2010数列求和高考题及答案

1、2010 数列求和sn是an的前n项和，且9s3 = s6,1. （2010 天津高考理科 T 6）已知an是首项为1的等比数列,1则数列的前5项和为（ an(A)或 5( B) 一 或 5816(0 3116/e 15(D)8【命题立意】 考查等比数列的通项公式、前 n项和公式.【思路点拨】求出数列an的通项公式是关键.36【规范解答】 选 C.设 an=qn,，则 9MLzq_=q_= 9(1-q3)=1-q6, 1-q 1-q即 9=1+q3= q3 =8,，q = 2 , , an = 2n，= = (一)"，二 T5an21 .(1)51 (2)311二二行22. （201

2、0 天津高考文科 T 15）设an是等比数列，公比 q = J2 , Sn为a n的前n项和.、一 17S -S记Tn=!2n,n N .设Tn0为数列1的最大项，则n0= an 1【命题立意】 考查等比数列的通项公式、前 n项和、均值不等式等基础知识.【思路点拨】化简Tn利用均值不等式求最值.【规范解答】川1-(,2)n,S2n=a11-( 2)2n1 - . 21 - . 2an 1 = a1( 2)17'Tn =a11-(.2)n_a11-(,2)2n1 - 21 - 2a1( 2)n1-&得+(、n-17,.r6-+（J2）n 28,当且仅当（J2）2n =16即 2n

3、 =16 ,所以当 n=4,即 n0 = 4时，T4 最大. （2）n【答案】43. （2010 安徽高考理科 T 20）设数列a1,a2,川，an,川中的每一项都不为 0.证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何 nW N ,都有anan 1ai a2 a2a3aian 1【命题立意】 本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力.【思路点拨】 证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法.【规范解答】 已知数列an中的每一项都不为0,先证"=" 若数列an为等差数列，设公差为 d ,，,，1anan

4、 1当d #0时，有一anan 111 LJl十 +111 +a1a2a2a3anan 1a1a2a2a3an) an 11-)1 an 1 a1alan 1da1an 1a1an 1III 当d =0时，显然a1a2anan 1-成立; a1an 111-Ill a1a2a2a3anan 1n ，一也成立.aland再证".二"有二a1a2an an 1a1an 1a1a2a2a3anan 1an 1an 2alan 2由-得:an 1an 2a1 an 2a1 an -1上式两端同乘a1an man_2,得 a1 =(n+1)an«nan上,同理可得a1 =n

5、an (n1)an书,由-得：2%十=%所以a为等差数歹U【方法技巧】1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等，转化为常见的类型进行求和；2、对数列中的含 n的式子，注意可以把式子中的n换为n +1或n -1得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把 n取自然数中的具体的数 1, 2, 3等，得到一些等式归纳证明4. （2010 山东高考理科T18）已知等差数列an满足：a3 =7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求 an及 Sn；令bn =11一（nwN*）,求数列如的前n项和Tn.an - 1【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n

6、项和公式的应用、裂项法求数列的和，考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力 .【思路点拨】（1）设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求an及Sn.（2）由（1）求出bn的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法% +a7 =26,所以有【规范解答】（1）设等差数列an的公差为d,因为a3=7,a1 2d =72al 10d =26解得 a1 =3,d =2 ,所以 an =3+2(n-1)=2n+1； Sn =3n+nn-1) 乂2 = n2+2n .2 1111111(2)由(1)知 an = 2n+1,所以 bn=-2 =2 = - 1=_ '(-

7、),an -1 (2n+1) -14 n(n+1) 4 n n+1所以Tn =1 (1-1+142 2n+11)=4 (1-1n+1)=n4(n+1)即数列bn 的前n项和Tn =.4（n+1）【方法技巧】 数列求和的常用方法：1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比q #1的讨论.2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求 和公式的推导过程的推广.3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负

8、项个数相同.5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）.X轴的正5. （2010 安徽高考文科 T 21）设Ci,C2,|,Cn,|是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在半轴上，且都与直线y = 2 X相切，对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn用相互外切，以rn表示Cn的半径， 3已知rn为递增数列.证明：rn为等比数列；设r1 =1 ,求数列2的前n项和. rn【命题立意】 本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力.【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设 Cn的圆心为（Zn,0）,得儿=2"

9、;,同理得九n书=2%书，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即rn中rn书与rn的关系，可证明rn为等比数列；（2）利用（1）的结论求rn的通项公式，代入数列 ,然后采用错位相减法求和.rn【规范解答】（1）将直线丫=立对勺倾斜角记为日，则有tan日二巫,sin日=1，332设Cn的圆心为（？、n, 0）,则由题意得知-rn- =sin 0,得Kn=2%,n2同理"=2%+1,又、'n+1 - n rn rn+1将'-n = 2%和+1 = 2卜+1,代入上式解得+1 = 3%故n为公比q =3的等比数列。（口）由于 7 =1, q =3,故

10、7 =3n：从而=门父31",rn记Sn =1十2十.+n,则有r1 2rnSn =1 2 3,3 3- n 31”Sn =1 31 2 32 (n -1) 31"n 3,2S=1 3,3? 31J -n 33&n 3-n-(n 2)3，1 .n 一 1 _n9 -(2n 3) 31【方法技巧】1、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为n +1或n -1得到相关的式子，再进行化简变形处理;2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点,进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等转化为常见的类型进行求和.6. （2010 江苏高考 t 1 9）设各项均为正数

11、的数列也的前n项和为Sn ,已知2a2 = a1 +a3,数列S'是公差为d的等差数列.（1）求数列&n的通项公式（用n,d表示）；（2）设c为实数，对满足m+n =3k且m。n的任意正整数 m, n,k,不等式Sm + Sn a cSk都成立。求证: c的最大值为92【命题立意】 本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考 查探索、分析及论证的能力.【思路点拨】（1）先求Sn ,然后利用an与Sn的关系求解；（2）利用（1）中所求Sn利用基本不等式解决.【规范解答】（1）由题意知：d>°,属=点+（n1）d=6+-母2a2

12、 =a1 +a3n 3a2 =S3n 3(S2 S)=S3 3(Va? +d)2 -a1=(Va? +2d)2化简，得：& -2 a1 d d2 = 0, a1 =d,a1 二d2,S =d (n T)d = nd,Sn =n2d22 2222当 n 22 时，l=Sn-SnT=nd -(n-1) d =(2n-1)d，适合 n = 1 情形.2故所求 an 一(2n 一 1)d(2)(方法一)22m n2.22.2.2.2 22.2 C ：=Sm+SncSk=md +nd >c，kd = m+nc，kk2 恒成立又m + n =3k且m丰n_222_2 -2(m n ) . (

13、m n) =9k -22cm n 92 -k 2(方法二)由 Ja =d 及 TS = Va + (n -1)d，得 d A0 , Sn = n d于是，对满足题设的m，n，k, m#n,有222 (m nV 292 29Sm Sn = (m n )d d =-dk =-Sk222c 9max 所以C的最大值 2另一方面，任取实数933am=k1,n=k-12 .设k为偶数，令 22，则m，n，k符合条件,Sm Sn =(m2 n2)d2 =d2(3k 1)2 (3k -1)2d2(9k2 4)且22222.2k于是，只要9k +4<2ak ,即当42a -9时,99C 一一Cmax -

14、所以满足条件的2,从而 2 .9因此c的最大值为2 .7. (2010 天津高考文科 T 22)在数列 Qn中,其公差为2k.(I)证明a4,a5,a6成等比数列;(n)求数列Qn的通项公式；-1 ,2 _ _ 2 八Sm Snd 2ak = aSk2 _*I、一a)=0,且对任意k= N , a2k二,a2k ,a2k+1成等差数歹U,2 22(m)记 Tn 二一 3 L ,证明a2 a3an3 <2n -Tn <2(n >2).2【命题立意】 本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能

15、力及分类讨论的思想方法.【思路点拨】(I) (n)应用定义法证明、求解； (出)对n分奇数、偶数进行讨论.【规范解答】II)由题设可知，a2=a1+2 = 2,a3=az+2 = 4,24=23+4=8,a5= a4+4 = 12,% =a§ +6 =18。从而=,所以& , a5, 生成等比数列.a5 a42(II )由题设可得a2k书a2k=4k,k w N *所以 a2k 1 - al - a2k 1 - a2k 1！ a2k一 a2k J3. a3 - al=4k 4 k -1. 4 1 =2k k 1 ,k N*.由 a1 = 0 ,得 a2k书=2k(k +1),

16、从而 a2k =a2k书-2k =2k2.所以数列an 的通项公式为ann-21, n为奇数2或写为2工,n为偶数2ann-1 -1+ '' , nW N * .4(ill )由(II )可知 a2k书=2k(k+1), a2k =2k2,以下分两种情况进行讨论:(1) 当n为偶数时，设n=2mmw N* )n k2右 m=1,则 2n -Z 一二2, k=2 ak22.2n k2m 2k " 2k 1L 一=L 十之k =2 ak k W a2 kk 1 a2k 1m=zk=14k22k2m4k2 4k 1kd 2k k 1=2m ?空/ k32k(k+1) 2k(k+1).m11=2m 八 2 1 1k w I 2 k k -1. |113 1= 2m2m11- - 二2门一一一一2 . m2 nn k2 3 13 n k2所以 2n 乙一=一十一，从而一2n一 乙一2,n = 4,6,8