线性离散系统的Z变换

1、2.5 z传递函数2。5。1 z传递函数的定义：输出脉冲序列的z变换Y(z )跟输入脉冲序列z变换R (z)之比G(z)Zy(kT) Y(z)Zr(kT) R(z)2.5。2连续环节(或系统)的离散化1.冲激不变法G (s G (z)h (kT) 求G(s )的拉氏反变换h(t)(脉冲过渡函数 令t=kT代入h(t)得到离散环节冲激响应 求h(kT)的z变换，得z传递函数G(z)K例2.18试离散化连续环节G(s) s a,求G (z)解:(1)h(t) L 1G(s) Keat(2)t=kT 代入 h(t),得 h(kT)KeakT(3 )求h (kT )的z变换KzaT z e(s a)K

2、zs a(s a)(s b)(z esT)2.部分分式法例 2.22G( )K已知 s (s a)(s b),求 G (z)解：n2, d a, % bnG(z) (s s)G(s)z/ (z esT)i 1s siG(z)(s b)Kz(s a)(s b)(z esT)s bKzKz(a b)(z eaT)( b a)(z ebT)bTaT、(z e ) (z e )kzaTbT(a b)(z eaT)(z ebT)aT bTLe ekzaTbT(a b)(z eaT)(z ebT)3.留数法若G(s )有N个不同极点，有I重极点，则:G(z)N1/ (Ii 11)!】drT(sdssjGz

3、 / (z esT)sSi解:G(s)25已知G(s)N 1,l2净a1(s a)2 ,求 G (z)pi1 (2 1)!ds(s a)21 (s a)2Z(Z 刀丄z_sTds z ezT( esT) (z esT)2TzeaTJ(z eaT)22。 5.3Z传递函数的性质1. z传递函数与差分方程例2.28设线性离散系统的差分方程为:y(kT)+3y ( kT T)+4y ( kT-2T)+5y(kT-3T )=R(kT)-3R(kT T)+2R(kT-2T)且初始静止。试求系统的 z传递函数解：对差分方程作z变换得丫 3Y(z)z4Y(z)z 25Y(z)zR(z) 3R(z)z2R(z

4、)z系统的z传递函数为G(z)Y(z)R(z)1 3z 11 3z1G(z)2z24z 25z 3z3 3z2 2zz3 3z2 4z 5例2。29设线性离散系统的z传递函数为G(z)z4 3z3 2z2 z 1z4 4z3 5z2 3z 2试求系统的差分方程由 G(z)Y(z)R(z)z4 3z3 2z2 z 1 z4 4z3 5z2 3z 21 3z12z2z34 z1 4Z15z23z32z4可得到：Y(z)(14z15z2 3z3 2z4)R(z)(13z12z2 z3 z4)对上式两边作z反变换，可得差分方程为y(kT)+4y (kT T) +5y (kT-2T)+3y (kT 3T

5、)+2y (kT-4T)=r (kT) +3r(kT T) +2r(kT-2T)+r(kT-3T ) +r(kT 4T)2.开环z传递函数(方框图变换)a)串联环节(1)图 2.10(a)G(t)! _ !1一+.y(刃(e)离散环节率联是两个离散环节 G1(z )， G2(z )串联.（两个离散环节内均有采样开关） 其整体开环z传函：G(z)= G1(z )G2(z)Z例 2。30 设图 2.10 (a)中 G1 (z)= z 1 , G2(z )=azz e T ,试求开环z传递函数G(z).解：G( z)= G1 ( z)G2 ( z)z az=T=z 1 z eaz2=(z 1)(z

6、e T)(2)图 2。10(b) ，i-i捡V Q s Q (s) Y丄®T/(b)连续坏节串联是两个连续环节G1 (s),G2(s )串联。(其Y(z)左边有采样开关，但两环节之间没有采样开关)其整体开环z传递函数：G=ZG1( s)G2( s):=G1G2 (z)(即：两者不能直接相乘)(3)图 2.10 (c)T(0连续环节间带采样开关是两个连续环节 G1(z ) , G2(z)串联(其丫(Z )左边有采样开关，而且两环节之间也有采样开 关) 其整体开环z传函:G( z)= ZG1(s) ZG2 (s)=G1 (z) G2(z)例2.31设图2。 10(b )中GU) 陋“一

7、G一获)Y-生 TI(b)连续环节串联1G1(s)= saG2 (s)= s a试求开环Z传递函数G (z)1a=Zssa】a（部分分式）=Zss a】zz（求z变换）=z1z e Tz(1e T)(通分)(z 1)(z e T)例2。32设图2。10（c）中仗）连续环节间带采样开关1aG1(s)= s ,G2(s )=s a，试求开环z传递函数G （z）1 aZZ s s a一亡宀-z 1 z e2az(z 1)(z e T)从例2。31、例2.32可以看出串联的连续环节之间有无采样开关，开环Z传递函数是不同的.b)并联环节的z传函图 2.11(a)离散环节井联是两个离散环节并联开环 z传函

8、为:G (z)= G1(z ) +G2 (z)图 2。11 (b)G(x)<b)连续环节并联图 2.11 (c)(0带釆样开关的连续环节并联图2。11(b)和图2.11(c )均为两个连续环节并联， 开环z传函都是:2.闭环z传函(方框图变换)图也理线性离啟闭环系统之一图2。12的解题过程：(1) Y(z)是怎么来的：(Y (z)的左边有采样开关)丫(z)= E(z)ZG(s)E(z)是怎么来的：(E( z)的左边有采样开关)E( z)=Z : R (s) - E (z) Z : G(s 门 ZF(s)=R(z) E(z) G (z) F(z )(G (s)和F(s )之间有采样开关)(

9、3)在(2)中提出E(z):R1 G( z)F(z)将(3)代入(1),得:G(z) R(z)1 G(z) F(z)(5)由(4)可得线性离散系统的闭环z传函:Gc(z)Y(z)R(Z)G1 G( z)F(z)再看图2。13I 巩訂 卜-2.13线性离散闭环系统之二图2。13的解题过程：(1) Y (z)是怎么来的：(Y( z)的左边有采样开关)Y(z)= E2(z)Z :G2(s) E2 (z)是怎么来的:(E2(z)的左边有采样开关)E2(z) =ZR(s ) Gi (s)(R(s) f Gi(s)之间无采样开关)E2(z) Z :G2 (s)F(s ) Gi (s)(G2 (s)f F(

10、s ) f Gi(s)之间无采样开关)=RGi ( z) E2 ( z) G2FG1 ( z)(3)上式中提出E2(z)，得:E2(z)RGi (z)1 G1G2F (z)(4)将上式代入(1)式,可得线性离散系统的闭环z传函:Y(z)RGi (z)1 GGF(z)2。5.4用z传函分析过渡过程(简介)求出丫.画y(kT)(即：Y(z)去掉zr的曲线)例2.34设线性离散系统如图2。 14,且a=1/s ,K=1,T=1s，输入为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。解：将已知参数代入式（2 40），可得到闭环Z传递函数e 1z (1 2e 1)Gc(z)z2 z (1 e0.368Z 0.26

11、4z 0.632输入为单位阶跃序列时R(z)Y(z)=Gc( z)R(z)0.368z20.264zz3 2z2 1.632z 0.6321 2368 z + z +1.4z 3 + 1.4z4 + 1.147z0.895z 6 +0.802z 7+0.868z 80.993z 9 +1.077z 10+1.081z 111.032z 12 +0.981z 13+0.961z 14=0+0.973z 15 + 0.997z 16 + 由z变换的定乂，离散系统输出时间序列为ji<0) = o； 1)(4巧=1-4； = 0, 8681 乂12T) = L 032? <16T) = 0

12、, 997 $yCT) = 0. 368;-y(5D 二 1*147»y(9T)二 0. 993*jpCIST) = a 9811ra ty(ZT = 1 j了 (3T)=yT) = 0. 8951 yC7T)=7 L 07?f yillTy(UT) = 0- 96h J(1ST)L4-1-2-LOr D酎0.60.42r 1F 6T 时 10T L2T AT02 卜«a冬 w离政黨仙出的球冲挥列由图知 调节时间约ts比12s超调量p约为40%峰值时间tp=3s，震荡次数N=1.5次，衰减比 2 : 1，稳态误差ess =0.2。5。5用传函分析误差（简介）1.单位阶跃输入

13、zR(z)=z ，稳态误差为1ess e( ) (z 1)E(z) H K2.单位速度输入R(z)昴,稳态误差为氐e ）啊（z DE四心叽d（z）hg（z）TKv3.单位加速度输入R(z) T2z(z 02(z 1)3，稳态误差为T2ess 6（）（Z 1）E啊耐1 D（z）HG匸Ka2.6稳定性分析2。6。1 s平面与z平面的映射关系部分*s平面与z平面的映射关系如图2-19所示*设S平面上左半部分有直线 周，显然|e|<l.6,映射到Z平面上，是以原点为心以曰丁为半径的圆设S平面上右半部分有直线巴映射到z平面上，是以两点为圆心以申厂为半径的圆 周，显然k*>r|>l.另外

14、必须指出必屋采样角频率叫的周期函数，当s平面上Q不变*角频率闻由Q变到 无穷时，乂的模不变，只是相角作周期性变化*在离散系统的采样角频率较系统的通頻带高许多时，主要讨论的是主频区，即w = %/2舛/2其中仙=2灯7其余部分则称为辅频区.丈F 的周期特性如图2. 20所示"2。6。2稳定域（单位圆） 2.6。3稳定判据稳定判据1. 舒尔( Schour) 科恩 (Cohn )选系数行列式0 06a0 0 “04 000 «0000"0So5i0、 00aoN 000衬；+3 -0o上2ai-2a4an-l*+2a.心+3 »M0 .* * > &#

15、176;1(2-56)Si a-2So N.J0 50式中令m=i, 2, 3, n, n为特征方程的阶数,N为4的共扼复数。.是2mX2m行列式，把各阶行列式顺序排列成4, ，4,，人，4,其符号变更的数目就是稳定根的数目。所以若系统稳定,变号次数就等于特征方程式（2-55）的阶数。.系统穩定的条件是： -：，4. V0,加为奇尊.、,.；：、.亠0, m为偶兹JJ 加=1 时s a14=4冃A =心耳 a0m = 2 时f<2«-i=aif a-z=aot a-a。066一1如a00a”4 =0 a0.ax *d.TNo :a0 .m = 3时a。00anaan4。00an

16、如如 ：do00a.005o5.a2a-0 .0a0(2-575 J (2-58)0-59)(2-60)Ny N-i N 0000 ”0ana# 3000an% 1r z1住0000J平卄r 如0d!-0 : -萝 V/ A f000®v: fes 玉000a0at1目 1口 It 1N000Soax1 / " 1 * . »1 <1<n-t么刁一000aQ2劳斯(Routh )稳定判据w变换 令z 1w代入特征方程。列劳斯表第一列均为正，则稳定在连续系统中应用劳斯判据判断系统的极点是否分布在S平面的左半平面$同样在錚性离散系统中也可以用劳斯判据判断离

17、散系统的稳定性。不过需要作Z-W变换；令更=占匕；(2-63>1 w经过Z-W变换,Z平面上以原点为圆心的单位圆周映射到W平面上为虚釉忆平面上单位圆内的各点映射到W平面上为左半平面上各点忆平面上单位圆外各点映射到W平 面上为右半平面上各点© ZW变换的映射关系如图Z 23所示*Z-W变换是线性变换所以映射是对应的关系。系统的特征方程为+ An-yZ*l + 月.7於7 + + A。= 0经过z w变换，可得到代数方程aju* +诃7 + + 如=0 (2*64)对式(264施用劳斯判据便可判断系统的稳定性。劳斯判据的要点是；(1) 特征方程久"+心_|3"7

18、+47诃7 +“+臥=0,若系数a.«aQ的符号不相同则系统不稳定。若系统符号相同，建立劳斯行列表.(2) 建立劳斯行列表:；讨k诃7wtt*4Tax0图223 Z平面与W平面 的映射关系W、W、A1%4一 1» bz =i 览_°-5a*-ia 需14.丁一-1a.-s 1以”1dn T；4 =仇b*1如Qji 2* * *4却1<3卯=?1 A btbx3b、11 ij<3)若劳斯行列表第一列各元素均为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。(4若劳斯行列表第一列岀现负数，表明系统不稳定。第一列元素符号变化的次数，表 示右半平面上特征根的个数。例2o 39(P70 )设有线