考点50离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差

1、取熬圆学子梦想铸金字品牌温馨提示：此题库为 Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比 例，关闭Word文档返回原板块。考点50离散型随机变量及其分布列、离散型随机 变量的均值与方差一、选择题1.(2013 广东高考理科4)已知离散型随机变量X的分布列为X123p33151010则X的数学期望E (x)=()35A. 3 B. 2 C. 5 D 322【解题指南】本题考查离散型随机变量的期望公式，可以直接代入计算.【解析】选A. E(x) =1 3 2 3丄=2=3.510101022. (2013 湖北高考理科9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小

2、正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X,则X的均A. 126 B.125【解题指南】65先求分布列，再求C.些125D75E(X)。【解析】选 B. p 3-; p 236; p 1;E(X)二丝 72 聖'125125125125121255二、填空题3. (2013 上海高考理科 T10)设非零常数d是等差数列xi,x2,xal(,xi9的公差,随机变量巴等可能地取值捲,x2, x3，川,x19，则方差DE =.2 【解析】E'=xio，dJ(928的120212III92) =30d2 .19【答案】30d2.4. (2013 上海高考文科 T6)

3、某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为.【解析】平均成绩二上0 75 竺80 = 78100 100【答案】78.三、解答题5. (2013 四川高考理科18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生./输出F /(结束(I )分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率R(i=1,2,3);(H )甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后, 统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据

4、.甲的频数统计表（部分）运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表（部分）运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30121172 1001 051696353当n=2100时,根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1,2,3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要 求的可能性较大.（皿）将按程序框图正确编写的程序运行 3次,求输出y的值为2的次数E的分布列 及数学期望.【解题指南】求解本题的关键是理解题意，并且弄清框图的功能，

5、找到随机变量可 能的取值，列出分布列再求数学期望.【解析】（I ）变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数，共有24 种可能.址熬圆学子梦想铸金字品牌1当 x从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,2；这 12个数中产生时，输出的 y=1,故 Pp；1当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出的y=2,故 P2=;1当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出的y=3，故卩3=召.1 1所以输出y的值为1的概率是刃输出y的值为2的概率是®输出y的值为3的概1 率是6.(H )当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的

6、值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为1的频率甲1027376697210021002100乙1051696353210021002100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(皿)随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3.P( =0)=C3°(3)°(|)3=,P( 心籾鈔4,P( =2)=C32迸,P(二可心卩鈔寺故的分布列为匕0123P8_2丄27927842 i所以,e =0 27+1 9+2 9+3 27=1,即的数学期望为1.6. (2013 四川高考文科T 18)某算法的程序框图如图所示

7、，其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生。(I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率R(i =1,2,3)；(H )甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统 计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分 数据.甲的频数统计表(部分)运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30121172 1001 051696353当n =2

8、100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y的值为 i（i =1,2,3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法 要求的可能性较大。【解题指南】求解本题的关键是证明理解题意，并且弄清框图的功能，在第（H ）问中应比较频率的趋势与概率进行判断.【解析】（I ）变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数，共有24 种可能.1当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 12个数中产生时，输出y的值为1,故二； rrr鼻1当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2,故卩2弋；1当x从6,1

9、2,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3,故卩3=石.1 1所以输出y的值为1的概率是1输出y的值为2的概率是§,输出y的值为3的概1率是16（H ）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1,2,3）的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为1的频率甲1027376697210021002100乙1051696353210021002100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.7. （2013 天津高考理科T16）个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张,编号分别为123,4;白色卡片3张，编号分别为2,3,4从

10、盒子中任取4张卡片(假设 取到任何一张卡片的可能性相同).(1) 求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.(2) 在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和 数学期望.【解题指南】(1)根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法，再求概率.(2)根据随机变量X所有可能取值列出分布列，求数学期望.【解析】(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)二C；所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为-.7(2)设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X =1)=1£P(XVC3C；4c32C3哙p(xeCH,p(X&q

11、uot;CC；所以随机变量X的分布列是X1234P1424353577随机变量X的分布列和数学期望吒2右3；4；浮8. (2013 浙江高考理科T19)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球，且规定: 取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记 随机变量E为取出此2球所得分数之和，求E的分布列.(2)从该袋子中任取 侮球取到的机会均等)1个球，记随机变量n为取出此球所得分数若 E(n )= 5,D(n )=31，求 a： b： c.【解题指南】（1）在分析取到两球的颜色时，要注意是有放

12、回地抽取，即同一个球可能两次都能抽到；（2）根据计算数学期望与方差的公式计算，寻找a,b,c之间的关系.【解析】（1 ）由题意得,E =2,3,4,5,6,P =26乂6P =3 =6 612 3 12 26汉6518P 養：=6口6汇6所以的分布列为23456P11_5_114318936136（H）由题意知的分布列为n123Pabca +b +ca +b +ca + b + cE 二aa b c2b3c 51=a b c a b c 3所以35 2DFa b c _ 3 a b3化简得axw，解得心"2c 所以 a: b: c =3: 2:1 .9. （2013 重庆高考理科18

13、）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(I) 求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；(H)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X的分布列与期望E(X).【解题指南】首先设出相应的事件，根据古典概型的公式求出恰好摸到一个红球 的概率，然后再求出相应事件的概率列出分布列求出期望 .【解析】设Ai表示摸

14、到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i=O,123)与Bj(j=0,1)独(I)恰好摸到1个红球的概率为P(AJ二18C735(H) X的所有可能值为0,10,50,200，且P(X= 200) =P(A3BJ =P(A3)P(B)二Cl1105P(X= 50) =P(A3B°)=P(A3)P(B°)吕彳C732105P(X= 10) =P(A2BJ =P(A)P(B1)二CfC；C73124 P(X =0) =1105351246 =105105357综上知,X的分布列为X20050100P6743521051105从而有 E（X）=O 6 10 50 2 200

15、-4（元）.73510510510. （2013 湖南高考理科18）某人在如图所示的直角边长为 4米的三角形 地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品 种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位:kg）与它的“相 近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的 概率；（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.【解题指南】（1）本三角形地共有15株作物,其中内部3株，边界12

16、株，结合题意求 解相应概率.（2）先弄清15株满足相应年产量的各有多少株，然后求出对应的概率，写出分布列 再求期望.【解析】（1）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数 为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的 不同结果有c3c；2=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8圆学子梦想铸金字品牌种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概 率为2二.369(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2)

17、,P( Y=45)=P(X=3),P( Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可，记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株 数(k=1,2,3,4)则 n 1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由 P(X二k)二巴得 P(X=1)= -,P(X=2)= -,P(X=3)= -=2,P(X=4)= -=-,N151515 515 5故所求的分布列为Y51484542P2421151555所求的数学期望为2421 34+64+90+42E(Y) =51484542=46 .151555511. (2013 江西高考理科18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是

18、参加学校排球队，游戏规则为：以 O为起点，再从A1, A2, A3, A4, A5, A6,A7, A8 (如图)这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队./L )1X,"TO1 x£心-i)（1）求小波参加学校合唱团的概率；求X的分布列和数学期望.【解题指南】（1）将基本事件总数求出，然后找所求概率事件的基本事件数，由 古典概型公式求得结果；（2）先确定X的可能取值，然后再计算各个概率值即 得分布列，最后计算期望值.【解析】（1）从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C2 =28种，X=0时,

19、 两向量夹角为直角共有8种情形.所以小波参加学校合唱团的概率为8 2P（X 二 0）.287（2）两向量数量积X的所有可能取值为-2, -1,0,1.X=-2时，共有2种情形，X=-1时，有10种情形，X=1有8种情形. 所以X的分布列为X-2-101P152214147715223EX =(-2)(-1)0 1.1414771412. （2013 山东高考理科19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3局 者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 丄外，其余每局2比赛甲队获胜的概率是2 假设每局比赛结果互相独立.3（I）分别求甲队以3: 0, 3: 1, 3: 2胜利的概率（H

20、）若比赛结果为3: 0或3: 1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结 果为3: 2,则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.【解题指南】（I）本题考查了相互独立事件的概率； （H）本题考查的是随机 变量的分布列及数学期望，先列出X的所有值，并求出每个X值所对应的概率，霸圆学子梦想铸金字品牌列出分布列，然后根据公式求出数学期望【解析】（I）记“甲队以3:0胜利”为事件A1，“甲队以3:1胜利”为事件A2,“甲队以3:2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立,038PAO=C3fj-|=27 , P(A3)七故 p（a ）= 2 i _,（3 丿27所以甲队以3:0胜

21、利、以3:1胜利的概率都为 空，甲队以3:2胜利的概率为 27由题意，各局比赛结果相互独立，427，427（H）设“乙队以3:2胜利”为事件A4,2 2所以 pa AC：2？/1 冷=27由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,123,根据事件的互斥性得Py =0 =P Ai A = P AiP A2 二另, 又 p 1 =P A =,274P2 AP A4273P X = 3 = 1 - P 0 - P X = 1 - P X = 2 =27故工的分布列为X0123P1644327272727所以 < = 0 1 2 3 7 .27272727 913. （2013 北京高考理科16）

22、下图是某市3月1日至14日的空气质量指数 趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200表 示空气重度污染，某人随机选择 3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天1日2日3日4日5日6B阳8日咱I阳日期空气质&拾数（1 ）求此人到达当日空气重度污染的概率（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X的分布列与数学期望。（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解题指南】（1）这是古典概型的概率计算问题，分别求出基本事件空间的基本事件总数、所求事件包含的基本事件总数，作比即可求出概率。（2）天数的可能取值为0，1,

23、 2,列出分布列，再求期望。（3）从图中找一找哪三天的波动最大，则方差也就最大。【解析】（1）某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，共有13 种可能。到达当日空气重度污染有 2种可能。所以概率为Z。13（2） X可能取值为0，1, 2分布列如下X012P544131313544 12E（X）=O12131313 13（3）5，6，7 三天。14. （2013 福建高考理科 T佝某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两 种抽奖方案，方案甲的中奖率为2,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为？，中奖35可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否 互不影响

24、，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求X < 3 的概率.若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问:他们选择何种方 案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解题指南】先求出X的取值情况，逐一求出对应事件的概率，利用期望公式求出 两种方案的期望，然后进行比较.【解析】(1)由已知得:小明中奖的概率为2,小红中奖的概率为2,且两人中奖与否35互不影响，记“这2人的累计得分X W3”的事件为A,则A事件的对立事件为“ X=5 ” ,因为 P(X =5)=2 2 =-,3 515所以 P(A)=1-P(X=5)= 11,15

25、所以这两人的累计得分X<3的概率为H.15(2) 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖的次 数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X”，选择方案乙抽 奖累计得分的数学期望为E(3X2),由已知:X1B(2,2), X2B(2,2),所以 E(XJ =2, E(X?) = 2,3355812所以 E(2Xi)=2E(Xi)= 8,E(3X2)=3E(X2)= 12,35因为 E(2Xi)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大.15. ( 2013 陕西高考理科19)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(

26、1至5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地 在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3 至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中 随机选3名歌手.(1) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望.【解题指南】利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解；通过确定随机变量X 的取值，求随机变量X的分布列，求随机变量X的数学期望三步完成.【解析】(1)设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手 观众甲选中3号歌

27、手的概率为Z,观众乙未选中3号歌手的概率为1-3。35所以 P(A) = 2 (1-3)-.3515因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为土.15(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为2,观众乙、丙选中3号歌手的概率为3。35当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0 , P(X = 0) = (1-2)(1 -°)24 .3575当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1 , P(X = 1)=2 “3、22(1一3)(1 -3) (1 -2) (1 山)-53558 6 6752075攻

28、熬圆学子梦想铸金字品牌当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2 , P(X = 2)=2 33、“23 323、31291233(1 ) (1 ) (1 ) .3 5535 53557575当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3 , P(X =3) = - (-).3575X的分布列如下表:X0123P42033187575757575Ex,0.±.1.2O.2-33.3. 20 66 54757575752815所以，数学期望EX嚼16. (2013 新课标全国H高考理科佃)经销商经销某种农产品，在一个销 售季度内，每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品，每

29、1t亏损300元根据历 史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一 个销售季度购进了 130t该农产品.以X(单位:t,100WX< 150)表示下一个销售季度 内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1) 将T表示为x的函数(2) 根据直方图估计利润T,不少于57000元的概率；(3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x 100,110 ）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入100,110的频率），求 T的数学期望。【解题指南

30、】（1）依题意，可求得T关于x的分段函数；（2）由频率分布直方图可知，知利润 T不少于57000元当且仅当120X 150.用频 率估计概率，可概率的估计值；（3）由分布列，代入期望公式，得所求.【解析】（1）当 X 100,130）时，T =500X -300 130-X =-800X-39000 ,当 X 130,1501时,T =500 130 = 65000.8 0X - 3 90 00X0:0所以 T =l6500 0,1X0150.（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当120沐乞150.由直方图知需求量X，120,1501的频率为0.7所以下一个销售季度内的利润T不少于5

31、7000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以 ET = 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4 二 59400.17. （2013 新课标I高考理科19） 一批产品需要进行质量检验，检验方案 是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3, 再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4, 再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下,號圆学子梦想铸金字品牌这批产品都不能通过检验.

32、假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 丄，且 2各件产品是否为优质品相互独立(I)求这批产品通过检验的概率；(H)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产 品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元)，求X的分布列及数学期望.【解题指南】(I)由事件的独立性和互斥性，并结合产品通过检验的情形确定 这批产品通过检验的概率；(H)根据题意，先确定 X的可能取值，然后求出相应的概率，列出分布列利用期望公式求出期望.【解析】(I)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件Ai，第一次取 出的4件产品全是优质品为事件Ai，第二次取出的4件产品全是优质

33、品为事件Bi, 第二次取出的1件产品是优质品为事件b2，这批产品通过检验为事件A.依题意 有 A=(AiBi) (A2B2)，且 AiBi 与 A2B2互斥，所以P(AP(A1B1) P(A2B2)364(1)3 i(1)4 .(i)4丄丄22222 i6 i6 i6 2i(H) X 的可能取值为 400 , 500 , 800, P(X=500)=丄i6iP(X =800)=4X400500800Pii丄ii6i644 i P(X =400) = i _i6 i6iii6所以X的分布列为iiii一EX =400500800506.25 (元)i6i64欧誑圆学子梦想铸金字品牌18. ( 20

34、13 大纲版全国卷高考理科T 20)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛， 其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 设各局中双方获胜的概率均为 丄,各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.2(I) 求第4局甲当裁判的概率；(II) X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.【解析】(I)记Ai表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第 4 局甲当裁判” 则 A 二 Ai A2.P(A) = P(A A 二 P(Ai) P(A2)=-.4方法一：(II)X的可能值为0,1,2 记As表示事件“第3局乙和丙参加比赛时，结果为乙胜丙”Bi表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，Bs表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”1P(X =0) =P(B1B2As) =P(B1)P(B2)P(As),81 P(X =2)二 P(B1 B3) = P(BJP(Bs),4115P(X=1)=1,848EX =0 1 1 5 2 -884X的可能值为0,1,2方法二：(II )由于第一局甲当裁判，乙可能当裁判次数 当