3 一 一A .以线段AB为直径的圆与直线 x = 一定相离2B. |AB|的最小值为4C. |AB|的最小值为2D.以线段BM为直径的圆与y轴一定相切【答案】AB11【解析】对于选项A ,点M到傕线x = 1的距离为-(| AF | + | BF |) = 3 | AB | ,于是以线段AB为直径3_ o_11的圆与直线x = 1 "7E相切，

4、进而与直线x= 定相离；对于选项B,C,设A(4a ,4a),则B(2,).24a a21于是| AB |= 4a对于选项D,显然BD中点的横坐标与一|BM |不一定相等，因此命题错误 . 225.已知F1,F2是椭圆C:+4=1(a AbA0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点.下列说法中正确的有 a b( )A. a = J2b时，满足/F1PF2 =900的点P有两个B. a > J2b时，满足/F1PF2=90°的点P有四个C. APFF2的周长小于4a2aD. &PFF2的面积小于等于一 +: +2 ,最小值为4.也可将| AB |转化为AB中点到准线的距离的2倍

5、去得到最小值； 4a【答案】ABCD .【解析】 对于选项A, B,椭圆中使得 /F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项 C, <52的 周 长 为 2a+2c <4a ； 选 项 D , AF1PF2 的 面 积 为 l|PFi | | PF2 |sin/FFF2 <- | PF1 | + |PF2 0 = 1 a2.22、2226 .甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获

6、奖者是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】BD 【解析】 乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案： BD .7 .已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC _L AB于C , P为圆O上任意一点，直线 PA与直线OC相 交于点M ,直线PB与直线OC相交于点N .以下说法正确的有（）A. O,M,B,P四点共圆B. A,M,B,N四点共圆C. A,O,P, N四点共圆D.以上三个说法均不对【答案】AC【解析】 对于选项A, /OBM =/OAM =/OPM即得；对于选项 B,若命题成立，则 MN为直径，必然有/MAN为直角，不符合题意；对于选项C, /MBN =/MOP =/MAN即得.答

7、案：AC.8. sin A+sin B+sin C >cos A+ cosB+cosC 是 &ABC 为锐角三角形的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 必要性：由于 sin B+sin C >sin B+sin(二一 B) = sin B+cosB > 1 , 2类似地，有 sin C +sin A >1,sin B +sin A >1 ,于是 sin A +sin B + sin C > cos A +cosB +cosC .不充分T当 A=2，B=C=U时，不等式成立，但 MBC

8、不是锐角三角形.24.1111,9.已知x, y,z为正整数，且 xEyEz,那么方程 十十=的解的组数为()x y z 2A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】B11113【斛析】由于一=+ 十 W,故3WxW6.2 x y z x若 x =3,则(y -6)(z 6) =36 ,可得(y,z) = (7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12)；若 x=4,则(y4)(z4)=16 ,可得(y,z) =(5,20),(6,12),(8,8);311220若 x=5,则 e-=+1 M2,y M20, y =5,6,进而解得(x,y,z) = (5,

9、5,10)；10y z y3若 x=6,则(y 3)(z 3) =9 ,可得(y,z) = (6,6) .答案：B.10.集合 A =a1,a2，an,任取 1 Mi < j < k M n,aj +aj w A,aj +ak w A, ak + a w A 这三个式子中至少有一个成立，则 n的最大值为()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】不妨假设呵% >若集合H中的正数的个数大于等于4,由于% +%和6+%均大干% >于是有叼+ % =q+ 为 =修,从而y=q ?矛盾！所以集音A中至多有3个正数-同理可知集合A中最多有3个负额.取d = -3,-2l

10、QL23,满足题意，所以再的最大值为九答案B.11.已知口 =1°, P =61°,¥=121°,则下列各式中成立的有()A . tan 口 tan B + tan 口 tan 了 + tan ? tan 口 =3B . tan u tan P + tan P tan Y + tan 尸 tan a = -3C.D.tan : 一 tan P , tan 3 3tan 二 tan : tantan :一tan P ，tan 3 = 3tan 工 tan : tan【解析】 令 x =tano(, y = tan P, z =tan ¥ ,则 y

11、X1 xyz - y1 yzx -z1 zx=<3 ,所以【答案】BD开心快乐每一天y z = J3(1 + xy), z y = 73(1 + yz),x z = J3(1 十 zx),以上三式相加，即有 xy 十 yz+ zx = 3.类似地，有11一 . 3(xy1 1), y1;91yz1 1), z1 ="3( 1 +1),以上三式相加，即有 x zxxy十yz zxx+y+z = -3.答案 BD. xyz已知实数a,b, c满足a + b + c = 1,则N4a +1 + d4b +1 + v 4c +1的最大值也最小值乘积属于区间(11,12)B. (12,1

12、3)C. (13,14)D. (14,15)/(x) = vMz + 121【解析】设函数f (x) = j4x+1，则其导函数f/(x)=，作出f (x)的图象，函数f (x)的图象在x =一4x 13处的切线y2-21 z 1、-21-(x -)73313,以及函数f (x)的图象过点(,0)和(一，J7)的割线4241 .一 一 一y=T7x 77'如图于是可得41 2 211. 211x W%4x + 1 W(x -) +,左侧等号当 x=或777334311x =一时取得； 右侧等号当x=一时取得.因此原式的最大值为 U21,当a = b = c =一时取得；最小值为2331

13、3 一J7,当a=b = ,c=时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为7j3w H 144,Ji69） .答案B.4222213.已知x, y, zwR, x+y+z=1, x +y +z =1,则下列结论正确的有（）4A . xyz的取大值为0B . xyz的取大值为 一C. z的最大值为 一D. z的最小值为 33【答案】ABD【解析】由x=+/+ =1可得个+ / + ZX = O.设孙z = 则是关于t的方程/ = -c>0PM。= 0的三个根.令丁=产心则利用导数可得（2,4 所以-c<0I 3274- - <c = xyz<Of等号显然可以取到.故选项A,

14、 B都对.因为&+> =。工>4 2（厘+/）:2（1 ,所以等号显然可以取到,故选项C错误.14.数列an满足a1 =1,a2 =2,an_2 =6an* -an（n= N ）,对任息正整数n ,以下说法中正确的有 （）A . a2十一an 电an 为定值B. an 三 1（mod9）或 an 三 2（mod9）C. 4an+an -7为完全平方数D. 8an由an 7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为a2 七an 书an 由=a2% 一 （6and2 - an 书）an 由=a晨-6anan+ + a2+2215.若复数z满足=2口七俎七一6an由）+an =an由

15、一an七an,选项A正确；由于a3=11,故【答案】CDB.,5-1C.D.【解析】因为|z|-2Ez+1=1,故正血性三，等号分别当z = - i和z=至二1i时 | z | z2222取得.答案CD .16.从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）A. 6552B. 4536C. 3528D. 2016【答案】C【解析】 从2016的约数中去掉1 , 2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去 2016k和1008.考虑到2016

16、=25 x32 x7,因此所求正多边形的个数为 (1 +2 +4 +8 +16 +32)(1 +3+9)(1 +7) -2016 1008 = 3528.答案 C.22，一一 xy1,117.已知椭圆 不+2r = 1（a Ab >0）与直线 hy=X,l2： y =三x,过椭圆上一点 P作的平行线, ab22分别交ld于M ,N两点.若| MN |为定值，则（aA.&B. V3C. 2D. V5【答案】C111、111、【斛析】设点P(x0,y0),可得Mx。十丫0,;*0+彳丫0)小匕*0 丫0,:*0+:丫0),故意242242|MN | = j1f+4y2 为定值，所以

17、ay =4 =16,/亘=2,答案：C.4b2 1. b4a 1说明：（1）若将两条直线的万程改为 y =±kx ,则J = ； （2）两条相交直线上各取一点 M,N，使得| MN | :b k为定值，则线段 MN中点Q的轨迹为圆或椭圆18.关于x, y的不定方程x2 +165 = 2y的正整数解的组数为（）B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】方程两边同时模%可得/ = X(mQd3),因尸不能被3整除，故/不能被3整除，所以f三l(mod3),故2Jl(mod3),所以y为偶数可设卫=2用(班后旷)，则有2用一 y=与 I y = 59Q附-忒2堆+#)=615 = 3x5x

18、41，解得即 一 答案工即2M+x = 123,卜=1219.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个 实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c, c(ab), b(ca), 等等不同的次序.记n个实数相乘时不同的次序有In种，则()B. I3 =12C. I4 = 96D. I5 =120【答案】B 一1【解析】根据卡特兰数的定义，可得In =Cn,An =C2n：，n! = (n1)!C；京.答案：AB.n关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数一一计数映射方法的伟大胜利 20.甲乙丙丁 4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组

19、进行比赛，两组的胜者争夺冠军 人相互比赛的胜率如表所示:甲乙丙T甲Qi3030.8乙0,70.60.4内0.7OA一0.5T0.20.6O.D表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 【答案】0.165【解析】 根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5父0.3 + 0.5N0.8)=0.165.21.在正三棱锥P - ABC中，AABC的边长为1.设点P到平面ABC的距离为x,异面直线 AB,CP的距离为y .则lim y = x- ;二 /、3【答案】 2【解析】当xt g时，CP趋于与平面ABC垂直

20、，所求极限为 AABC中AB边上的高，为13222.如图，正方体 ABCD ABGD1的棱长为1,中心为O, BF-BC,a1E =AAA,则四面体 OEBF24 1的体积为196i . i .11.i【斛析】 如图,VoFRFVqFRF= Vg_EBF= Vf GRF= 'VpRCCiB 1= .OEBF O上BFG上BFE _GBFE_BCCB1222 16962 二23. 0 (X-二)2n(1 sin2n x)dx =5 G【答案】02：-:【解析】根据题意，有 (x n)”(1+sin n x)dx = J ,x n (1 +sin n x)dx = 0.,22、3一 2 2

21、22 .24 .实数x,y满足(x +y ) =4x y，则x +y的最大值为.【答案】1 11111【斛析】根据题息，有(x +y) =4x y M(x +y),于是x +y M1,等号当x = y时取得,因此所求最大值为1.,1.2,.、2,3.22725 . x, y,z均为非负实数，满足 (x+) +(t+1) +(z+)=，则x + y + z的最大值与最小值分别 224为【答案22 3【解析】 由柯西不等式可知，当且仅当.1 一3(x, y, z) = (1, ,0)时，x + y + z取到最大值 一.根据题忌，有2222213 一一 13,、222 -3x +y +z +x+2

22、y+3z= ，于是 E(x + y+z) +3(x + y + z)y,解得 x + y + z 至442于是一,.22-3 ,.22-3x + y+z的最小值当(x,yz)=(0,0,)时取得，为 2226 .若 O 为 MBC 内一点，满足 S由 oBS俘 oCSao 片 4:3:2 ,设 AO = ?.AB + NAC ,则九十昨-2【答案】- 3一 一，2【解析】 根据奔驰定理，有 九十一927.已知复数z=COSz2 z 2.3.-i2【解析】根据题意，有z3z2z 2=1 z2 二z = cos5 二 i sin 313i.28.已知z为非零复数,z 40 , 一， 一，,40的实

23、部与虚部均为不小于10 z1的正数，则在复平面中,z所对应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为200二100,3 - 300A 、B【解析】设z=x + yi(x, yw R),由于4040z|z|2 '40x-1,40y-1,如图，弓形面积为29.若 tan 4x = 31c- -100-1-202，(上 _sin 上)=上上 _100,四边形 ABCD 的面积为 2 (1。73_10) 10 = 10073-100 .26632于是所示求面积为 2(丝上 -100) (100,3 -100) =200三 100. 3 -300. 33 sin 4xsin 2xsin x sin x贝 U+cos8xcos4x cos4xcos2x cos2xcosx cosxsin 4xsin 2xsin x sin x【解析】根据题意，有+ + +cos8xcos4x cos4xcos2x cos2xcosx cosx= (tan8x-tan4x) +(tan4x-tan2x) +(tan2x-tan