多项式最大公因式

1、多项式最大公因式 2.3.1 2.3.1 最大公因式最大公因式 2 5 .( ), ( ) . ( )( )( )( ),( )( ), ( )f xg xF xh xf xh x g xh xf xg x定定义义 设设如如果果多多项项式式且且则则称称是是的的一一个个公公因因式式. .（i）( )( ),( )( );d xf xd x g x 2.6 ( )( ) .f xg xF x 定定义义设设，( ) d xF x 如果如果（ii）对于）对于 ,如果如果 ( ) h xF x ( )( )h xf x 且且( )( ),h x g x( )( ) .h x d x那那么么( )d x(

2、 )( )f xg x和以下两个条件，则称以下两个条件，则称 是是 的的一一个最大公因式：个最大公因式：112.4( )( )( )( )( )( )0. ( ),( )( )( )( )( ),0.d xf xg xcd xf xg xcFd x dxf xg xd xcdxcF 定定理理 如如果果是是多多项项式式与与的的一一个个最最大大公公因因式式，那那么么也也是是和和的的一一个个最最大大公公因因式式，其其中中反反过过来来，如如果果都都是是与与的的最最大大公公因因式式，那那么么这这里里( ), ( )1( ), ( ).f xg xf xg x 的的最最高高次次项项系系数数为为 的的最最大

3、大公公因因式式记记作作 注记：注记： ( ) ,( )( )0.f xF xf xf x是是和和 的的一一个个最最大大公公因因式式 ( ), ( )( ( ), ( )0.f x g xf x g x 如如果果不不全全为为零零，则则 (0,0)0. 2.3.2 最大公因式的存在性及其求法最大公因式的存在性及其求法2.5 ( ), ( ), ( ), ( ) ,( )0. ( )( ) ( )( ),( ( )( )( ( ), ( ).f xg x q x r xF xg xf xg x q xr xf xg xg x r x 引引理理设设并并且且如如果果 那那么么 ，2.5 ( )( ).F

4、 xf xg x 定定理理中中任任意意两两个个多多项项式式和和都都有有最最大大公公因因式式例例2.4 设设 43232 ( )421659, ( )254.( ), ( ) .f xxxxxg xxxxf xg x求求（） 定理定理2.5的证明中用来求最大公因式的方法，的证明中用来求最大公因式的方法，叫做叫做 辗转除法辗转除法因式，即因式，即 和和 具有完全相同的具有完全相同的()fx()cfx若仅求若仅求 ，为了避免辗转相除时出现，为了避免辗转相除时出现( ( )( )f xg x，注记注记: :分数运算分数运算,可用一个数乘以除式或被除式，这是因为可用一个数乘以除式或被除式，这是因为 1(

5、 ( ), ( )( ), ( )f xg xc f xg x 212( ( ),( )( ),( ),f x c g xc f x c g x 为非零常数为非零常数12,其中cc在辗转相除的过程当中也可以这样做在辗转相除的过程当中也可以这样做!2.6 ( )( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).d xf xg xF xu x v xF xf x u xg x v xd x 定定理理如如果果是是的的一一个个最最大大公公因因式式，那那么么存存在在，使使得得 注记注记: : （1）定理）定理 2.6中的中的 不唯一不唯一. 例如，设例如，设 ，则，则 2( )=1

6、,( )=1f xxg x ( ), ( )=1.f xg x取取 ，有，有 2( )=1,( )=u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x取取 ，也有，也有 ( )=0,( )=1u xv x( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x取取 , ,也有也有 2( )=2, ( )=21u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1.u x f xv x g x （2）定理定理 2.6的的逆命题不成立逆命题不成立.)()(xvxu和和例例2.5 设设 43232 ( )4-2-1659, ( )2-54.( ), ( )(

7、), ( ), ( ) ( )( ) ( )( ), ( ) .f xxxxxg xxxxf xg xu x v xf x u xg x v xf xg x求求以以及及使使得得( )( ), ( )( )( ), ( ).d xFf xg xFFd xf xg xF 注注意意：如如果果是是数数域域 上上多多项项式式的的一一个个最最大大公公因因式式，那那么么对对任任意意一一个个包包含含 的的数数域域来来说说，也也是是多多项项式式在在数数域域 上上的的一一个个最最大大公公因因式式 2.7 ( ), ( ) . ( ), ( )1,( )( ).f xg xF xf xg xf xg x 定定义义设

8、设如如果果 则则称称与与 互互素素 2.3.3 多项式的互素多项式的互素 由定义，两个多项式互素当且仅当它们的由定义，两个多项式互素当且仅当它们的公因式只有零次多项式公因式只有零次多项式.2.6 ( ), ( ) . ( )( )( ), ( ) , ( ) ( )( ) ( )1 .f xg xF xf xg xu x v xF xf x u xg x v x 推推论论设设与与互互素素当当且且仅仅当当存存在在使使得得 多项式的互素具有以下性质：多项式的互素具有以下性质： ( ) ( ), ( )1,( ), ( )1, ( ) ( ), ( )1.af x h xg x h xf x g x

9、 h x 如如果果那那么么 ( ) ( )( ) ( ),( ),( )1( )( ) .bh xf x g xh xf xh x g x 如如果果并并且且，那那么么 ( ) ( )( ), ( )( ),( ), ( )1( ) ( )( ).cf x h xg x h xf xg xf x g x h x 如如果果并并且且，那那么么 12( ),( ),( )nfxfxfx 表示最高次项系数为表示最高次项系数为1的最大公因式的最大公因式 12121,nnnfffffff 2. 11, 11.kknffffkn 1. 的最大公因式一定存在的最大公因式一定存在.用用12( ),( ),( )nfxfxfx2.3.5 多个多项式的互素多个多项式的互素. 121212( )( )( ) . ( )( )( ) =1,( )( )( ).nnn