2第2章代数式

1、第2章 代数式21 有字母表示数22列代数式专题一 列代数式1 观察下列各式：，(1)计算：13+23+33+43+103的值；(2)试猜想13+23+33+43+n3的值2 用代数式表示图中阴影部分的面积3 问题探究用如图所示正方形纸板制作一个无盖的长方体盒子，可在正方体的四角减去相同的正方形，剩余部分即可做成一个无盖的长方体形盒子(1)设正方形纸的边长为a，减去的小正方形的边长为x，请用a与x表示这个无盖长方体形盒子的容积；(2)把正方形的纸板换成长为a，宽为b的长方形纸板，怎样做一个无盖长方体形盒子？画图说明你的做法；(3)把(2)中做的长方体形盒子的容积用代数式表示出来；(4)比较(1

2、)和(3)的结果，说说它们的区别和联系 专题二 用代数式解决趣味问题4 甲对乙说：“有一个游戏，规则是：任想一个数，把这个数乘以2，结果加上8，再除以2，最后减去所想的数，此时我就知道结果”请你解释甲为什么能知道结果5 魔术师表演了一个猜年龄和零钱的节目，魔术师让一位观众心算，把自己的年龄乘以2，加上5，再乘以50，然后加上口袋里的零钱数(以分为单位，要求少于1元)，再减去一年的天数365天，最后把心算的结果告诉他，魔术师便立即报出这位观众的年龄和口袋里的零钱数，你能发现其中的奥妙吗？6 学校准备好材料在花园里砌一个如图1形状的喷水池，有同学提议改为如图2的形状，且外圆直径不变你认为原来的材料

3、够不够用？请说明理由21 有字母表示数【知识要点】在含有字母的式子里，字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“·”数字与数字相乘时一般仍用“×”号，也可用“·”号，但要注意与小数点区分开在字母和数字的乘积中，数字通常写在字母的左边【温馨提示】在含有字母的式子里，要符合用字母表示数的书写要求，带分数与字母相乘时，带分数应化为假分数22列代数式【知识要点】把数与表示数的字母用用运算符号连接而成的式子叫做代数式单独一个字母或者一个数也是代数式 【温馨提示】列代数式常见的题型有两种：一种是列文字语言叙述的代数式，另一种是实际问题中的代数式，解题的关键在于要

4、把题中的基本数量关系用数学式子准确地表示出来参考答案1 解：(1)13+23+33+43+103=×100×121=3025；(2)13+23+33+43+n3=2 解：阴影部分的面积为：=3 解：(1)依题意，长方体盒子容积为：(a2x)2x；(2)画图如下：(3)设减去的正方形边长为x，根据题意得：(a2x)(b2x)x；(4)(1)中底面积为正方形面积为(a2x)2，(3)中底面积为长方形，面积为(a2x)(b2x)，高都为x，(3)中当a=b时即得到(1)中的结果4 解：设这个数为a，那么代入运算得：(2a+8)÷2a=4，那么无论想什么数，最后的结果都是

5、45 解：设观众的年龄为a，口袋里的零用钱为b，根据题意可知，观众心算的结果为(2a+5)×50+b365=100a+b115，魔术师把观众告诉他的结果加上115后，所得四位数的前两位为观众的年龄，后两位为零用钱数6 解：设大圆的直径为r，则其周长为r，三个小圆的直径分别为r1、r2、r3，则周长之和为r1+r2+r3=(r1+r2+r3)，又因为r1+r2+r3=r，所以三个小圆的周长之和恰好等于一个大圆的周长因此，若材料损耗忽略不计，则原有的材料够用23 代数式的值专题 求代数式的值1. 数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+b+

6、1例如把(3，2)放入其中，就会得到32+(2)+1=8现将有理数对(2，3)放入其中得到有理数m，再将有理数对(m，1)放入其中后，得到的有理数是多少？2. 已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+a2012的值3. 已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+|3a+c|=0求式子5ab2bc+3ac+2abc的值4 三个有理数a，b，c的积是负数，其和为正数，当x=时，试求x20132012x+2011的值【知识要点】1如果代数式里的字母用数代入，那么计算后得出和结果叫做代数式的值2代数式里的字母可以取各种不同的数值，但所取的数值使代数式和它表示的实际

7、数量有意义【温馨提示】(针对易错)1 用数值代替代数式中的字母时，要注意“对号入座”，并注意必要时要添括号和添乘号；整体代入是求代数式的值常用的数学思想方法2 代数式里字母的取值范围必须使代数式所表示的实际问题有意义参考答案1解：已知有理数对为(2，3)，则a =2，b=2，再将其代入a2+b+1可得：m=(2)2+3+1=8；再把有理数对(8，1)代入a2+b+1可得：82+1+1=66答：最后得到的有理数是662解：因为a3+a2+a+1=0，所以1+a+a2+a3+a2012=1+a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3)+a2009(1+a+a2+a3)=13解：已知a是最小

8、的正整数，所以a=1.因为|2+b|+|3a+c|=0，所以|2+b|=0，2+b=0.以b=2，|3a+c|=|3+c|=0，3+c=0，所以c=3.把a=1，b=2，c=3代入5ab2bc+3ac+2abc得，5ab2bc+3ac+2abc=5×1×(2)2×(2)×(3)+3×1×(3)+2×1×(2)×(3)=194解：因为三个有理数a，b，c的积是负数，其和为正数，所以三个有理数a，b，c中有两个正数、一个负数，所以、中有两个1和一个1，所以x=1，所以x20132012x+2011=12011

9、2012×1+2011=024 整式专题 确定单项式或多项式1 一组按规律排列的式子a2，其中第8个式子是，第n个式子是(n为正整数)2 试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：(1)六次三项式；(2)每一项的系数均为1或1；(3)不含常数项；(4)每一项必须同时含字母x、y，且不能含有其他字母3 观察下列单项式：x，3x2，5x3，7x4，37x19，39x20，写出第n个单项式为了解决这个问题，特提供下面解题思路：(1)这组单项式的系数的符号规律是 ，系数的绝对值规律是 ；(2)这组单项式的次数的规律是 ；(3)根据上面的归纳，可以猜想第n个单项式是(只能填写一个代

10、数式) ；(4)请你根据猜想，写出第2013个单项式： 【知识要点】1由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式2单项式中，与字母相乘的数叫做单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 3几个单项式的和组成的代数式叫做多项式单项式和多项式统称为整式【温馨提示】1在确定单项式的次数时，应是所有字母的指数和，数字因数的次数不能包括在内2一个代数式如果是整式，那么这个式子的分母不能含有字母参考答案1， 【解析】 分析可得这列式子：正负相间，且其分母依次是1，2，3，分子依次是a2，a3，故第8个式子是 ，第n个式子是2 解：答案不唯一，如：x3y3x2y4+xy5

11、；x2y4xyxy23 解：这组单项式的系数的符号规律是数字为1，3，5，7，9，11，为偶数且偶次项为负数，可得规律：(1)n ， (2n1)；字母因数为x，x2，x3，x4，x5，x6，可得规律：xn，于是得：(1)(1)n(或：负号正号依次出现)，2n1(或：从1开始的连续奇数)，即(1)n(2n1)xn；(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)(1)n(2n1)xn(4)把n=2013直接代入即可得到：4025x201325 整式的加法和减法专题一 化简1 化简求值：，其中2有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，请你判断|ab|a+b|是正数还是负数，并说明理由3

12、 如果a，b，c，d为互不相等的有理数，且|ac|=|bc|=|db|=1，试确定|ad|的值专题二 运用4 某校组织若干师生到社会实践基地进行社会实践活动若租用45座的客车辆，则余下20人无座位；若租用60座的客车则可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，那么乘坐最后一辆60座客车的人数是多少？5 任意写出一个数位不含0的三位数，任取三个数字中的两个，组合成所有可能的两位数(6个)求出所有这些两位数的和，然后将它除以原三位数上的数字之和例如对于三位数223，取其两个数字组成所有可能的两位数有：22，23，23，22，32，32它们的和是154三位数223各个数位上的数字之和为7，154÷

13、7=22再换几个数试一试，你发现了什么？运用代数式的知识说明你的发现是正确的6 (2012·珠海)观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：52× ×25； ×39

14、6693× (2)设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且29，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子( 含、)，并证明【知识要点】1所含有的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，称它们为同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项合并同类项时，只把它们的系数相加减，字母和字母的指数不变 2去括号法则：(1)括号前是“+”号，运用加法结合律把括号去掉，原括号里各项的符号都不变(2)括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变 【温馨提示】1整式加减的实质就是合并同类项2去括号时，特别要注意括号前是负号的情况，去掉括号后，原括号内每一项的符

15、号都要改变，而不要只改变第一项的符号【方法技巧】1确定同类项时可根据“两同”：所含字母相同，相同字母的指数分别相同合并同类项时，要把握“变”与“不变”：“变”只把系数相加减，“不变”字母及字母的指数不变2去括号后，应检查每一项的符号是否错误：当括号前是正号时，看去括号后所有各项的符号是否与原括号内各项符号相同；当括号前是负号时，看去括号后所有各项的符号是否与原括号内各项符号相反参考答案1 解：原式=，当时，原式=12 解：负数理由如下：由图可知，b0，a0，且|a|b|0，有ab0，a+b0根据绝对值的意义，得：|ab|=ba，|a+b|=(a+b).所以原式=(ba)+(a+b)=ba+a+b=2b0，所以|ab|a+b|是负数3 解：已知bc，可设bc，因为|ac|=|bc|，所以ac与bc必互为相反数(否则a=b，不合题意)，即ac=(bc)，a+b=2c.又因为bc，所以ac因为|bc|=|db|，所以bc与db必相等(否则c=d，不合题意)，即bc=db，从而得2b=c+d.因为bc，所以bd，即dbca所以|ad|=ad=(ac)+(cb)+(bd)=1+1+1=3若设bc，同理可得|ad|=34 解：学校总人数为(45x+20)人，60座客车租了(x-2)辆，则乘坐最后一辆60座客车的人数是(45x+20)-60( x-2)=(200-15)(人)5 解：猜