函数的单调性及函数解析式的求法

1、精品知识点五：函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替限弋g(x),便得f(x)的解析式(如例(1)；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3);(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2)；1(4)方程思想：已知关于f(x)与f一或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一x个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如A级T6).例6(1)已知fx+1=x2+4,求f(x)的解析式；xx2(2)已知f(x)是二次函数,

2、且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).变式.(1)已知ff/x+1)=x+2Jx,求f(x)的解析式；(2)设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等实根，且f'(x)=2x+2,求f(x)的解析式.感谢下载载例7已知2f(1/x)+f(x)=x(xW0)。求f(x)变式已知f(1/x)+af(x)=ax(xw0,aw土)。求f(x)1.3.1函数单调性与最大(小)值知识点一增函数、减函数、单调性、单调区间的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么

3、就说f(x)在区间上是增函数；如果对于内的任意两个自变量的值xi、X2,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间上是减函数.函数的性质定义图像描述函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域11内某个区当xi<x2时，都有f(xi)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是自左向右看图象是上升的间D上的任意两个自变量的值xi,x2增函数当xi<x2时,都有f(xi)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数自左向右看图象是下降的如果函数f(x)在区间D上是增函数或者减函数，那么函数f(x)在这一区间上

4、具有严格的单调性，区间D叫做函数的单调区问。知识点二：常见函数的单调性(1)一次函数的单调性：对函数yaxb(a0)当a0时，函数f(x)单调增加;当a0时，函数f(x)单调减小k(2)反比例函数单调性：对函数y(k0)x当k0时，函数f(x)单调减小；当k0时，函数f(x)单调增加2(3)二次函数的单倜性：对函数f(x)axbxc(a0),b当a0时函数f(x)在对称轴x的左侧单调减小，右侧单调增加;2ab当a0时函数f(x)在对称轴x的左侧单调增加，右侧单调减小2a知识点三：单调性的证明1)定义法(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且(2)变形.作差变形(变形方法：因式分解、配

5、方、有理化等)或作商变形;定号.判断差的正负或商与1的大小关系；得出结论.2).图象法：借助图象直观判断.3).复合函数单调性判断方法:设yfu,ugx,xa,b,um,n若内外两函数的单调性相同，则yfgx在x的区间D内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则yfgx在x的区间D内单调递减.(同增异减)知识点四：最大(小)值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：条件(1)对于任意的的xCI,都有f(x)wM；(2)存在xoI,使得f(xo)=M.(1)对于任意的xCI,都有f(x)>m；(2)存在xoI,使得f(xo

6、)=m.结论M为最大值m为最小值【典型例题】考点1.根据图像判定函数单调性【例1】右图是定义在闭区间5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数.【变式1】如图是定义在闭区间卜5,6上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.考点二.判断函数的单调性(3) f(x) x2 2|x|；(4)【例2】写出下列函数的单调区间2(1)ykxb,(2)y2x4x3；f(x)|x22x|【例3】下列函数中，在区间（0,2）上递增的是（）1A.yBy

7、xC.yx1x【变式1】函数y=x26x+10在区间（2,4）上是（）A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.先递增再递减2a【变式2】讨论函数f（x）1x与f（x）=x+（a>0）的单调性x考点3用定义法证明函数的单调性【例4】（1）证明函数f（x）x2+1在（-0）上是减函数;1，一，（2）求证：函数f（x）1在区间（，0）上是单调增函数。x【变式1】证明函数y=2x+5的单调性【变式2】判断函数f(x)=x-在(1,2)上的增减情况.x考点四利用单调性求最值2【例5】已知函数f (x) (x x 22,6 ),求函数的最大值和最小值2x【变式1】求函数f(x)=在区间1,2内的

8、最大值和最小值x+1考点四单调性的运用【例6】函数f(x)x2(m1)x2在(，4上是减函数，则求围.m的取值范【例71函数f(x)是R上的减函数，求f(a2-a+1)与f(-)的大小关系4一、_一一2_一【变式1】已知函数f(x)x2ax2,x5,5上是单调函数，a的取值范围【变式2】已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)范围是1.已知映射f:AfB,在f的作用下，下列说法中不正确的是（）AA中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象BB中元素可以有两个原象CA中的任何元素有且只能有唯一的象DA与B必须是非空的数集4 函数图象与直线5已知集合中元素

9、应，则D精品( )感谢下载载D7为了得到函数图象，可以把函数精品A 沿轴向右平移感谢下载载个单位B沿轴右平移个单位C沿轴向左平移个单位轴向左平移个单位8 .下列函数中在区间（0,2）上为增函数的是（）.A.1：B.'C.''D.I9 .函数片广一2天十三的增区间是（）A.B一3C4时引D.T田）10. /口”7+2俗-1"+2在（-8用上是减函数，则a的取值范围是（）A.、二三B,，-二C.、一二D,，二二12.当卜1至1时，函数歹=以'+2以+1的值有正也有负,则实数 a的取值范围是（D.A-12.若函数f（x）在区间（a,b）上为增函数，在区间（bc）上也是增函数,则函数f（x）在区间（a,c）上（）A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或是减函数D.无法确定增减性13.函数f（x）在区间0,）单调递增、在区间,0上单调递减，则满足f(2x1)<1,f的3x取值范围是（14D.1 .函数J''，当L'时，是增函数，当x,2时是减函数则f(1)=2 .函数f(x)=x2+4(a+1)x3在2,+3上递减，则a的取值范围是.3设则实数_4若二次函数的图象与X轴交于,且函数的最大值为则这个二次函数的表达式是(4)已知；(5)已知f(x)的定义域为R,且2f(x)+f(-x)=3x+1,求f