球地体积和表格面积

1、球的体积和表面积学习目标1记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.厂知识梳理自主学习知识点一球的体积公式与表面积公式41. 球的体积公式 v=3泯3(其中R为球的半径).2. 球的表面积公式 S= 4 nR2.思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面知识点二球体的截面的特点1. 球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都 是圆.2. 利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问 题的主要途径.题型探究重点突破题型一球的表面积和体积例1(1)

2、已知球的表面积为 64 n求它的体积；500(2)已知球的体积为 丁n求它的表面积.解 设球的半径为 R,则4nR2= 64 n解得R= 4,所以球的体积v=3tr3=4冗牟晋冗.设球的半径为 R,则3nR3=-n解得R= 5, 所以球的表面积 S= 4 tR2= 4 nX 52= 100 n.跟踪训练1 一个球的表面积是16 n则它的体积是（）64 n32 nA.64 n B.q C.32 n D.Q答案 D-4解析 设球的半径为R,则由题意可知4冗用=16 n故R= 2所以球的半径为2,体积v= 3n33327t3题型二球的截面问题例2平面a截球0的球面所得圆的半径为1球心0到平面a的距离

3、为.'2,则此球的体积为（）A.V6 n B.4、：. 3 n C.4 : 6 n D6：3n答案 B解析如图，设截面圆的圆心为0 ',则 00' = 2, 0 ' M = 1.M为截面圆上任一点,即球的半径为.'3.二 V = |n(3)3 = 4 .-'3n.跟踪训练2已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为'3, '5, 15,则它的外接球表面积为.答案 9n解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB的截面，设长方体有公共li顶点的三条棱的长分别为x, y, z,则由已知,xy=,x=/3,A得 yz=诵,解得y= 1,zx= (

4、15 ,z=所以球的半径R= 1AB =舟x2+ y2+ z2= 2,所以 S 球=4 tR2= 9 n.题型三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积解由三视图可知该几何体的下部是棱长为的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体1 X X!C_ALiIil建團1-2H-2 -1的表面积为1S= 2 X 4 n 12 + 6 X 22 nX 12 = 24+ n.该几何体的体积为V= 23+ 1X 3nX 13= 8 + ¥跟踪训练3有三个球，第一个球切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个 球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解

5、设正方体的棱长为 a. 正方体的切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)所示，则有2ri= a,a即 ri = 2，所以 Si = 4 n2 = na2. 球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面,如图(2)所示，则2r2= . 2a,即卩 r2 =所以 S2= 4 n2= 2 na2. 正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面,如图所示，则有2r3= 3a，即3=所以 S3= 4 n2= 3 n2.综上可得 Si : S2 : S3= 1 : 2 : 3.解题技巧轴截面的应用例4有一个倒圆锥形容器， 它的

6、轴截面是一个正三角形，在容器部放一个半径为 r的铁球,并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度分析 分别表示出取出铁球前后水的体积t由水的体积不变建立等式 t求出所求量解 如图，OO是球的最大截面，它切于 ABC，球的半径为r.设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与 CD 交于点 E.则 DO = r, AD = ：3r, AB = AC= BC = 2 ,：3r, 11 CD = 3r.由图形知 V 圆锥 ce : V 圆锥 cd = 3nME2 CE : - nAD2 CD = CE3 : CD3.33V圆锥ce= V圆锥cd V球o = 3 n呼:3n3

7、 = CE3 : (3r)3, CE = 3 15r.戸当堂检测自杳自纠1直径为6的球的表面积和体积分别是 （）A.36 n 144 nB.36 n 36 nC.144 n 36 nD.144 n 144 n2. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）1A.2B.1C.2D.33. 两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是 .4. 若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的 倍，表面积变为原来的倍.5. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 .12T12T正视图恻觇圏药课时精练、选择题4A.3 nB.8nC.4 3 nD.32 .'3 n2个正方体的八

8、个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为 （A.8B.8，2D.4 .''23两个球的半径之比为1 : 3,那么两个球的表面积之比为（）A.1 : 9B.1 : 27C.1 : 3D.1 : 14设正方体的表面积为24 cm2, 一个球切于该正方体，那么这个球的体积是323B.y n cmc.8 n cmD.| n 品5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为（B.4 n2R2A.4 nr(+ R)2C.4 RrD. nR+ r)26. 已知底面边长为1，侧棱长为-J2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为32 nAWB.4 nC.2 nD

9、.7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为如果不计容器厚度，则球的体积为 （）A.警 cm3B.866ncm38C.晋 ncm3存 ncm3、填空题8个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则该几何体的体积为 m3.ie祕图9 n9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为2，则正方体的棱长为底面边长为2,则该球的表面积是10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，11. 圆柱形容器盛有高度为 8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半 面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球 （如图所示），则球的半径是三、解

10、答题12. 如图所示，半径为 R的半圆的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.（其中/ BAC = 30°13. 一个高为16的圆锥接于一个体积为 972 n的球，在圆锥又有一个切球，求:（1）圆锥的侧面积;(2)圆锥的切球的体积当堂检测答案1答案 B4解析 球的半径为3,表面积S= 4 n3= 36 n体积V = §n 免36 n.2答案D4解析 设球的半径为R,则4kR2= "tR3,所以R= 3.33答案寺2解析 设大球的半径为R,则有3 tR3= 2X 3 nX 13,33R3= 2, R= 3 2.4答案 8 44解析

11、 球的半径为R时，球的体积为 Vi= 3 tR3,表面积为Si = 4 tR2,半径增加为2R后，球432的体积为 V2= 3 n (R)3= nR3,表面积为 S2 = 4 n (R)2= 16 R2.32 &tR32所以齐3916 R2'待=8, $= 4 样=4,即体积变为原来的 8倍，表面积变为原来的 4倍.5答案 3 n解析由三视图可知，该几何体为一个半径为 1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面1积的和，即2X 4n+n= 3 n.课时精练一、选择题1答案 C解析 由题意可知，6a2= 24, a a= 2.设正方体外接球的半径为R,则:-;3a= 2R, a R

12、=二 V 球=4 nR3= 4> 3 n.2答案 A解析球的半径为1,且正方体接于球，a球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2不妨设正方体的棱长为a,则有3a2 = 4，即 a2= 4.a正方体的表面积为 6a2= 6X 3= 8.33.答案A4答案 D解析 由正方体的表面积为 24 cm'.1 + 1 +2 2= 2.又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，球的半径R= 1.44故球的体积为v=3tR3 *=3冗.7. 答案A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解. 1如图，作出球的一个截面，则MC = 8 6= 2(cm) , BM =

13、 ?AB = 了 8= 4(cm). 设球的半径为 R cm，贝U R2= OM2+ MB2= (R 2)2 + 42, R= 5,得正方体的棱长为 2 cm，故这个球的直径为 2cm，故 这个球的体积为3 n cm5答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为ri,则在Rt CDE中，DE = 2ri, CE = R r, DC = R+ r.由勾股定理得 4r?= (R+ r)2 (R r)2，解得 ri =x；:Rr.故球的表面积为 S球=4 n2= 4 jRr.方法二 如图，设球心为 0,球的半径为ri,连接OA, OB，则在Rt AOB中，OF是斜边 AB上的高.由相似三角形的性质得 O

14、F2 = BF AF = Rr,即卩用=Rr，故r1= . Rr，故球的表面 积为S球=4 nRr.6.答案D解析 正四棱柱 的底面 边长为1 ,侧棱 长为'2 , 正四棱 柱的体 对角线 的长为、填空题8答案 9 n+ 18解析将三视图还原为实物图后求解由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，427所以 V = 'nX X 2+ 1 X 3X 6= 9n+ 18.389答案3解析 先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长设正方体棱长为a,球半径为R,则3共=9n,R= 3, .羽a = 3,a = >/3.81

15、10.答案4 n解析 由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为 R,球心为 0,正四棱锥底面中心为 E,贝U 0E = |4-R|,所以(4 R)2 + (,-'2)2= R2,解得R = 4.所以球的表面 e81 n积 s= 4 nn2 = / .411.答案 4解析设球的半径为8 cm的水的体积为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为8n2,3个球的体积和为3 X n3,解得 r = 4(cm).三、解答题12.解如图所示, n3= 4 n3,n2X6r = 6nr3,高度为§由题意得6 n3 8 n2=Afi过C作C01丄AB于01.在半圆中可得 / B

16、CA = 90° / BAC = 30； AB = 2R, AC = ；3R, BC = R, C0i23R，-S球=4 nR2,§圆锥ao =.'3R= 2 nR2,c血V3 2S圆锥bo = n "2RX R=2 nR， S几何体表=S球+ S圆锥ao侧+ S圆锥BQ侧=11定+迥泯2= 11 +丽航22 n十 2 n2n"R .ii 十3故旋转所得几何体的表面积为2.O 01 切于 ABC.13.解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB接于O O,设O O的半径为R,由题意，得4伙3= 972 n所以 R3= 729, R= 9,所以 CE = 18.已知CD = 16,所以ED = 2.连接AE,因为CE是直径，所以