2009年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析(共16页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2009年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2009湖南）若log2a0，1，则（）Aa1，b0B0a1，b0Ca1，b0D0a1，b0【考点】对数函数的单调区间菁优网版权所有【分析】根据指数函数与对数函数的图象和单调性直接解出a，b即可【解答】解：依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0a1，b0，故选D【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式，属基本题2（5分）（2009湖南）对于非0向量，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点

2、】向量的共线定理；充要条件菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项【解答】解：反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到所以是的充分不必要条件故选A【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法3（5分）（2009湖南）将函数y=sinx的图象向左平移（02）个单位后，得到函数y=sin（x）的图象，则等于（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先根据图象变换得到平移后的函数y=sin（x+），然

3、后结合诱导公式可得到sin（x+）=sin（x），进而可确定答案【解答】解：将函数y=sinx向左平移（02）个单位得到函数y=sin（x+）根据诱导公式知当=时有：y=sin（x+）=sin（x）故选D【点评】本题主要考查图象变换和诱导公式的应用考查对基础知识的综合运用4（5分）（2009湖南）如图，当参数分别取1，2时，函数y=（x0）的部份图象分别对应曲线C1和C2，则（）A012B021C120D210【考点】函数的图象菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】根据图象先判定的正负，然后利用图象的高低列出不等式即可【解答】解：曲线C1和C2在第一象限且成递增趋势取点（2x，f（2x）与（0

4、，f（0），连接之后，取其中点（x，f（2x）+f（0）/2），根据图象（凸函数）可知，这个中点的纵坐标是小于f（x）（即点（x，f（x）的，由此，f（2x）+f（0）/2f（x），因为x=0，可解得0，1，2均大于0根据图象有1+1x1+2x1x2xx0012故选A【点评】本题考查了根据图象列出不等式的知识，做题时注意分式不等式中分母的关系5（5分）（2009湖南）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A85B56C49D28【考点】排列、组合的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去

5、掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果【解答】解：丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21C72=42，另一类是甲乙都选的选法有C22C71=7，根据分类计数原理知共有42+7=49，故选C【点评】本题考查分类加法，在题目中有三个元素有限制条件，解题时先安排有限制条件的元素排列，在安排没有限制条件的元素，注意做到不重不漏6（5分）（2009湖南）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（

6、）ABCD【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；弧长公式菁优网版权所有【专题】图表型；数形结合；转化思想【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求kOB=，kOA=，tanBOA=|=1，BOA=劣弧AB的长度为2×=故选B【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想7（5分）（2009湖南）正方体ABC

7、DA1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A2B3C4D5【考点】简单组合体的结构特征；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数学模型法【分析】画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点【解答】解：如图：正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1AB，C1CB1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有ABBC，C1CBC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F 为A1D1的中

8、点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点故选C【点评】本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力8（5分）（2009湖南）设函数y=f（x）在（，+）内有定义对于给定的正数K，定义函数 ，取函数f（x）=2xex若对任意的x（+，），恒有fk（x）=f（x），则（）AK的最大值为2BK的最小值为2CK的最大值为1DK的最小值为1【考点】函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；转化思想【分析】根据新定义的函数建立fk（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足

9、的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果【解答】解：由题意可得出kf（x）最大值，由于f（x）=1+ex，令f（x）=0，ex=1=e0解出x=0，即x=0，当x0时，f（x）0，f（x）单调递减，当x0时，f（x）0，f（x）单调递增故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=21=1故当k1时，恒有fk（x）=f（x）因此K的最小值是1故选D【点评】本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想二、填空题（共7小题，每

10、小题5分，满分35分）9（5分）（2009湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】应用题；集合【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，

11、解得x=3，所以15x=12，即所求人数为12人，故答案为：12【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题10（5分）（2009湖南）在（1+x）3+（1+）3+（1+）3的展开式中，x的系数为7（用数字作答）【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【分析】展开式中x的系数是二项式（1+x）3，的展开式的x的系数和，再利用二项展开式的通项公式求出各二项展开式的x的系数【解答】解：C31+C32+C33=231=7故答案为7【点评】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题11（5分）（2009湖南）若x（0，）则2tanx+tan（x）的最小值为2

12、【考点】基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先利用诱导公式把tan（x）转化成，然后根据x的范围判断出tanx0，利用基本不等式求得其最小值【解答】解：2tanx+tan（x）=2tanx+x（0，），tanx0，2tanx+2=2（当且仅当tanx=时，等号成立）故答案为：2【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用解题过程中注意等号成立的条件12（5分）（2009湖南）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题设条件，先设B

13、2F1B1=60°，求出双曲线的离心率再设F1B2F2=60°，求出双曲线的离心率解题的同时要进行验根，避免出现不必要的错误【解答】解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形若B2F1B1=60°，则B2F1F2=30°由勾股定理可知c=b，故双曲线C的离心率为若F1B2F2=60°，则F1B2B1=30°，由勾股定理可知b=c，不满足cb，所以不成立综上所述，双曲线C的离心率为答案：【点评】解题时应该分B2F1B1=60°和F1B2F2=60°两种情况求出双曲线

14、的离心率解题时要注意a，b，c中c最大13（5分）（2009湖南）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率菁优网版权所有【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数【解答】解：设B层中有n个个体，B层中甲、乙都被抽到的概率为，=，n2n56=0，n=7（舍去），n=8，总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1共有个体（4+1）&#

15、215;8=40故答案为：40【点评】本题是分层抽样的相关知识容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过14（5分）（2009湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为3【考点】球内接多面体菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由题意说明ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距离（2）如图作出过A，B两点的大圆

16、面与平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可【解答】解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，即：OD=12（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角易得DE=4所以tanOED=3故答案为：（1）12；（2）3【点评】本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现15（5分）（2009湖南）将正ABC分割成n2（n2，nN）个全等

17、的小正三 角形（图1，图2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=，f（n）=【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题【分析】根据等差中项法分别求解n=2，3，4时的值，由此归纳出f（n）的值即可【解答】解：由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=12（D+E+F）=2（A

18、+B+C）=2，D+E+F=1f（2）=2=当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2同样根据等差中项可得，M的数为f（3）=3+=同理可得，f（4）=5=f（n）=故答案为：，【点评】本题目主要考查了数列的通项公式的求解在实际问题中的应用，解题的关键是灵活利用等差中项，进行求解考查了考试发现问题、解决问题的能力三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）（2009湖南）在ABC，已知2=32，求角A，B，C的大小【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理的应用菁优网版权所有【分析】先

19、用向量的数量积求出角A，再用三角形的内角和为180°得出角B，C的关系，用三角函数的诱导公式解之【解答】解：设BC=a，AC=b，AB=c由2得2abcocA=bc所以cosA=又A（0，）因此A=由=32得bc=；于是sinCsinB=所以sinCsin（）=，即sin（2C）=0故A=或【点评】考查向量的数量积及三角函数的诱导公式向量与三角结合是高考常见题型17（12分）（2009湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的（I

20、）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（I）由题意知3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，根据三类工程的概率和相互独立事件同时发生的概率，写出他们选择的项目所属类别互不相同的概率（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3结合变量对应的事件，写出事件的概率，写出分布列和期望【解答】解：（I）3名工人独立地从中任选一个项目参与建设设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次

21、为事件A、B、C则，他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3P（X=0）=；X的分布列为：X0123P【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，注意规范答题，这是一个送分的题目18（12分）（2009湖南）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE（1）证明：平面ADE平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】计

22、算题；证明题【分析】（1）先由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1，DEAA1再由DEAEDE平面ACC1A1即可得出结论；（2）设O是AC的中点先建立一个以O为原点建立空间直角坐标系，得到相关各点的坐标再利用线面角的求法在空间直角坐标系内找到直线AD和平面ABC1所成角的正弦值即可【解答】解：（1）证明：如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1又DE平面A1B1C1，所以DEAA1而DEAEAA1AE=A，所以DE平面ACC1A1又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1（2）如图所求，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设

23、AA1=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A（0，1，0），B（，0，0），C1（0，1，），D（，）易知=（，1，0），=（0，2，），=（，）设=（x，y，z）是平面ABC1的一个法向量，则有解得x=y，z=y故可取=（1，）于是cos=由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直19（13分）（2009湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之

24、间的桥面工程费用为万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元（）试写出y关于x的函数关系式；（）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】应用题【分析】（）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（）把m=640米代入到y的解析式中并求出y令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可【解答】解：（）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（）当m=640米时

25、，y=f（x）=640×（+）+1024f（x）=640×（+）=640×f（26）=0且x26时，f（x）0，f（x）单调递增，0x26时，f（x）0，f（x）单调递减f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704需新建桥墩个【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力20（13分）（2009湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（）求点P的轨迹C；（）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段

26、MN长度的最大值【考点】圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；数形结合【分析】（1）由题意，要求动点的轨迹方程，由于已经告诉了动点所满足的约束条件所以利用直接法求其轨迹即可：（2）由题意及解析式画出图形，利用直线与曲线的轨迹方程联立，通过图形讨论直线与轨迹的交点，利用两点间的距离公式求解即可【解答】解（）设点P的坐标为（x，y），由题设则3x2由题意轨迹图（1）如下：（图1）当x2时，由得，化简得当x2时由得化简得y2=12x故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线C2：y2=12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（）如图2所

27、示，易知直线x=2与C1，C2的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为kAF=，kBF= 图2当点P在C1上时，由知当点P在C2上时，由知|PF|=3+x若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x3）（1）当kkAF，或kkBF，即k2时，直线I与轨迹C的两个交点M（x1，y1），N（，）都在C1上，此时由知|MF|=6x1|NF|=6从而|MN|=|MF|+|NF|=（6x1）+（6）=12（x1+）由得（3+4k2）x224k2x+36k2108=0则x1，x是这个方程的两根，所以x1+=*|MN|=12（x1+）=12因为当，或时，k224，当且仅当时，等号成立

28、（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点M（x1，y1），N（x2，y2）分别在C1，C2上，不妨设点M在C1上，点C2上，则知，设直线AF与椭圆C1的另一交点为E（x0，y0），则x0x1，x22.所以|MN|=|MF|+|NF|EF|+|AF|=|AE|而点A，E都在C1上，且，有（1）知若直线的斜率不存在，则x1=x2=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为【点评】（1）此问重点考查了直接法求动点的轨迹方程，还考查了对于含绝对值的式子化简时的讨论；（2）此问重点考查了利用图形抓住题目中的信息，分类讨论的思想，还考查了圆锥曲线中的焦半径公式（用点的一个坐标表示），还考查了两点间的距离公式21

29、（13分）（2009湖南）对于数列un若存在常数M0，对任意的nN'，恒有|un+1un|+|unun1|+|u2u1|M则称数列un为B数列（1）首项为1，公比为q（|q|1）的等比数列是否为B数列？请说明理由；（2）设Sn是数列xn的前n项和，给出下列两组论断；A组：数列xn是B数列 数列xn不是B数列B组：数列Sn是B数列 数列Sn不是B数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列an，bn都是B数列，证明：数列anbn也是B数列【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】证明题；综合题；压轴题；新定义；开放型【分析】（1）根据B数列的定义，首项为1，公比为q（|q|1）的等比数列，验证|un+1un|+|unun1|+|u2u1|M即可；（2）首项写出两个命题，根据B数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；（3）数列an，bn都是B数列，则有|an+1an|+|anan1|+|a2a1|M1，|bn