第七节高阶线性微分方程

1、1高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文 第十二十二章第七节第七节 高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 2高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时, 物体处于物体处于 平衡状态平衡状态, 例例1. 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动,xxo解解:阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后

2、放开下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图建立坐标系如图. 设时刻设时刻 t 物位移为物位移为 x(t).(1) 自由振动情况自由振动情况.弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有:(虎克定律虎克定律)xcf成正比成正比, 方向相反方向相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程.3高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动方程

3、:0dd2dd222xktxntx阻力阻力txRdd(2) 强迫振动情况强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mhH则得则得强迫振动方程强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd2224高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文求电容器两两极板间电压求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE例例2. 联组成的电路联组成的电路, 其中其中R , L , C 为常数为常数 ,sintEEm所满足的微分方程所满足的微分方程 .cu提示提示: 设电路中电流为设电路中电流为 i(t), LERKCqqi

4、上的电量为上的电量为 q(t) , 自感电动势为自感电动势为,LE由电学知由电学知,ddtqi ,CquCtiLELdd根据回路电压定律根据回路电压定律:设有一个电阻设有一个电阻 R , 自感自感L ,电容电容 C 和电源和电源 E 串串极板极板在闭合回路中在闭合回路中, 所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 05高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得则得0dd2dd2022CCC

5、ututuLERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于化为关于cu的方程的方程:,ddtuCiC注意故有故有 6高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为的一般形式为方程的方程的共性共性 为二阶线性微分方程为二阶线性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 可归结为可归结为同一形式同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时时, 称为非齐次方程称为非齐次方程 ; 0)(xf时时, 称为齐次方程称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy

6、通解通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Yy0)(xf7高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边代入方程左边, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQy

7、xPyC (叠加原理叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.8高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解并不是通解但是但是)()(2211xyCxyCy则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 9高高等等数数

8、学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122xx故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，,12xx若在某区间若在某区间 I 上上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次

9、多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为必需全为 0 ,可见可见2,1xx故在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数10高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数思考思考:)(),(2

10、1xyxy若中有一个恒为中有一个恒为 0, 则则)(),(21xyxy必线性必线性 相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略证明略)21, yy可微函数线性无关线性无关11高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 则则)()(2211xyCxyCy数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为xCxCysincos21(自证自证) 推论

11、推论. nyyy,21若是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC12高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则则是非齐次方程的通解是非齐次方程

12、的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程代入方程左端左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ13高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解是非齐次方程的解, 又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程对应齐次方程0 yy有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕证毕因而因而 也是通解也是通解

13、 .14高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. 15高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个

14、线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解, 则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解16高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是

15、任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD17高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件求此方程满

16、足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且xexeyyyyxx21312常数常数因而线性无关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为故所求特解为有三有三 18高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文*四、常数变易法四、常数变易法复习复习: 常数变易法常数变易法: )()(xfyxpy对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解: )(1xyCy xxpexyd)(1

17、)(设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为 )(1xyy 代入原方程确定代入原方程确定 ).(xu对二阶非齐次方程对二阶非齐次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知对应齐次方程通解已知对应齐次方程通解: )()(2211xyCxyCy设设的解为的解为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有两个待定函数由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程所以要建立两个方程:)(xu19高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令令02211vyvy于是于是22112211v

18、yvyvyvyy 将以上结果代入方程将以上结果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得得)(2211xfvyvy故故, 的系数行列式的系数行列式02121yyyyW21, yy是对应是对应齐次方程的解齐次方程的解,21线性无关因yy20高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文fyWvfyWv12211,1积分得积分得: )(),(222111xgCvxgCv代入代入 即得非齐次方程的通解即得非齐次方程的通解: )()(22112211xgyxgyyCyCy于是得于是得 说明说明: 将将的解设为的解设为 )()(21x

19、yxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程只有一个必须满足的条件即方程, 因此必需再附加一因此必需再附加一 个条件个条件, 方程方程的引入是为了简化计算的引入是为了简化计算.21高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文情形情形2.).(1xy仅知仅知的齐次方程的一个非零特解的齐次方程的一个非零特解 , )()(1xyxuy 令代入代入 化简得化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为设其通解为 )()(2xzxZCz积分得积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程一阶线性方程)由此得原方程由此

20、得原方程的通解的通解: )()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy22高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文例例5.0) 1( yyxyx的通解为的通解为,21xeCxCY 的通解的通解.解解: 将所给方程化为将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程已知齐次方程求求2) 1() 1( xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用利用,建立方程组建立方程组: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得积分得积分得xexCvxCv) 1(,2211故所求通解为故所求通解为) 1(221xxeCxCyx) 1(221xeCxCx23高高等等数数学学 第十十二二章 第七节/32应用数学教研室 赵惠文例例6.42)( )2(xyyxxyx 求方程的通解的通解.解解: 对应齐次方程为对应齐次方程为0)( )2(2 yyxxyx由观察可知它有特解由观察可知它有特解:,1xy 令令, )(xuxy 代入非齐次方程后化简得代入非齐次方程后化简得xuu 此题不需再作变换此题不需再作变换. 特征根特征根:, 1, 0rr设设的特解为的特解为)(BAxxu于是得于是得的通解的通解: )(22121xxeCCux故原方程通解为故原方