空间解析几何与向量代数综合复习考试

1、空间解析几何与向量代数一、向量代数(i) 有关空间直角坐标系下点坐标的问题。1. ( 4)在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A)(2,- 3,4)(B)(2,3,- 4)(C)(2,- 3, - 4)(D) (一 2, - 3,4)解：(A )W(B )V( C )W( D )m32. (6 )若 A(11, 3), B(1,3, 0)，则 AB 中点坐标为(1,1, ) , | AB |= 5.2 3. (7 )求(a,b,c)点关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点坐标。解：(1) xoy-(a,b,-c), yoz(-a, b,c), xoz-(a,b,c)(

2、2) x /a, -b, -c), y (a,b, c), z ( a, -b, c) (3) o(0,0,0) -(-a,-b,-c)4. (4)若点M的坐标为(x, y,z)，则向径OM用坐标可表示为(x, y, z)或lx, y, z?.5. ( 8)一边长为a的立方体放置在xoy面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x轴和y轴上，求它各顶点的坐标。解: ( a,0,0), (0, a,0), (- a,0, a), (0, a, a)2 2 2 26. ( 7)已知 A(-1,2,-4) , B(6,-2, t)，且 | AB 卜 9，求(1) t; (2)线段 AB 的中点坐

3、 标。55解: (10或-8,(2)( ,0,-2)或(，0,-6)22(ii) 有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。7. ( 8)设已知两点MM4八2,1)和M2(3, 0,2)，计算M1M2的模、方向余弦、方向角及 单位向量。1 212 兀解: (1 )模 2, ( 2) (，-Q,：2 223& (6 )若：,:,为向量 a 的方向角，贝V cos2 ?cos2 :cos2 二 _2 2 2sin “：亠 sin , ； sin 2 9. (6 )设 m (3,5, 8) , n (2,_4,_7)和 p =(5,1,_4)，求向量 a =4m - 3n p 在 x 轴 上的投影及在y

4、轴上的分向量。彳 - - -解：(1) 13,( 2) 7j ( a =4m 3n 一 p 二4(3,5,8) 3(2,一4,一7) 一(5,1,-4)= (13,7,15)10. (6 )已知点P的向径0P为单位向量，且与z轴的夹角为，另外两个方向角相等，6求点P的坐标。解:11.(6 )已知向量a与各坐标轴成相等的锐角,| a |=2.3，求a的坐标。解:因为 3cos2 ：=1= cos 3，所以3ax=a cos二=2 33 = 23同理ay =az=2，故 a =(2,2,2)(iii) 向量的数量积与向量积及其坐标运算。12. (4 )下列关系式错误的是 (D )K.MMM_|K*

5、M2 2(A) a b = b a (B) a b - -b a (C) a =| a |(D) a a = 013. (7 )设 a (3,-1,2), b =(1,2,-1)，求 a b 与 a b.解: a b = -1, a b -3,5,7：14. (7 )设 a =(2,-3, 2), b = (-1,1, 2), c =(1,0,3)，求(a b) c.2-3 2解: (b) c = -112 = 111 03(iv) 用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影。4 b4, a15确定下列各组向量间的位置关系：(1) (4 ) a =(1,12)与 b

6、= (-2,-2,4)(2) (4 ) a = (2, -3,1)与 b = (4,2,-2)a_b16. (7 )求向量a =(4,-3,4)在向量b =(2,2,1)上的投影。解: prjba =cos(a, b) = aa b=?PHb|(v)用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题。17. (7 )已知：OA=i 3k , OB = j 3k，求 OAB 的面积。解:s也=OA汉OB =心218. (7) lABC三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A(X1, yj, B(X2, y2),C(X3, y3),. ABC的面积?12X1y11解：S也BC X2y21X3y31则如何

7、用向量积的方法来求出19. ( 7 )试找出一个与=(1,2,1),b =(0,1,1)同时垂直的向量。(1,-1,1)川、综合应用题型：(i) 涉及到代数向量(即用坐标表达式表示的具体向量)的综合计算问题。20.( 10 )已知三点 M1(2,2,1),M 2(1,1,1),M3(2,1,2)，( 1 )求.M1M2M3 ；(2)求与MjMzMqMb同时垂直的单位向量。解：(1)M2M1 =(1,1,0) M2M3 =(1,0,1), cos(M2M1,M2M312故 M1M2M3 3(2)(M1M2 m 2m3)m1m2 m2m321. (8 )已知 A(1,0,0), B(0,2,1),

8、试在z轴上求一点C ,使厶ABC的面积最小。1解：设 C(0,0,z), A2(5z2 -2z 5) = z4二、平面方程(i) 三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置。26. (7 )求过三点 M1 (2, T,4), M 2( T,3,-2), M 3(0,2,3)的平面方程。若A(xi, %,乙)，B(X2, y2乙),C(X3, y, Z3)不共线，你能给出过此三点的平面方程吗?解：因为平面的法向量为-3-2k一 6 =(14,9,一1)-1故 14(x -0)9( y-2) -z(z-3) = 0.14x 9y -z -15 = 0x -x1y y1-z1x2 -禺

9、y2 - y1 z2 7 = 0 X3 花 y3% Z3乙27. 指出下列平面方程的位置特点，并作示意图：(3) (5 ) x2y 3z8 二 0.(1) (5 ) y -3 =0 ；(2) (5) 3y 2z = 0 ； 解：(1)过点(0,3,0)且平行于坐标面 xoz的平面。(2) 过x轴且垂直于坐标面 yoz的平面。(3) 截距分别为8,-4,8的平面。3(ii) 二平面垂直与平行的判定。28. 判定下列两平面之间的位置关系：(1) (4 ) x 2y4z=0 与 2x 4y8z=1.(2) (4 ) 2xy 3z =1 与 3x2z = 4.解 (1)平行；(2)垂直(iii) 二平

10、面夹角的计算(夹角规定为 0,)。229. (4 )求两平面 x-y，2z-6=0 和 2x，y，z-5 = 0 的夹角。解:cos1 2 (-1)1 2 16 y =2 +t, z = 3.解：=(-1,2,3),S2二(2,1,0),S)s2 = 0所以 J _ L2(2) (4) L1 : X 二2x + y _1 =0, 3x + z2 =0.解: s =(-1,2,3) , S2 二=(1,-2,-3) 一(-1,2,3)所以L,II L2（iv）点到直线距离的计算.x 136- (7)求原点到T=y-2口的距离。2X 1解：方法（1 ）化鼻=y 一2 =2 2x = 2t 1z -

11、 3为参数方程y = t 2z = 2t 3点（0, 0, 0）到直线上任意点的距离为（参数为t的点）d(t)二(2t 1)2 (t 2)2(2t3)2二 9t220t 149(t214-10014-10=(t993方法（2）过点（0, 0, 0）与且直线垂直的平面方程为2(x -0) (y -0)2(z -0) =0109x = 2t 1将直线L化为参数式方程为y = t九2代入直线L的垂面方程，得z = 2t 311 8 7所以(0, 0, 0)在直线L上的垂足为(，一)9 9 9所求距离为91)2(9)2(9)21；四、平面与直线综合题(i)直线与平面的交点计算。z 4.38. (5 )

12、求直线x - 2二y - 3与平面2x y z - 6 = 0的交点。2z 4 解：(1 )令 x -2 二 y -3t2代入平面得 2(t2) (t 3)(2t4) - 6 = 0 , t = -1所求交点为(1,2,2)(ii)已知点在已知平面的投影计算。39. (7 )求点M (5,0,-3)在平面二：x y - 2z T = 0上的投影。解：过M (5,0, -3)且与二:x y - 2z T = 0垂直的直线方程为x -5 y z 3t1 1 -2代入得 t 5 t - 2( -2t - 3)1 = 0= t = -2 x =3,y = -2,z =1 ,故在平面二：x y -2z

13、1 = 0上的投影为(3,-2,1)(iii) 直线与平面特殊位置关系的判定。X 1 V 十1z+1l l40. (4 )设 L :与二：2x 2y i2z = 2，则(C )-421-1(A) L_二 (B) L 二，L 二一 (C) L 二二L( D) L 与二夹角为一4(i)涉及线面关系的综合计算。2x 2y +4z 7 = 0,41. (7 )求过点(2,0,-3)且与直线丿垂直的平面万程。_3x +5y -2z +1 = 0.i j k解：？ = 224 =_16(1,_1,_1)3 52所求平面方程为(x _2) _(y 一0) _(z 3) = 0即 x-y-z-5 = 042.

14、(7 )求过点(0,2,4)且与两平面x 21和y -3z =2平行的直线方程。解:直线的方向向量为 s = (-2,3,1)43.解:故所直线方程为_23(7 )求过点M (3,1,-2)且通过在直线口心z -4口二口二的平面方程。1z 上取一点 P(4,-3,0)2 1MP=(1,4,2), n =(1-4,2) (5,2,1) =j-4= (-8,9,22)所求平面方程为 -8(x -3) 9(1)22(z20即 8x -9y -22z -59 =044.(7 )已知直线y 2 z 3L1 : x -1，直线 L2 : 2y 一1-1，求过L1且平1行L2的平面方程。解：n =皐1,-3

15、,心在L1上任取一点(1,2,3),故所求平面方程为(x -1) 3(y -2) (z 3) = 0 即 x _3y z 2 = 0(i)已知点在已知直线上的投影问题。X 1 y z + 145. (7 )求点M(4,1,-6)关于直线L :的对称点。2 3-1x = 2t +1X _1yZ + 1解：直线L:的参数方程为y = 3t .(*)2 3-1|z = -t -1过点M(4,1,-6)与且直线L :垂直的平面方程为2(x - 4) 3( y -1) 一 (z 6) = 0.(*)将(*)代入(*)2(2t1 -4)3(3t -1) -(-t -1 6) =0= t = 1 + 42由

16、山2即得垂足为M0（3,3-2）,=3| x = 2 =3 得 y = 5I z = 2-2（ii）已知直线在已知平面上投影直线方程的计算。x+v_z_1=046. （7 ）求直线丿在平面x + y+z = 0上的投影直线方程、x_ y +z +1 =0.x + y _z_1 =0,解：过直线.X y + z1-。.的平面束方程为x y -z -1 丁 畝x - y z 1） = 0即（1 ） x （1 -，） y （， -1） z ， -1=0由（1） 1（1 一，） 1 （ 一1） 1=0得y _ z_ 1 = 0,x y z 二 0.x + y - z T = 0,故直线.x-y+z+1

17、=0.在平面x+y + z = 0上的投影直线方程为第七章测试题、选择题1点(a, b, c)关于 y轴的对称点坐标为 (A) (-a, -b, -c)(B)(-a,b, -c)(C) (a,b,c)(D) (a,b,c)2.下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角(A)30,45 ,60(B)45 , 60 , 90(C) 60 , 90 ,120( D)45 , 90 , 1353.平面 *26y 3z - 3 = 0与xoy面夹角为 ( C )(A)-(B)(C)-(D)-6432x 2y 2z3-(D )4.直线L :与平面n:x y z-3的位置关系为31-4(A)平行(B)垂直(C)

18、斜交(D) L在平面一一上二、填空题TtJIJIJTTtJIJIJT1. 过点M (1, 2, 3)且与yoz坐标面平行的平面方程为x = 12. 若 a =4，b =2，a b =42，贝y a 汇耳=4J23. 点(1, 2, 1)到平面x 2y 2z-10 =0的距离为1三、计算题1. 设 a =2, -3,1, b = 1, -1,3, c = 1, -2, 0,求(a b) c.2-31rfc-r解：(a 汇b) c = 1-13=21 -2 03.求点(-1, 2, 0)在平面x 2y - z 1二0上的投影。解：过点(-1,2, 0)且与平面x 2y - z T = 0垂直的直线

19、方程为:x - -1 t代入平面方程x 2y - z T = 0得其参数方程为* y = 2 + 2tz = t5 2 2 故投影为（-,23 3 34.求k的值，使直线 丄3 - 二乞虫与直线= y 5 Z一2相互垂直。 2k k+153k2解： =2k,k 1,5S2 =3,1,k-2令 Si- Si=0 得abc式0），并求x y 7四、（9分）求平面1被三个坐标平面所截得的三角形面积（a b c该平面与三个坐标平面所围的立体体积。解：点（0,0,0）到平面- =1的距离为a b c心6吟=新心A冷荷八氏2五、求过点（2,0,1）且与直线/x-3y + z-6 = 0平行的直线方程。4x

20、 2y +3z + 9 =02x 3v + z 6 = 0解：对于直线丿y令其方向向量、4x _ 2 y + 3z + 9 = 0s 二2,-3,1 4,-2,3 =-7,-2,8故所求直线方程为x -2yz-1-7- 285x 3y + 2z _5 = 0 入亠六、求证：直线丿包含在平面4x-3y+7z-7=0之内。、2x _y_z_1 = 05x 3y +2z 5 = 0解：直线丿 y的方向向量为、2x _y _z_1 = 0s 二5,-3,2 2,-1,-1 =5,9,1直线 25x_3y+2z_5_0平行于平面 4x_3y + 7z_7=0、2x _y _z_1 = 0可求得点（0，-

21、55x _3y +2z _5 = 0)在直线丿上，且在平面2x y z 1 = 04x3y 7z- 7 =0 内,5x 3y +2z 5 = 04x-3y 7z-7=0 之内。故直线丿y包含在平面2x _ y _ z _ 1 = 0七、求点（2, 3, 1）关于直线x - 7 =-_ = - 2的对称点坐标。23解：过点（2,3,1）且与直线x/y2=3垂直的平面万程为：x-22(y-3)3(z-1) =0()| x = -7 +1而直线x +7=的参数方程为y=-1+2t代入平面方程（* ）得:23z = -2 + 3t故平面x - 22（3）3（z -1） = 0与直线x 7二-=-2的交

22、点为23132639（一7,-1,-2）777y +1 z + 2一由中点坐标公式得：点（2, 3, 1）关于直线x 7的对称点坐标为23(-135 17 43JJ7 77重积分(i) 涉及重积分性质的客观题。1.( 5)利用二重积分的估值定理估计I = . . (2x y 1)d二，其中DD 二(x,y)|O 一 x _1,1 一 y 一 3.解：因为 f(X, y) =2x y 一1 在 D 内 Zmax =6，Zm -2故 4 . I i(2x y -1)d；- 12D2.( 5 )设D是以点(O,O), (1,-1)及(1,1)为顶点的三角形区域，试比较(x2 -y2)d二与Dli.、

23、x2 - y2d二的大小。D解：易知，当(x, y) D 时，0 乞 X2 - y2 乞 1,故 x2 - y2 . x2 - y2所以 I i(x2 - y2)d；一 、x2 - y2d二DD3 记忆以下二重积分奇偶对称性性质：(1) 当积分域D对称于x轴时，令D 是D关于x轴某一侧的部分，f (x, y)为D上的连 续函数，则有2 I f (x, y)d；,若f (x,y)二 f (x, y)关于 y为偶JJf(x, y)dtDD0,若f (x,-y) = - f (x, y)关于 y为奇(2) 当积分域D对称于y轴时，令D 是D关于y轴某一侧部分，则有2 I f (x, y)d；二,若f

24、 (-x, y) = f (x, y)关于 x为偶JJf(x, y)db=, D1 =(x, 丫)訶+土兰 1,xZ0, yAO，则有(A)(x2 y2)d 、!(x2 - y2)d匚DD1(B) !(x2 y2)d；2 !j (x2y2)d二DD1(C) ii(x2 y2)d；=4ii(x2y2)d；D1(D)(x2 y2)d二=8 (x2 y2)d二DD14.设D由x轴，直线x =e及曲线y = ln x围成，则! f (x, y)d匚=De Inx(A)0dx0 f(x,y)dy1 x(B) (dyfnx f(x, y)dxe In x(C) 1 dx0 f(x, y)dye e(D)

25、0 dx ey f (x,y)dx(A) I, : I 2( B)丨1=丨2(C) Il I2(D) I1J2 大小无法比较5以二重积分! f c, x2 y2) 为极坐标下的二次积分，D由y = X2及y=x围成，正D确的是卫 tan日(A)/小二。f (r)rdrtan、-seed(B)04d0f(r)dr(C)tan / sec -io4 d r o f (r)rdr(D)tan、：sec 寸o d “ o2f(r )dr二、填空题1若D =*x, y)0兰x兰3, 0兰y兰我I = ”(x + y) 二.3 13d 2 d二 2二 In0 2 ； 22db，则用估值定理，可估计出I的D

26、取值范围为0,482、2x _x2111_y22.改换| dx 2f(x,y)dy次序的正确形式为dy f(x,y)dx二、计算题2_1.求 11 xyd 二，D 由 y=x 及 x，2y-3=0 与 x 轴所围。D解:2y = xx 2y _3 = 092 (舍去)9J =113 _2y. .xyd；=0dy y xydx =(9y-13y4y3)dyTx2y2 _ 9.2.求一 db，其中 D = Qx, y)D x +y二二 sin3.改变 pdy. y二2xdx的积分次序并求值。Jt r 解：0dy y2sin x dxx?dx x2 2xsin x2dx =1sin x dyx无穷级

27、数、常数项级数(i)无穷级数基本性质的客观题。1 是非题：(每题4分)(1)QOJ收敛，则nimUn。反之亦然。()nn_；：-:(2)oO7 Un收敛,n 4QOQOVn发散，则v (Un Vn)必发散。(V )ngn 4(ii)涉及等比级数和p级数敛散性的客观题。2.( 4 )下列级数收敛的是 (B)(C：于nJ 23. ( 4 )下列级数收敛的是QO(A )7 3nn z4(B)(C) J fnm n +1(D、壬 Fn* n3 +1(iii)运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。4.判别下列级数的敛散性：(每题6分)oO sinn dji2naO(3) In(1n 4oO

28、 (n 二解：(1)解:nlim-门21n_.1发散n 二 noOzn Tnn21发散。(2)解:oOzn =11nsinlim -n ，12nQO二 sinn =1(3)解：limln(1 1)n=1(4)解:n(2n 112n匚n（2n1）n 收敛（iv）运用比值审敛法判别正项级数敛散性的题型。5判别下列级数的敛散性：（每题6分）(1)J： 2n _1nj(、2)n(3)(4)oO2 (n 1) sinn z1(5)O0n =42nn!n，你能求n2nn! lim - n_)二吗？ n n(1)解:2=2:2n 收敛on 吕(.2)n(2)解:lim 也=3 1:-n、发散on吕n(3)解

29、:n送5 收敛。i 匚nn 2 65解:lim山丄：1Un 2歹收敛。QO、(n 1)2sinn =1(5)解:lim Un-L =j： Un2n 1 (n 1)!(n 1)n 1n2 n!nnlim( 11)nn110,2), 0 p 兰1的麦克劳林展开式将一些简单的函数用初等方法禾U用 e=ln 2 ln(1 -x) ln(1)2,sin x, cosx, ln(1 x)展开成幕级数。16.填空题：2ex的麦克劳林展开式为2n(2) ln(2 x)2(4) In(x -3x 2)1x2 -5x 62 - x1 12彳x3彳x1 12 3n xn=12n2丄3 n =0:- nx3noO A

30、A1_1n=(n 十qn+ )x n=023cos2x的麦克劳林展开式为匚（_1）n 1心（2n）!17将下列函数展开为 x的幕级数，并指出展开式成立的区间：（每题7分）(1) x2 -5x 6(3) sin2 x:-nxx(2) ln(2 x) = ln2 ln(1 ) = ln2 (-1)心n, x (2, 22 心n 2心 2x 1 - COS2X 11n (2x)2nn 1 4n 2n(3) sin x =(1)(1)x222山(2n)! n#(2n)!2(4) ln(x -3x 2) = ln(1-x)ln(2-x)QO=ln 2、(一1)n n n 1 (-1)n AoO11=ln

31、 2 、(一1)心_(1_ )xnnjn 218.将下列函数在指定点Xo处展开成(X-Xo)的幕级数，并指出展开式成立的区间:12x 3x 2, x“(2)( 7) SR，21 131 x 431 _ 1 1x2 3x 22 彳 x 421 1=匚(77nr)(x 4)n,x (-6,-2)nm 23xX 1(2)In =ln1 (x1) In 21 n(1)x +122n 1 In 2 (-1)nx-1)n, x (0,2nmn 2川、综合题型：并由(i)求幕级数的收敛域，并利用逐项求导，逐项积分或初等方法求幕级数的和函数,此确定某些常数项级数的和。J(1)nn=0 n 100 xn19.

32、( 7 )求幕级数.的收敛域，并求其和函数，并计算n=0 n +100 Xn解：幕级数Xn =0的收敛域为-1,1):_ n 1 X 当 x = 0 时，xs(x)：n=0 n +1 n=000 x=_ I xndx =x 000 ( xn)dxn=0故s( x)=x 1dx 二-In(1 - x) )1 一 x1- In (1-x),xf-1,02(0,1) .x2n +1 c2n +120. ( 7 )求幕级数v的收敛域，并求其和函数，并计算 、半nW 3nT 3解:幕级数J2n 1n z03nX2n的收敛域为（- .3, . 3 ）2n-=2(n 1)-1n =03n2nXX2=2、(n

33、1)()nn=0:x2八(Rnn卫 3121亠3227221 3_X2 2(j29 3x(3-x2)221.解:n 1n=03n=s(1) = 3.(7 )求幕级数心 n!n的收敛域,并求其和函数，并计算non!幕级数、n卫1 n xn的收敛域为R n!1 n2n =0旳1n 1 nX = X n! nM!n!= ex(1 xx2)1 =s(1) =3e.n n!测试题一、选择题1. lim Un =0是数项级数 n.（A）充分但非必要条件（C）充分且必要条件cO7 Un收敛的 （B ）n经（B）必要但非充分条件（D）既不充分也不必要条件00 a2. 级数V c（ ）n （be =0）收敛的条件是 （D ）n z!b（A） a : b（ B） |a| |b|（ C） |a | ： |c |（ D） | a | ： |