离散型随机变量的均值与方差

1、201314高三数学(理系列1:学案 主备人：姜顺根 审核人：裴贤喜 2014年3月7日第六节离散型随机变量的均值与方差一. 考点梳理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为XX1X2XiXnPP1P2ppn(1) 均值称日X) =为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的E(X)的平方差称D(X) =为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量X与其均值均，其中为随机变量 X的标准差.2均值与方差的性质(1) E(aX+ b) =； D(aX+ b) =( a、b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则曰为=, D(X) =若 X

2、0n, p)，则 E(X) =, D(X) =4. 随机变量均值、方差的求法若随机变量X不服从特殊的分布时，求法为：(1) 先求出X的分布列.(2) 求 E(X) = X1 p + X2p2 + Xnpn.(3) 利用公式 D(X) = Xi-日X> 2pi + X2 E(X) 2P2+ + Xn E(X) Pn,求方差 D(X).若随机变量X服从两点分布或二项分布，则直接利用均值方差公式可求.二. 自我检测1 .已知X的概率分布X101P111236设Y= 2X+ 3，贝y巳Y)的值为2 .某射手射击所得环数 X的概率分布如下:X78910PX0.10.3y已知X的数学期望E(X) =

3、 8.9，贝U y的值为.3. 设随机变量 XB(n, p)，且 日X) = 1.6 , D(X) = 1.28，贝U n, p的值分别为4. 随机变量 X的概率分布列由下表给出:该随机变量X的均值是 x78910P(X= x)0.30.350.20.15三. 例题分析考向一 离散型随机变量的均值与方差的求法【例1】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱 ).(1) 求在1次游戏中， 摸出3个白球的概率； 获奖的概

4、率；(2) 求在2次游戏中获奖次数 X的概率分布表及数学期望 E(X)、方差D(X).【训练1】(2013 南京模拟)某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率1均为2(1) 若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X的概率分布和数学期望、方差；(2) 假设连续3次投篮未中或累计 7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？201314高三数学(理系列1:学案 主备人：姜顺根 审核人：裴贤喜 2014年3月7日 总第77份 考向二均值与方差性质的应用【例2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n =1

5、,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的概率分布、均值和方差；若 Y= aX+ b, E(Y) = 1, D(Y) = 11,试求 a, b 的值.【训练2】(2013 苏北四市调研)A B两个投资项目的利润分别为随机变量X和& 根据市场分析，X和X2的概率分布表分别为：X5%10%P0.80.2%2%8%12%P0.20.50.3(1)在A, B两个项目上各投资100万元，丫1和Y2分别表示投资项目 A和B所获得的利润， 求方差D(Y) , QY);将x(0 < x w 100)万元投资 A项目，100 x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所 得利

6、润的方差与投资 B项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出x为何值时， f (x)取到最小值.考向三均值与方差的实际应用【例3】（2012 新课标全国卷）某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花， 然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量n（单位: 枝，n N）的函数解析式；（2）花店记录了 100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数P102016161513 ：10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i

7、）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学 期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进 16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进 16枝还是17枝？请说明 理由.【训练3】（2011 陕西卷）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10 2020 3030 4040 5050 60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有 40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择

8、各自的路径？ 用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案,求X的分布列和数学期望.四练习反馈1. 已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X) = 6.3，则a的值为X4a9P0.50.1b2. 已知随机变量 X服从二项分布，且E(X) = 2.4 , QX) = 1.44，则二项分布的参数 n, p的值分别为.3已知随机变量 X+ Y= 8,若X氏10, 0.6)，贝U巳Y) , D(Y)分别是.4.已知X的概率分布为X101P111236,1231“则在下列式子中： e(X)= 3；d(x)= 27；rx= o)=-.正确的序号是5. 个篮球运动员投篮一次得

9、3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、2 1b c (0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则a+莎的最小值为 .6. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则 D(X)=.二、解答题(每小题15分，共30分)7. 某篮球队与其他 6支篮球队依次进行 6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率;(2)求这支篮球队在 6场比赛中恰好胜了 3场的概率;(3) 求这支篮球队在 6场比赛中胜场数的均值和方差.4所以在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2,方差为3.& (2012 盐城调研)有一种闯三关游戏的规则规定如下：用抛掷正四面体骰子(各面上分别有1,