【课件】人A版（2019）数学-必修第二册-第六章平面向量及其应用-§2.3向量的数乘运算

1、6.2.3 6.2.3 向量的数乘运算向量的数乘运算问题：问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ，那么它在同一，那么它在同一方向上按照相同的速度行走方向上按照相同的速度行走3 3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是秒钟的位移对应的向量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3 3秒钟的位移对应的向秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是量又怎样表示？是 吗吗? ? 请同学们自己思考请同学们自己思考. .3a3aa1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运

2、算法则，理解其几何意义2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义了解平面向量的线性运算性质及其几何意义3.理解两个向量共线的含义理解两个向量共线的含义.1.运用向量的数乘运算培养学生的数学运算能力运用向量的数乘运算培养学生的数学运算能力,数乘向量可以判断几何中数乘向量可以判断几何中三点共线和两直线平行等问题，培养学生的逻辑推理能力。三点共线和两直线平行等问题，培养学生的逻辑推理能力。课标要求课标要求素养要求素养要求 向量数乘的定义向量数乘的定义思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量 ，如何求作向量，如何求作向量 和和（ ）（ ） （ ）？）？aaaaaaa提示提示:aaaO OA AB BC

3、 CaO C =uuu raaaaaaN NM MO OP P （ ）（）（ ）（）（ ）aaa思考思考2 2：向量向量 和和(- )+(- )+(- )(- )+(- )+(- )分分别如何简化其表示形式？别如何简化其表示形式？aaaaaa提示提示: 记为记为3 3 ，（ ）（）（ ）（）（ ）记为）记为3 3 . .思考思考3 3：向量向量3 3 和和3 3 与向量与向量 的大小和方向有的大小和方向有什么关系？什么关系？aaaaaaaO OA AB BC CaaaO OM MN NP P思考思考4 4：设设 为非零向量，那么为非零向量，那么 还是向量吗？它们分别与还是向量吗？它们分别与向量

4、向量 有什么关系？有什么关系？a2a2a3和-a提示提示:a2a32a-思考思考5 5：一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个向量，这种运算的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘叫做向量的数乘. .记作记作 ，该向量的长度及方向与向量，该向量的长度及方向与向量 有什么关系？有什么关系？aaa提示提示:（1 1）| |=|=| | |；aa（2 2）00时时, 与与 方向相同；方向相同； 00时时, 与与 方向相反；方向相反； =0=0时时, = .= .aaaaa0【即时训练即时训练】C 向量数乘的运算律及共线向量基本定理向量数乘的运算律及共线向量基本定理思考思考1

5、1：你认为你认为2 2（5 5 ），），2 2 2 2 ， 可分别转化为什么运算？可分别转化为什么运算？aab（3+2 ） a提示提示:-2-2 (5(5 )= -10)= -10 ；2 2 2 2 = = 2(2( + + ) )； (3(3 ) ) =3 =3 aaabab2aaa.2思考思考2 2：一般地，设一般地，设，为实数，则为实数，则( ) )，() ，( ) )分别等于什么？分别等于什么？aaab= =提示提示:)2( 3 a1( a)()a （ ）B BC CA AD DE E3()abab（ ）提升总结：提升总结：向量数乘的运算律向量数乘的运算律1()()aa （）2 ()a

6、aa（）3()abab（ ）思考思考3 3：对于向量对于向量 （ ）和）和 ，若存在实数，若存在实数，使使 ，则向量，则向量 与与 的方向有什么关系？的方向有什么关系？aa0babab提示：共线提示：共线思考思考4 4：若向量若向量 （ ）与）与 共线，则一定存在实共线，则一定存在实数数，使，使 成立吗？成立吗？aa0bab提示：一定存在提示：一定存在思考思考5 5：综上可得向量共线定理：向量综上可得向量共线定理：向量 （ ）与）与共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使，使 = . . 若若 ，上述定理成立吗？，上述定理成立吗？aa0bbaa0提示：不成立提示：不成立【即

7、时训练即时训练】B 例例1.1.计算计算（1 1）（）（3 3）4 4 ； （2 2）3 3（ ）2 2（ ） ；（3 3）（）（2 2 3 3 ）（）（3 3 2 2 ）. .aababaabcabc【解析解析】 （1）1）原原式式 = (-3= (-34)a = -12a;4)a = -12a;（2）2）原原式式 = 3a + 3b -2a + 2b -a = 5b;= 3a + 3b -2a + 2b -a = 5b;（3）3）原原式式 = 2a + 3b -c -3a + 2b -c= 2a + 3b -c -3a + 2b -c = -a + 5b -2c. = -a + 5b -2

8、c.向量与实数之间可以像多项式一样进行运算向量与实数之间可以像多项式一样进行运算. .【变式练习变式练习】例例2.2.如图，如图，ABCDABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M M，且，且 = = ， = = ，你能用，你能用 , , 表示表示 ， 吗？吗？abrabr 在在平平行行四四形形ABCD中ABCD中， 因 因AC = AB+AD = a+b,AC = AB+AD = a+b, DB = AB-AD = a-b. DB = AB-AD = a-b. 又 又因因平平行行四四形形的的角角互互相相平平，解解: :分分边为为边两条对线M MA B A B D CD CabrD-

9、11111111所所以以MA = -AC = - (a+b)= -a-b;MA = -AC = - (a+b)= -a-b;2222222211111111MB =B = (a b)=a-b;MB =B = (a b)=a-b;22222222【变式练习变式练习】 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点M M是是ABAB的中点，点的中点，点N N在线段在线段BDBD上，且上，且有有BN= BDBN= BD，求证：，求证：M M，N N，C C三点共线三点共线. .31提示：提示：设设 ，则则 M C1ab2ABCDMN所以所以M M，N N，C C三点共线三点共线.

10、. 例例3.3.如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量 试作试作 你能判断你能判断A A，B B，C C三点之间的三点之间的位置关系吗？为什么？位置关系吗？为什么？a,b ，OAa b ，OBab OCab 2 ，3 .abO OA AB BC Cbb2b3a分析：分析： A A C C = = 2 2A A B B A A，B B，C C三点共线三点共线. .【解析解析】分别作向量分别作向量 ，过点，过点A A，C C作直线作直线AC.AC.观察发现，不论向量观察发现，不论向量 怎样变化，点怎样变化，点B B始终在直线始终在直线ACAC上，猜想上，猜想A A，B B，C C三点共线三点共线. . 事实上，因为事实上，因为OA OB OC ,AB OB OAa2b(ab)b, =-413a,bbta,abt22例已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数 的值312321,31,231 ,21)2321(23212321,tbaatbttbaatbbaatbbaba共线时，当向量解之得，使得存在实数共线与有为非零向量不共线，易知解：由D DA AB B-2-212核心素养核心素养方法总结方法总结1. 向量数乘 的定义.2.向量数乘的