立体几何证明题

1、立体几何证明题（文科）立体几何练习1.如圏:梯形ABCD和正尢43所在平面互相垂直,其中AB/ DC,AD=CD = -AB，且0为4中点.2(I)求证：BC 平面POD ；(II)求证：AC 丄 PD.2如图,ABCD的边长为6 , ZBAD = 60°, AC 3D = O将董形ABCD沿对角 线4C折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱的中点,DM =3近.(I )求证：OM/平面ABD ;(n )求证：平面ABC丄平面MDO ;(HI)求三棱M-ABD的体积.3. 如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABCD为直角梯形.ADI/BC , ZADC=90° ,BC=AD

2、, PAPD , 0 为 AD 的中点(I )求证:AD丄平面PBQ ；(D )若点M在棱PC上，设PM=M/C试确定的值,使得PA/平面 BMQ 4. 已知四棱锥P-ABCD的底面是萎形PB = PD , E为PA的中点P(I )求证：PC II平面;(H )求证:平面PAC丄平面BDE5. 已知直三棱柱ABC-A.B.C,的所有棱长都相等，且DE，尸分别为眈，昭，丛的中点.(I)求证：平面BfC 平面以£)；(II)求证：BG丄平面E4D6. 如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,ZADE = 90° , AF/DE , DE=DA = 2AF =

3、 2.(I)求证：AC丄平面；(口)求证：AC平面BEF ;(2)平面BEF丄平面PAD.D(ID)求四面体BDEF的体积.&如图，四边形ABCD为正方形，"丄平面ABCD, PD QA , QA=AB=丄PD29.如圏,在"BC 中,zABC=45° , ZBAC=9O°, AD 是 BC 上的高 # 沿 AD 把 ABD 折起,使ZBDC=9叭(1)证明：平面ADB±平面BDC;(2 )设BD",求三棱锥D-A B C的表面积。参考答案：1.证明：(I)因为。为中点，所以BO = AB, 又AB/CD,CD = AB ,所

4、以有 CD=BO、CDMBO、 所以ODCB为平行四边形, 所以 BC/OD.又DOu平面POD、BCU平面POD,所以3C/平面POD(H)连接OC.因为 CD = BO = AO, CD /AO.所以 ADCO 为边形，又AD = CD，所以ADCO为萎形,因为正三角形PAB,0为4B中点,所以AC丄DO,所以PO丄4，又因为平面45CD丄平面PAB,ABCD I平面PAB = AB , 所以PO丄平面ABCD ,而4Cc平面ABCD ,所以PO丄AC ,又POI 00 = 0，所以4C丄平lilPOD.又PDu平面POD ,所以AC丄PD 2. ( I )证明：因为点O是萎形ABCD的对

5、角线的交点,所以O是AC的中点又点M是棱BC的中点，所以OM是AABC的中位线，OM H AB.因为OM(Z平面ABD,ABd平面4BD ,所以OM/平面ABD.（口）证明：由题意，OM=OD = 3.因为DM = 3忑麻以Z£>OM=90° , OD丄0M又因为萎形4BCD ,所以OD丄4C.因为OMI AC = Or所以OD丄平面ABC ,因为ODu平面MDO ,所以平面ABC丄平面MDO.（m ）解：三棱锥M - ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积.由（口）知，OD丄平面4BC ,所以OD=3为三棱锥D/WM的高.M的面积为扣从就如2。弓x6®&g

6、t;/3_932 2所求体积等于3证明：（】）"“，毗专"，0为“的中点,士 L "丿彳卩】一 Jd:.CD/ BQ / ZADC=90°:.ZAQB=90° PA=PD, Q 为的中点，:PQ丄MQ. PQCBQ=Q,MQ丄平面PBQ.口）当21时， 平面3MQ.即 QBLAD.连接如二交3Q于/V,连接M/V.边形BCQA为平行四边形，且/V为中点,点M是线段兀的中点, MN/PA. M/Vu 平面 BMQ,刊平面 BMQ,PAH平面3MQ.4. (I)证明：因为E . O分别为PA , AC的中点,所以EO II PC因为EO u平面BD

7、EPC0平面BDE所以卩(711平面3/兀(a)证明：连结OP5. ( I )由已知可得 AF/QE , AF = B.E ,四边形AFB占是平行四边形，/. AE/FB,平面 BfC* , FB u 平面 BfC ,:.AEH 平面 F/C ；又DE分别是CBQ的中点,. DE/B.C ,Q EDU 平面 BfC , B、C u 平面 BfC ,Q A£l DE = E、AEu 平面 £A£>平面 B/C II 平面 E4£).(H) 三棱柱ABC-AQG是直三棱柱，/. GC 丄面 ABC ,又Q 4Du面 ABC , C】C丄AD又Q直三棱柱

8、ABC - A0C的所有棱长都相等,DBC边中点, AABC是正三角形， BC丄AD ,而CLC BC = C , CC；u面BCCQ , BCu面BCC ,/. AD 丄面 BCCB,故4D丄q .Q四边形BCCQ是萎形，. B：丄B、C ,而 DE/BQ，故 DE 丄 Bq f由 ADI DE=D , ADu面EAD , Qu面EAD , 得 BC】丄面EAD6. (I)证明：因为平面A BCD丄平面ADEF , ZADE = 90° ,所以DE丄平面A3CD ,所以皿丄AC.因为ABCD是正方形,所以AC丄3Q ,所以AC丄平面(II)证明：设ACI 3D = O ,取BE中点

9、G ,连结FG、OG ,所以，OG I丄*DE.因为 AF/DE , DE = 2AF ,所以 AF 纟 OG ,从而四边形AFGO是平行四边形，FG/AO.因为FG U平面BEF, AO（Z平面BEF,所以40平面BEF ,即AC/平面BEF.（皿）解：因为平面ABCD丄平面ADEF .丄AD,所以A3丄平面ADEF因为AF/DE, ZADE = 90°, DE=DA = 2AF=2 .所T的面积为冷皿2 '1 4 所以四面体BDEF的体积=-S旳xAB=.7. 解：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，/. EF PPD 又Q PD u 面PCD EF <Z 面P

10、CD直线EF平面PCD（2 ）连接 BDQ AB=AD,ZBAD=60°, MBD 为正三角形F是AD的中点,/. BF丄AD又平面 PAD丄平面 ABCD , lnPADrMfi|ABCD=AD,/. BF 丄面PAD、BF u IhjBEF所以，平面BEF丄平面PAD.&解：（D由条件知PDAQ为直角梯形因为QA丄平面ABCD ,所以平面PDAQ丄平面ABCD ,交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC丄AD ,所以DC丄平面PDAQ ,可得PQ丄DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= PD ,则PQ丄QD所以PQ丄平面DCQ.(II)igAB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积 =由(I)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ= yf2a ,厶DCQ的面积为半川, 所以棱锥P-DCQ的体积为V2=l /.故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为19. (1) 折起前AD是BC边上的高，当厶 ABD折起后，AD丄DC , AD±DB ,又DBc DC = D ,A D丄平