罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的实际应用

1、中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容(3.1、3.2)3.1中值 定理名称条件结论罗尔 中值 定理y = f (x) ：( 1)在a , b上连续；(2)在(a , b 内可导；(3) f (a) = f (b)至少存在一点沁(a , )b使得f/( B =0拉格 朗日 中值 定理y = f (x)( 1)在a , b上连续；(2)在(a , b内可导至少存在一点巴乏(a,b)使得f/(9 _ f(b)_f(a)b - a柯西 中值 定理f (x)、g(x):(1)在a , b上连续，在(a , b内可导；(2)在(a , b内每点处g/(x)工0至少存在一点舉(a , )b使得f/( 3

2、 _ f(b)-f(a)g/（ 3b-a3.2洛必 达法则基本形式0O0土型与_型未定式0旳通分或取倒数化为基本形式0旳1) 田_出 型：常用通分的手段化为 一型或一型；000旳2) 0 8型：常用取倒数的手段化为 上型或一型，即：0旳00旳旳0 ,比二二_或08=二一；1/叱01/000取对数化为基本形式0 0 型:取对数得0 = e，其中0 -In0二0 8=二1/田0qQqQ或 0 I n 二；1/0旳2）严型：取对数得1塔e I1其中血In1二旳-0=二1/血00O0或垃 In 1 翊，=0 二；1/0旳000lnco3）血型：取对数得血 =e，甘缶00其中 0 In0 8=1/况0q

3、QqQ或 0 I n二Sn二。1 / 0 00课后习题全解f (3) = 0,1-0习题3-1 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求岀满足定理的数值(1) f (x) =2x2 -X-3一1,1.5 ；(2) f (x) = x . 3 - x0,3。知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f / ( E) =0，得到的根E便为所求。解：(1)Y f (x) =2x2 x3 在-1,1.5上连续，在(一1,1.5)内可导，且 f(1) = f(1.5)=0,2- f (x) = 2x x3在一1,1.5上满足罗尔定理的条件。令( E)= 4E

4、1= 0寻1E (-1,1.5)即为所求。(2) t f(x) =X.3 X 在0,3上连续，在(0,3)内可导，且 f(0) =f (x) = x- x在0,3上满足罗尔定理的条件。令f ( 8二 厂 匕 -0，得E = 2 (0,3)即为所求 2圧8 2.验证拉格朗日中值定理对函数y = 4x3-5x2 + x2在区间0,1上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思、路:根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f ( 8二丄，若得到的根8 0,1 则可验证定理的正确性。解：v y = f (x) =4x3 -5x2 x -2 在0,1连续，在(0,1)内可导，y = 4x3 - 5x2 x

5、 - 2在二要使f( “0)1-0区间0,1上满足拉格朗日中值定理的条件。又f (1) - -2,f (0) - -2，f (x) =12x2 - 10x 1，=513(0,1)，使 f(E)二12f(1) f(0)，验证完毕。1-0 3.已知函数f(x) =x4在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的解军：要使f (E)二竺 也，只要4E3=15二二21，从而E二-(1,2)即为满足定理 4.试证明对函数 y = px2亠qx亠r应用拉格朗日中值定理时所求得的点E总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为a,b，则函数y = px2 qx r在a,b上连续，在(a,b)

6、内可导，从而有 f(E(b)-f(a)b a2 2，即 2 E + q =(Pb +qb+r)(Pa +qa + r)b a解得，结论成立。2 5.函数f (x) =x3与g(x) =x2 - 1在区间1,2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值E。知识点：柯西中值定理。思、路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程Xij = f (b) - f (a)，得到的根e便为所求。gO g(b) g(a)32解：T f(x) =x及g(x) =x 1在1,2上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有g (x)二2x= 0,所以满足柯西中值定理的条件。要使D _ f(

7、2)-f(1)只要 g (E)g(2)-g(1)八 2 E14 _得E(1,2)，E即为满足定理的数值。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。9 6.设f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0。求证:存在 E (0,1)，使 f ( EE知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从(E二-卫卫结论出发，变形为Ef/(3 f( B=0，构造辅助函数使其导函数为f/(x)x f(x),然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。证明：构造辅助函数 F (x)二 xf (x)， F (x) = f (x) xf (x)根据题意F(x)二xf

8、(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(1) = 1f=0,f(E)EF(0) =0 f(0) =0，从而由罗尔中值定理得：存在E (0,1)，使F ( 8 二 f ( E) E f (E) = 0，即 f (E)二f (x)注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使f(X)，只要xf (x)1 xf (x)In f(x)二一1 n x二lnxf(x) =00二xf(x) =0f (x) xxf (x)二只要设辅助函数 F(x) = xf (x) 7.若函数f (x)在(a,b)内具有二阶导函数，且 f (xj二f (x2) = f (x3) (a ： % ： x2 : x3

9、: b)，证明：在(xX3)内至少有一点 E，使得 f ( E =0知识点：罗尔中值定理的应用 思、路：连续两次使用罗尔中值定理。证明：t f (x)在(a,b)内具有二阶导函数，f (x)在区乙、X2,X3内连续,在(X1,X2)、(X2,X3)内可导，又 f(X1)= f(X2)= f(X3)，由罗尔定理，至少有一点8 (x1 ,x2)、 8 (x2 ,x3)，使得f ( 8) =0、f ( E) =0；又f (x)在E, E上连续，在(E, E)内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点e (E, E)(x1 ,x3)，使得f ( E = 0。432 8.若4次方程a0xa1xa2xa3x

10、a4 = 0有4个不同的实根，证明：4a0x3 3a1x2 2a2x a3 = 0的所有根皆为实根。思、路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。432证明:令 f (x) =a0xa1xa2xa3x a4则由题意，f(X)有4个不同的实数零点，分别设为 Xl,X2,X3,X4 ,f(x)在Xi,X2、区兀、伙3人上连续，在(Xi,X2)、(X2,X3)、(X3 ,X4 )上可导，又 f(xj =f(X2) = f(X3) = f(X4) =0，二由罗尔中值定理，至少有一点(x1 ,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)使得 f ( G = f ( g) = f ( &) = 0，即方程 4a0

11、x3 3a1x2 2a2x a3 = 0至少有 3 个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。5 9.证明：方程x亠X -1 = 0只有一个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思、路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得岀结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。5解：令 f (x) = x x -1，丁 f (x)在0,1上连续，且 f (1) = 10，f (0) = -1 :： 0，二由零点定理，至少有一点 E (0,1)，使得f( e)= g亠1=0；5假设x - X-1 =0有两个正根，分

12、别设为 g、 g ( g ”： g )，则f (x)在在g, g上连续，在(g,g)内可导，且f( g)二f (g) =0，从而由罗尔定理，至少有一点 g (g,g)，使得f(g=5g40，这不可能。5二方程x x1 = 0只有一个正根。 10.不用求出函数f (x) =(x -1)(x -2)(x 3)(x 4)的导数，说明方程 f (x) =0有几个实根，并指岀它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：T f(x) =(x _1)(x _2)(x _3)(x _4)在1,2、2,3、3,4上连续，在(1,2)、(2,3)、(3,4)内可

13、导，且 f(1)二 f(2) = f(3) = f(4) = 0,由罗尔中值定理，至少有一点(1,2)、 & (2,3)、 (3,4),使得f ( &) = f ( &) = f ( &) =0，即方程f (x) =0至少有三个实根，又方程f (x) =0为三次方程，至多有三个实根，- f (x) =0 有 3 个实根，分别为 &(1,2)、&(23)、&(3,4)。 11.证明下列不等式：(1)arctanaarctanb 兰 ab ;(2) 当 x1 时，e ex ；11(3)设 x . 0，证明 In (1 x) ： x ；(4)当 x0时，ln(1 )x 1 + x知识点：利用拉格朗日

14、中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数、二f (x)，通过式子f ( & = f (b) f (a)b a(或 f(b) - f (a) = f ( &(b a)证明的不等式。证明：(1 )令 f (x)二 arctan x， 0 : & ： x， x ： x，即 x 0， ln(1 x) ： x。 1 + & (4)令 f (x) = In x (x 0)，v f (x)在x,1 x上连续，在(x,1x)内可导, 1 1 由拉格朗日中值定理，得In(1 ) = In(1 x) -In x = f ( &(1 -0)= f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗

15、日中值定理，得arctanaarctanb =| f( &(b _a) Jb a 兰 b a。(2) 令 f(x)=ex(x 1)，v f(x)在1,x上连续，在(1,x)内可导，由拉格朗日中值定理，得 ex 一 e = e &(x -1)，v 1 ： & ： x， e e = e (x -1) e(x -1) = ex e，从而当 x 1 时，e ex。(3) 令 f (x) = In(1 x) (x 0)，v f (x)在0,x上连续，在(0,x)内可导，1由拉格朗日中值定理，得In(1 x) =ln(1 x) -In(1 0) = f (&(x-0)x，1 + &1111t x E ：

16、1 x，二，即当 x . 0 时，ln(1 )E 1+xx 1+x2x 12.证明等式：2arctan x arcsin 2 = Mx 丄 1).1 +x知识点：f(x)=O：= f(x)=C ( C 为常数)。思路：证明一个函数表达式 f (x)恒等于一个常数，只要证 f(X)=02x证明：令 f (x) = 2arctanx arcsin 2 (x 丄1)， 1 + x当 x =1 时，有 2arctan1 arcsin 1 = n；当 x . 1 时，有2f(xF11一严2)21 x22(1 x2)-2x2x 212十 -一 2、2(1 X)1-x22-2x2(1 x2)2 2(-丄)

17、=0 , f(x) =C1 x21 x22x二 2arctanx +arcsin =冗(x 兰1)成立。f (1)；1 x2 13.证明：若函数f(x)在(-：,：)内满足关系式f (x) = f(x)，且 f(0) = 1，则 f (x) =ex。知识点：f (x) =0= f(x)=C思路：因为f(x)二ex= ef(x)=1，所以当设F(x)二ef(x)时，只要证F(x)=0即可 证明：构造辅助函数F(x)二ef (x)，则 F(X)二 ef (x) -e f (x) =0 ；- F(x)二f (x)三 C = F(0) =1二 f (x)二 ex。 14.设函数f (x)在a,b上连续

18、，在(a,b)内有二阶导数，且有f (a)二 f (b) =0,f (c)0(a ： c ： b)，试证在(a,b)内至少存在一点E，使f ( E ： 0知识点：拉格朗日中值定理的应用证明：t f(x)在a,c、c,b上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，由拉格朗日中值定理，至少有一点- (a,c)、 & 二(c,b),使得 f(&)(c) f(b)，f( &)(a) f(c) 0;c ba c又f (x)在&,&上连续，在(&,&)内可导，从而至少有一点E ( &,&)，使得 f (E)二 f (- f (: 0。 15.设 f(x)在a,b上可微，且 f .(a)0,匸(b). 0, f

19、 (a) f(g 厲证明 f(x)在(a,b)内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在a,b 上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得岀结论。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。证明：t f .(a) =lim f (x) 一 f (a) . 0，由极限的保号性知， tx _a3U+(a, )(不妨设 丈曲)，对于 WUa, )，均有 f (x) 一 f (a) 0，2x a特别地，Xi(a,)，使得 f(xi) (a) 0，二得 f(xi) f(a) = A；Xi a同理，由 f=b) 0,得三X2 U_(b,

20、 ) ( 2 01n tan 2x(6)(9)lim x2exx_0(13)a xlim (1);x川：x厦礴恳蹒骈時盡继價骚。x-a2x_n(冗 2x)(4)lim -x 八：arc cot xx3 -1 ln x(10)lim x(ex_J：:xe e-1);sin x(14)lim xx )0 (15)宀、 tan x-x limx 10 x-sin x（11）lim （丄x卩x1 . tan x lim () X】0 x(17)lim (1 sin x)x ; (18) lim (ln 丄)x ； (19) lix0x x:知识点：洛必达法则。(16)Jim (x ,1 x2)x ；(

21、8) lim xcot 2x ；x )0x(12) lim (-)；x * x-1 ln xx.e + l n(1x) 1 limx 0x-arcta n x(20)1lim (ntan )n二nn2思、路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为:0 :型与一型未定0式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于n-n型与0匚型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于 0型、1 :型与：0型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解：（1）x-xe -elimli

22、mxj sin x x 50x-xe e=2 ；(2)sin xsin a limxaxa(3)In sin x lim2xn(冗一2x)limln(1 1)xcosxcosx=limx a 1=cosa ；cosxsin xlimxn 4(2x ncosx=lim 乂三 4(2x - n-sin xx(x 1)1x2:x(x - 1)1 x2(5)(6)(7)(8)(9)7 sec2 7 xtan 7xlim ln tan 7x = lim 十 x0 ln tan 2x J0 2 sec 2x01x3 -1 lnxx e -etan xxlimJ0 x -sin xtan 2x3x2 1 l

23、im xx 12 secx -1二 limx7 1 -cosxlim xcot 2x = limx )0x 刃 tan 2x12 x2 lim x exx_01ex =lim - JO 1(或解为：lim x2x 01ex21(10) lim x(ex -1)x=li27cos 2x tan2x .lim21 ；x；tan7x 2cos 7x2 tanxse； x 二 limx_0sin x2=lim3 = 2 ;x 0 cos x=lim 2 x 】0 2 sec 2x二 limx )0limu：u12 r ex3匸xlim e2xxulim =：)ur： 11r2-1)limx：1=lim

24、Xj .12 ex1-2x1lim exx )：:=1 ；1（或解为：t当x:时，ex T1lim x(exx-1) =limxsc1/xe -11/ x-limS)x / x(11)lim- T xxe -1 -xx ) = lim xex -1 x 刃 x(ex -1)(ex -4) x=lim 2x 10x2xe 1 xlimx 0ex -112x _ 2(12)lim (x 1 x -1 ln xIn1 、xln X -X 1)=limlim八1 (x_1)l nxxj nx 9x1 l nx limx 31 l n x 2(或解为：lim xlnx-x十丁 i (x 1)ln xli

25、m (u 1)ln(u 1)-uu0uln(u 1)ln(u 1) ulimu )0(u 1)ln( u 1)-uu2ln(u 1)1(13) Hm(1 旦)xlim xln(1 -)e* xln(1 E) lim xalim ZX ：二x(14)lim sinxlnx lim ln x sin x x 0 亠x 0 ijcscxlim x ex 0 二 ex 0j0 -lim x 0 亠 xcotxcscx二 ex 0tan xsin x lim二 ex 、(15)ln x lim tanxx o，：；cotxlim e 0x 0 -=lim ex -p.1 lim 芋 x 0 . csc2

26、 x=lim ex 0 x 0 -lim哑. x(16)exIn(1 -x) -1limT x - arctanxx1ex11-亠1 xlim(1 gx_0-ex 1)(x-1)x2x x(xe -e 1) =limx_0x.xe-lim -x 0 2x(17)lim (1 sin x)ln(1 sin x)x limx 0cosxlimex01 sin x(18)lim(ln x)0xlimx 0,-=eln Jn x1x11()lim Jnxxx 0 1aV=ex-lim - MTn x-1-lim -,x_ 1/x=1 ;(19)(20)令 f(x)二2t sec t Jtantlim

27、22t2 ta nt二 e1 -cos2t lim 二 e 6tlim ln(x 2)X-)二limx，x2 elim 一1Xe(xtan1)，则 lim.(limx2(1 -cosx) -21二 lim (ntan)i：八nny：:x 2.验证极限limx-SCsinn2知识点：洛必达法则。2tsec t dtant2t3li 2t2lim lntantnt十+t2t _sin tcost lim 32t_&-h2t3cos2t =e1二 e3limt o亠t. . sin 2t22t3存在，但不能用洛必达法则求出。思、路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。

28、洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。 鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：t lim xsinx = nm (1xxsin) =10 = 1，二极限 lim X sin X 存在;xx 0 4.讨论函数f (x)= e，在点x=0处的连续性e为x乞0知识点：函数在一点连续的概念。思、路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念lim二 ex 0ln(1 -x) x1(1 + x) X 1 flim J1 In (1 切 %解：丁11吧 f (x)二 lim x = ex 0 x e1 lim1rx= f(0)，f (x)在x =0处右连续;f (x)在x = 0处左连续;从

29、而可知,(1+X)x1x f(x)Te .e42x 0在点x = 0处连续x乞0 5.设g(x)在X = 0处二阶可导，且g (0) = 0。试确定a的值使(x)在x二0处可导，并求P(x)f (0)，其中 f (x)二 x【a ,思、路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。解：要使f(x)在x=0处可导，则必有f(x)在x=0处连续,又 g(x)在 x =0 处 g(0) =0，二 a =lim f(x) =lim 也)蚁 g(0) =lim x x x -0呷豊罟=g(0)；由导数定义，f(0)二lim丄迪7x -0g(x)-g(0)1x叫2；2g(0)。2x= ii

30、mg(x)-g(0)xx)0名称主要内容(3.3 )内容概要3.3泰勒公式泰勒中值定理：如果f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n十1阶的导数，则对任一/f / ( x0 )2x(a,b)，有 f(x)=f(x) + f (xo)(xxo)+-_ (xxo) +f(n)(x )+ (x X。)n + Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式；n!f和化)其中Rn(X)= (X X0)n 1.按(X-1)的幂展开多项式f (x) = X4 3x2 4。( 介于x0于x之间)，称为拉格朗日型余项；或(n +1)!Rn ( X)= O( X - X。)“ ，称为皮亚诺型余项。n阶麦克劳林公式：

31、f(x) = f(0) + f/(O)x+ f (0)x2 + + f)(0)xn +Rn(x) 2!n!f(n 卅)(0x)其中 Rn(X)= Xn+( 0 B 1 )或 Rn(X)= O(X“)。(n +1)!2nXx常用的初等函数的麦克劳林公式：1)eX=1 + x + 十+十o(xn)2!n!352n +X丄 X亠丄 /* nX丄z2n -f2、2) sinx x+-+(1)+o(x )3!5!(2 n+1)!2462n3) COSX =1 _. +一+ +(1)n +O(X2n卅)2!4!6!(2n)!23n*4) ln(1+x)=x牛+ ：1)n+o(xn23n +115) =1+

32、x+x +x +O(X)1 -x一 1m(m1) 2 |_m(m-1)(m n+1). n.6) (1+x) 1+mx+x +x +o(x )2!n!知识点：泰勒公式。思、路：直接展开法。求 f (x)按(x - x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求 f (x) 直到n 1阶的导 数在x =x0处的值，然后带代入公式即可。解：f(x)=4x3 6x，f (1)=10 ； f (x) =12x2 6，f (1) = 18 ；f (x) =24x，f (1)=24 ； f (x)=24 ； f (1)=24 ； f(x) = 0 ；将以上结果代入泰勒公式，得f (x)二 f (1)-1)2 f-

33、(1(x -1)3 (x-1)41!2!3!4!=8 10(x-1) 9(x-1)2 4(x-1)3 (x-1)4。 2.求函数f(x)二 x按(x_4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 知识点：泰勒公式。思、路：同1。11解：f (x)，f (4):2厶41；f (x) x432f (4)323f r2，=256(4),(x)二15 x162 ；将以上结果代入泰勒公式，得f(x)二 f(4)1!f (4)(x-4)22!nrS(x-4)3 3!4!()4=2(x -4)4642(x-4)5一4)3笃(*-4)4，( E介于x与4之间)。128 E2 3.把 f (x)匕1 XX2

34、在x = 0点展开到含1 -x xX4项，并求f(0)。知识点：麦克劳林公式。思路：间接展开法。f (x)为有理分式时通常利用已知的结论=1 X x2 ：；川xn o(xn)。解: f(x) -1 x x2_x x 2x1 x + X1 - x x22x=1 21 -x x=12x(1 x) 11 x3=1 2x(1 x)(1 -x3 o(x3) =1 2x 2x2 -2x4 o(x4)；f 70）又由泰勒公式知x3前的系数3!=0，从而 f (0)。 4.求函数f （x） = In X按（X _ 2）的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思、路：直接展开法，解法同1;或

35、者间接展开法,f（x）为对数函数时，通常利用已知的结论23x x In(1 x)二 x -23o(xn 1)。方法一：（直接展开）f（X）21f（x）= 3，f -x4将以上结果代入泰勒公式，得（X）十1）11；f (x)，f (2H-1x4nJ (n -1)!n ，x(n)n _1 (n - 1)!十1) 2nln x = f (2) -f-(2)1! (x-2)f (2)(x-2)22!宁2)4川4!(2)n!(n)1 1(x-2)n o(x-2)ln2 尹一2) 一莎3)i2)3(-1)n-4/x-2)n o(x-2)n)。n 2x2x21x 22方法二：f (x) = In x = I

36、n( 2 x - 2) = In 2 In(1) = In 2()2 22 21(宁)3 -(-1)5(232n簽3&-2)33 2.nX-2、n1122 2 2 21-(T)Zon (x-2)n o(x-2)n)。n 2)o() ) = In2(x 2)3(x 2) 5.求函数f (x)=1按（X 1）的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。x知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1 ；或者间接展开法，f （x）为有理分式时通常利用已知的结论厂x X2 Mxn八方法一 ：f （x）二2f (x)亍，f (-1) = -2 ；x6f (x)4x3占n!f (_1)一 _6,f (n)(

37、x) =(1)nn!x将以上结果代入泰勒公式，得二 f (-1) f(一1)1!(X 1)f()(x 1)2-2!f 1)(x 1)3 J,3!(n)(n 1)n!+(n 1)!(E(x 1)n1=_1 _(x 1) _(x 1)2_(x 1)3 一 -(x 1)nn .2 (x 1)n 1 ( E 介于 x 与一 1 之间)。方法二：-1 -(x 1)23n二-1 (x 1) (x T) (x 1)(x 1)1)n1 1(x 1)(x 1)2(x 1)3 一k(x1)n1(E介于x与-1之间)。 6.求函数y二xex的带有皮亚诺型余项的 n阶麦克劳林展开式。知识点：麦克劳林公式。思路：直接展

38、开法，解法同1；间接展开法。f (x)中含有e时，通常利用已知结论2ex = 1 x xxo(xn)。2!n!方法一：y#(x 1)ex，y(0)=1； y(x 2)ex，y(0)=2 ；,y(n)二(x n)ex，y(n)(0) = n，将以上结果代入麦克劳林公式，得xex = f (0)亠g S1! 2!F3!x3 11) 4n!o(xn)=xx2方法2!x xe(nT)!(n -1)!o(xn)。o(xn)。xn4x31)!如J * W彳231 XXXX 7.验证当0 ： x 时，按公式 e ： 1 x计算e的近似值时，所产生的误差小于2 2 60.01，并求、e的近似值，使误差小于0.

39、01。知识点：泰勒公式的应用。思、路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。解：R3（x）二e 4 X 4!0 3x144x o(x )842o(x4)1。122x 10.设 x ： 0，证明：xIn(1 x)。2知识点：泰勒公式。思、路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。籟丛妈羥为贍债蛏练淨。x3x2x3解：ln(1xT 厂7(E介于0与x之间)，0，232x xx从而ln(1 x) = x3 x，结论成立。23(1 + E32(也可用 3.4函数单调性的判定定理证明之) 11.证明函数f(x)是

40、n次多项式的充要条件是 f(n1)(x)0。知识点：麦克劳林公式。思、路：将f (x)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。解：必要性。易知，若f (x)是n次多项式，则有f(n (x)三0。 知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。充分性。丁 f(n1)(x) =0，二f(x)的n阶麦克劳林公式为:f (x)二 f(0) f (0)xf (0)x22!(n 1)( 3xn1f (0)x3 川 f(n)(0)xn f3!n!(n 1)!-f (0) f (0) xf (0)x22!.f (0)x . 3!(n) ( 0) n()x ，即f(x)是n次多项式，结论成立。n! 12.若 f(x)在a,b上有 n 阶导数，且 f(a) =f(b) =f (b) =f (b) “I# fz)(b) =0证明在(a,b)内至少存在一点E，使f (n)( E) = 0(a ： E ： b)。思路：证明f($ = 0(a ： J： b)，可连续使用拉格朗日中值定理，验证 f 2)(x)在a,b上满足 罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据f (x)在x = b处的泰勒展开式及已知条件得结论。 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。方法一 ：t f(x)在a,b上可导，且 f(a)二 f (b),二由罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点 舀，使得f ( &) = 0 ；- f(X)