中职数学等差数列前N项和的公式

1、2021/6/1612021/6/162复习回顾(1) 等差数列的通项公式等差数列的通项公式: 已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质等差数列的性质: 在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么: an+am=ap+aq2021/6/163 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，

2、她宏伟壮观，纯白大理石砌建妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题12021/6/164 问题问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯

3、：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？） 这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2, 3，n，的前的前100项的和。项的和。假设1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯高斯2021/6/165探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 借助几何图形之借助几何图形之直

4、观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。2021/6/166探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 12321212019121(121)212s获得算法：获得算法：2021/6/167问题问题3:求求:1+2+3+4+n=?记记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +12) 1(),1(2nnSnnS2021/6/168设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的

5、前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2) 得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导2021/6/169由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数

6、项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,51nnSanda正所谓：知三求二2021/6/1610例例1 如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的 V形形架的最下面一层放一支铅笔，往架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放最上面一层放120支。这个支。这个V形架形架上共放着多少支铅笔？上共放着多少支铅

7、笔？解解：由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为为an,其中其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项项和的公式，得和的公式，得260 72)1201 (120120S答：答：V形架上共放着形架上共放着 7 260支铅笔。支铅笔。2021/6/1611例例2：在等差数列在等差数列an中，中，（2）a1=10，d=-2，求，求S20（1）a1= -8，a10=12，求，求S102021/6/1612在等差数列在等差数列an中，中， （2）a1=14.5，

8、d=0.7，an=32，求，求Sn（1）a3= -2，a8=13，求，求S102021/6/1613等差数列等差数列1，4，7，10的前的前100项的和？项的和？ 2021/6/1614在等差数列在等差数列an中，中，a4= 6， a9 = 26，求，求s20 2021/6/1615已知等差数列已知等差数列a an n中中, ,已知已知a a6 6=20,=20,求求S S1111=?=? 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?2021/6/1616例例4 等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是前多少项的和是54？ 2021/6/1617求等差数列求等差数列13，9，5，-1，3前多少项和是前多少项和是50？ 2021/6/16181()2nnn aaS公式11(1)(1)22nnn n