用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码)

1、精品实验题目：用多项式模型进行数据拟合实验1 实验目的本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于：（ 1 ）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况；（ 2 ）掌握最小二乘法的基本原理及计算方法；（ 3 ）熟悉使用 matlab 进行算法的实现。2 实验步骤2.1算法原理所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线，最不失真地去表现测量数据。反过来说，对测量的实验数据， 要对其进行公式化处理，用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同，有许多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理论）来实现曲线的拟合。最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线，使之

2、在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有：1.直线型2.多项式型3. 分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等，根据应用情况，选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。给定一组测量数据xi , yi，其中 i 0,1,2,3, m，共 m+1 个数据点，取多项式 P（ x），m2myi ) 2使得 ri p( ximin ，则称函数P（ x）为拟合函数或最小二乘解，此时，i 0i 0令感谢下载载精品nmmn2pn (x)ak xk，使得I pn ( xi )yi 2ak xikyimin， 其 中k0i 0i 0k 0a0 ,a1, a2 , , an

3、为 待 求 的 未 知 数 ， n为多项式的最高次幂，由此该问题化为求I I (a0 ,a1, a2 ,an ) 的极值问题。Imnak xikyi )xij由多元函数求极值的必要条件：2(0 ，其中 j0,1,2, naii 0 k0nmm得到：( xi j k)akxij yi ，其中 j0,1,2, n ，这是一个关于 a0 ,a1, a2 ,an的线k 0i 0i 0性方程组，用矩阵表示如下所示：mmmm 1xixina0yimi 0i0i 0mmmxixi2xin 1a1xi yii 0i 0i 0i 0mmmanmxinxin 1xi2nxin yii 0i 0i0i 0因此，只要

4、给出数据xi , yi，数据点个数m ，所要拟合的参数n ，就可求出未知数据阵 (a0 , a1 ,a2 , ,an )2.2实验步骤（1 ）根据已知数据（ch3 huaxuefy.m），绘制出数据的散点图，如图1 所示：注： x 从 1 开始取值，值与值间隔为1。 y 取文件 ch3 huaxuefy.m中的数据。感谢下载载精品图 1 已知数据散点图mmm 1xixini0i0mmm（2 ）计算矩阵 Axixi2xin1i 0i0i 0，该矩阵为（ n+1 ）*（ n+1 ）矩阵。mmmxinxin 1xi2 ni 0i 0i0感谢下载载精品myii 0m（3）计算矩阵 Bxiyi。i 0m

5、xin yii 0（4）写出正规方程，求出a0 , a1, a2 , ,an 。（5）绘制出数据拟合后的曲线图。分别取 n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14，曲线图如下所示：图 2n=6时拟合曲线感谢下载载精品图 3n=8时拟合曲线感谢下载载精品图 4 n=10 时拟合曲线图 5n=11时拟合曲线感谢下载载精品图 6 n=12 时拟合曲线图 7n=13时拟合曲线感谢下载载精品3 实验结果分析通过运用最小二乘法对多项式模型进行数据拟合处理，获得n 次多项式及其系数a0 ,a1, a2 , an 。分别取多项式次数n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,

6、n=14绘制拟合曲线，观察曲线图可知，对于最高次数不同的多项式，拟合结果是不一样的，即对于数据的逼近程度是不相同的。随着n 的增大，曲线拟合效果变好；当n=10 时，达到最好拟合效果；n继续增大，曲线拟合效果又变差。因此，对于相同的数据，并不是多项式的次数n 越高，拟合程度就越好。4 实验结论通过实际做实验，得出了如下结论：离散数据点，可以采用多项式模型进行拟合，通过最小二乘法可以求得其最优多项式。此外，还得出一个结论：对于数据拟合，并不是多项式次数越高，拟合就越逼近。对此现象，在数值分析的参考书中找到了原因，这是龙格现象，即对于一个等间距节点的高次插值多项式，不收敛于插值函数。参考文献1陈光

7、， 任志良， 孙海柱 . 最小二乘曲线拟合及Matlab实现 J. 软件技术 , 2005.24 （ 3）.感谢下载载精品2 陈桂秀 .用程序求解最小二乘拟合多项式的系数J. 青海师范大学学报 , 2010(3).3 邵慧莹 .数据拟合算法分析及 C 语言实现 J. 信息科学 , 2009.4 马正飞，殷翔 .数学计算方法与软件的工程应用 M. 北京：化学工业出版社， 2002.5 徐士良 .数值分析与算法 M 北京：机械工业出版社， 2007.6 何仁斌 . MATLAB6 工程计算及应用 M. 重庆 : 重庆大学出版社 , 2001.附录（源代码）Matlab% 绘制散点图x=1:1:23

8、0;y=26.6,27,27.1,27.1,27.1,27.1,26.9,26.8,26.7,26.426.0,25.8,25.6,25.2,25.0,24.6,24.2,24.0,23.7,23.423.1,22.9,22.8,22.7,22.6,22.4,22.2,22.0,21.8,21.4,20.9,20.3,19.7,19.4,19.3,19.2,19.1,19.0,18.9,18.9,19.2,19.3,19.3,19.4,19.5,19.6,19.6,19.6,19.6,19.6,19.7,19.9,20.0,20.1,20.2,20.3,20.6,21.6,21.9,21.7,

9、21.3,21.2,21.4,21.7,22.2,23.0,23.8,24.6,25.1,25.6,25.8,26.1,26.3,26.3,26.2,26.0,25.8,25.6,25.4,25.2,24.9,24.7,24.5,24.4,24.4,24.4,24.4,24.4,24.3,24.4,24.4,24.4,24.4,24.4,24.5,24.5,24.4,24.3,24.2,24.2,24.0,23.9,23.7,23.6,23.5,23.5,23.5,23.5,23.5,23.7,23.8,23.8,23.9,23.9,23.8,23.7,23.6,23.4,23.2,23.0,

10、22.8,22.6,22.4,22.0,21.6,21.3,21.2,21.2,21.1,21.0,20.9,21.0,21.0,21.1,21.2,21.1,20.9,20.8,20.8,20.8,20.8,20.9,20.8,20.8,20.7,20.7,20.8,20.9,21.2,21.4,21.7,21.8,21.9,22.2,22.5,22.8,23.1,23.4,23感谢下载载精品.4,23.8,24.1,24.6,24.9,24.9,25.1,25.0,25.0,25.0,25.0,24.9,24.8,24.7,24.6,24.5,24.5,24.5,24.5,24.5,24.

11、5,24.5,24.4,24.4,24.2,24.2,24.1,24.1,24.0,24.0,24.0,23.9,23.8,23.7,23.7,23.6,23.7,23.6,23.6,23.6,23.5,23.5,23.4,23.3,23.3,23.3,23.4,23.4,23.3,23.2,23.3,23.3,23.2,23.1,22.9,22.8,22.6,22.4,22.2,21.8,21.3,20.8,20.2,19.7,19.3,19.1,19.0,18.8,0,0,0,0;plot(x,y,'*')xlabel 'x轴 'ylabel 'y轴

12、 'title ' 散点图 'hold on% 计算矩阵 A m=229;n=10; A=zeros(n+1); for j=1:n+1for i=1:n+1 for k=1:m+1A( j,i)=A(j,i)+x(k)(j+i-2)endendend;感谢下载载精品% 计算矩阵 BB=00000000000;for j=1:n+1for i=1:m+1B( j)=B( j)+y(i)*x(i)(j-1)endend% 写出正规方程，求出 a0, a1,a2 , , anB=B'a=inv(A)*B;% 绘制出拟合曲线图x=1.0:0.0001:230.0;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3+a(5)*x.4+a(6)*x.5+a(7)*x.6+a(8)*x.7+a(9)*x.8+a(10)*x.9+a(11)*x.1