高三总复习2013高中数学技能特训2-3函数的奇偶性与周期性(人教B版)含解析

1、2-3函数的奇偶性与周期性基础巩固强化1.(文)下列各函数中，()是R上的偶函数()Ayx22xBy2xCycos2x Dy答案C解析A、B不是偶函数，D的定义域xR|x1不是R，故选C.(理)(2012洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3By|x|1Cyx21 Dy2|x|答案B解析yx3是奇函数，yx21与y2|x|在(0，)上为减函数，故选B.2已知g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，)内有1007个零点，则f(x)的零点共有()A2014个 B2015个C1007个 D1008个答案B解析奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，)上与x

2、轴有1007个交点，故在(，0)上也有1007个交点，又f(0)0，共有零点2015个3(文)若奇函数f(x)(xR)满足f(3)1，f(x3)f(x)f(3)，则f等于()A0B1C. D答案C解析在f(x3)f(x)f(3)中取x得，fff(3)，f(x)是奇函数，且f(3)1，f.点评解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用(理)(2011兰州诊断)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x2)，当1x2时，f(x)x2，则f(6.5)()A4.5 B4.5C0.5 D0.5答案D解析f(x2)，f(x4)f(x

3、2)2f(x)，f(x)周期为4，f(6.5)f(6.58)f(1.5)f(1.5)1.520.5.4函数ylog2的图象()A关于原点对称B关于直线yx对称C关于y轴对称D关于直线yx对称答案A解析首先由0得，2x2，其次令f(x)log2，则f(x)f(x)log2log2log210.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.5(文)奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)答案D解析f(x)为奇函数，不等式0化为xf(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0

4、，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，又f(x)为奇函数，当1x0，当x1时，f(x)0.不等式xf(x)0的解集为0x1或1x0的x的取值范围是()A(1,0) B(1,0)(1，)C(1，) D(，1)(1，)答案B解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x(0，)时，f(x)lgx，当x(，0)时，f(x)lg(x)，且f(0)0，f(x)0或解得x1或1x0.6(2012河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f()的值为()A B0C. DT答案B解析f()f()，且f()f(T)f()，f()0，f()0.7已知函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇

5、函数，它们的定义域都是，且它们在x0，上的图象如图所示，则不等式0的解集是_答案解析依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，0，或观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，x0或x0时，1a11a，则f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a3a1，由f(1a)f(1a)得a0，舍去；当a11a，则f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a3a1，由f(1a)f(1a)得a0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解析(1)证明：令xy0，知f(

6、0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)解：对任意x1、x23,3，设x10，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.能力拓展提升11.(文)f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x2)f(x)，当x(0,1)时，f(x)2x1，则f(log6)()A. BC. D6答案B解析log6log26f(2a)，则实数a的取值范围是_答案(3,1)解析依题意得，函数f(x)x22x在0

7、，)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3a2)f(2a)，只需3a22a.由此解得3a0，则x0，函数f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)111010，函数f(x)在(1，e)上存在零点，符合条件故应选择.15已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(xT)Tf(x)成立(1)函数f(x)x是否属于集合M？说明理由；(2)设f(x)M，且T2，已知当1x2时，f(x)xlnx，当3x2时，求f(x)的解析式解析(1)假设函数f(x)x属于集合M，则存在非零常数T，对任意xR，有f(xT)Tf(x)成立，即

8、xTTx成立令x0，得T0，与题目矛盾故f(x)M.(2)f(x)M，且T2，则对任意xR，有f(x2)2f(x)设3x2，则1x42.又f(x)f(x2)f(x4)，且当1x2时，f(x)xlnx，故当3x0且a1)是奇函数(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，)上的单调性并加以证明；(3)当a1，x(1，)时，f(x)的值域是(1，)，求a的值解析(1)f(x)是奇函数，x1不在f(x)的定义域内，x1也不在函数定义域内，令1m(1)0得m1.(也可以由f(x)f(x)恒成立求m)(2)由(1)得f(x)loga(a0且a1)，任取x1、x2(1，)，且x11，x21，x10，x2

9、10，x2x10.t(x1)t(x2)，即，当a1时，logaloga，即f(x1)f(x2)；当0a1时，logaloga，即f(x1)1时，f(x)在(1，)上是减函数，当0a1，f(x)在(1，)上是减函数，当x(1，)时，f(x)f()loga(2)，由条件知，loga(2)1，a2.(理)已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1)求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由解析(1)f(x)x28x(x4)216，当t14，即t4时，f(x)在t，

10、t1上单调递减，h(t)f(t)t28t.综上，h(t)(2)函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6lnxm，(x)2x8(x0)当x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当x1或x3时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln315.当x充分接近0时，(x)0.要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需即7m156ln3.所以存在实数m，使得函数yf(x)与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值

11、范围为(7,156ln3)1下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()Af(x)sinx Bf(x)|x1|Cf(x)(axax) Df(x)ln答案D解析ysinx与yln为奇函数，而y(axax)为偶函数，y|x1|是非奇非偶函数ysinx在1,1上为增函数故选D.2(2012南昌二中月考)函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数答案D解析由于f(x1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(1,0)，f(1x)f(1x)，即f(x)f(2x)又f(x1)是奇函数，则函数f

12、(x)的对称中心为(1,0)，f(1x)f(x1)，即f(x)f(2x)，f(2x)f(2x)，f(4x)f(x)可知4为函数f(x)的周期，则f(x3)是奇函数，故选D.3已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是()Acba BbcaCbac Dab1，|log3|log23log2，00.20.6|log47|0.20.6|.又f(x)在(，0上是增函数，且f(x)为偶函数，f(x)在0，)上是减函数bac.故选C.4若f(x)是偶函数，且当x0，时，f(x)x1，则不等式f(x1)0

13、的解集是()Ax|1x0 Bx|x0或1x2Cx|0x2 Dx|1x2答案C解析f(x)为偶函数，x0，)时，f(x)x1，当x(，0时，f(x)f(x)x1，f(x1)0或解之得0x2.5若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)0，故f(x)单调递增，f(3)f(2)且f(2)0g(0)1，故选D.6给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，f(xy).下列函数中不满足其中任何一个等式的是()Af(x)3x Bf(

14、x)sinxCf(x)log2x Df(x)tanx答案B解析选项A，满足f(xy)f(x)f(y)；选项C满足f(xy)f(x)f(y)；选项D，满足f(xy).7(2012东北三校联考)若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数是()A5B7C8D10答案C解析依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一直角坐标系内分别画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象(如图所示)，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数是8，选C.8(2012深圳调研)给出四个函数：f(x)x，g(x)3x3x，u(x)x3，v(x)sinx，其中满足条件：对任意实数x及任意正数m，有f(x)f(x)0及f(xm)f(x)的函数为()Af(x) Bg(x)Cu(x) Dv(x)答案C解析注意到满足题中的条件：f(x)f(x)(xR)，即所求函数是定义在R上的奇函数；f(xm)f(x)，其中m0，即所求函数是R上的增函数对于A，函数f(x)的定义域为x|x0，因此A不正确；对于B，函数g(x)是偶函数，因此B不正确