刚体的运动学与动力学问题练习

1、刚体的运动学与动力学问题练习R ,各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度D P ：3 ：4 =1 2 3 4,1 .如图1414所示，一个圆盘半径为也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为求这圆盘的质心位置.图1414图14-15图14162 .如图1415所示，质量为m的均匀圆柱体，截面半径为R，长为2R.试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴（如图中的Z1、Z2）的转动惯量J.3 .如图1416所示，匀质立方体的边长为a,质量为m.试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J.4 .椭圆细环的半长轴为A,半短轴为B,质量为m（未必匀质），已知该环绕长轴的转动惯量为Ja,试求该环绕短

2、轴的转动惯量Jb.5 .如图1417所示矩形均匀薄片ABCD绕固定轴AB摆动，AB轴与竖直方向成Ot=30角，薄片宽度AD=d,试求薄片做微小振动时的周期图 14-17图 14 18图 14- 196 .一个均匀的薄方板，质量为M,边长为a,固定它的一个角点，使板竖直悬挂，板在自身的重力作用下，在所在的竖直平面内摆动.在穿过板的固定点的对角线上的什么位置（除去转动轴处），贴上一个质量为m的质点，板的运动不会发生变化？已知对穿过板中心而,二1Ma2.垂直于板的轴，方板的转动惯量为J67 .如图14-18所示，两根等质量的细杆BC及AC,在C点用钱链连接，质量不计，放在光滑水平面上，设两杆由图示位

3、置无初速地开始运动，求钱链C着地时的速度.8 .如图14-19所示，圆柱体A的质量为m,在其中部绕以细绳，绳的一端B固定不动,圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力9 .如图1420所示，实心圆柱体从高度为h的斜图 14- 20s ,螺帽的转动惯量为J ,质量vo向下移动，螺帽竖直移动的速度坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新做纯滚动，弁纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为日，试求圆柱体爬坡所能达到的高度h.10 .在一个固定的、竖直的螺杆上的一个螺帽，螺距为为m.假定螺帽与螺杆间的

4、摩擦系数为零，螺帽以初速度与时间有什么关系？这是什么样的运动？重力加速度为g.11 .在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度V,另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计.试求：(1)碰后两球达到纯滚动时的质心速度；Ml(2)全部过程中损失的机械髓的百分数.12 .如图14-21所示，光滑水平地面上静止地放着质量为M、V图14-21m长为l的均匀细杆.质量为m的质点以垂直于杆的水平初速度vo与杆一端做完全非弹性碰撞.求(1)碰后系统的速度及绕质心的角速度，(2)实际的转轴(即静止点)位于何处？13 .如图14-22所示，实心匀质小球

5、静止在圆柱面顶点，受到微扰而自由滚下，为了令小球在450范围内做纯滚动，求柱面与球间摩擦因数出至少多大？14 .如图1423所示，半径为R的乒乓球，绕质心轴的转动惯量mR2,m为乒乓3球的质量，以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为VC0,初角速度为0,两者的方向如图.已知乒乓球与地面间的摩擦因数为H.试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度.图 14-22O图 14- 23图 14- 2415 .如图14-24所示，一个刚性的固体正六角棱柱，形状就像通常的铅笔，棱柱的质量为M,密度均匀.横截面六边形的边长为a.六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量-55cJ一Ma

6、2.相对于棱边的转动惯量是JMa2.现令棱柱开始不均匀地滚下斜面.假设1212摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面.某一棱刚碰上斜面之前的角速度为后瞬间角速度为B：f,在碰撞前后瞬间的动能记为Eki和Ekf.试证明哪f=琼i,Ekf=rEki,并求出系数s和r的值.参考答案1.先确定一半径为R的1/4圆的匀质薄板的质心，如图答141所7K,在xOy坐标中，若质心坐标为(xc,yc)，由对称性知xc=yc,则根据质心的等效意义，有i楚2n图答1412R_Xc4n一lim-R一X.i1_cos(i2n一)Rcos(i2n2n)Rsin(i_2n)=R3limsin3(iX8n2)-sin(i)

7、B-于是有xc-limsin3(i2xn2n)sin(i丹2nR二一lim2x:43-nsin23-()sin2n2nn34n23-sin()4n2n13-.()2n-nsin一24n冗、(一)sin2nsin(4n针对本题中圆盘各象限密度不同有下列方程R2广4(1+涉=岷24)xc4(4R节(P4+,乎2解以上方程得234)3-3_、4R2-只3f”P4)y32.如图答交轴定理，有13J1J224142J1J2mR.23.如图答143yc二一R.故质心坐标为(0,1515所示，对图中所示的Zi、Z2、J3+JJ，其中J3=d2所示，将立方体等分为边长为角线到大立方体体对角线距离R).Z坐标系

8、与Z3、Z4、Z坐标系运用正mR2,J4=TmR2,由对称等效可知12刍的八个小立方体)每个小立方体体对2a,依照本专题例3用量纲分析法求解有2kma61所以有6QZ-4.ZZ.C图答14-3)6ma6k(一)1)-82ma2.2k1)(7822m(一8a)(*Z312Jma一6图答14- 24.由正交轴定理Ja+Jbmi(xi24，)及椭圆方程上H_y!=1,得22JaJJba乏mi(A22yi2yi2)-mA2(12)JaBBA2所以B2Jb_mA25.如图答nMJ_lim7(in一i寸n14-4所示，设板质量为M,则对AB轴的转动惯量与轴垂直的分量121Md,对应于与竖直成角的转轴，等效

9、的重力是3皿Md2/3Mgsin。，则T=27.=4dMgsin-/26.薄板上未贴3Ma质心相对悬点l7.初始时,度vc竖直向下,m时对悬点的转动惯量2振动周期相同，应有mx.4-=：mxMl,lMm系统具有的重力势能各杆的瞬时转轴为JoJ.MdJ0Ji3g22Ma2,贝占m;二一3Mgl(Mm)gl,贴上m后,Ep=mgh,m为一根杆的质量，较链A(B),转动惯量尸ml2/3c质量不计，则系统总动能Ek二21J-12土ml2(-vc)三mv2mgh=1mvc2,mgh：得vc三43gh.38.如图答14-5所示，圆柱体关于几何轴的转动惯量对过与绳相切点P的平行轴的转动惯量2-32JP-mR

10、;设轴心降低2h时速度为v,由机械能守恒定律mgh=1J()2:二3mv2,所以v=233gh,又由质心运动定律mg-T=m由转动定律mgR9.纯滚动时,无机械能损失，于是满足方程圆柱体与光滑墙碰撞，开始做非纯滚动，经时间角速度从vc,运用动量定理及动量矩定理R得vCvc，一上，此后机械能守恒，联系第一式可得310.由机械能守恒定律，得mgs2A2Ja.C刚着地时，速l表示每段杆长：由于钱链卜落中机械能守恒，有hPv图答145mgh-4mv?-1.mR2(-v)2-mv2t达到纯滚动,质心速度由ft-m(vC32mghmv4vc)5：1J(t2-辿o2)1-m(vt2-vo2),fRt-mR2

11、2h又因一2vs22vt2-vo2_2mgs2gs,即螺帽匀加速直线下降42j2msvt=vo+gt,g3mg.42J2ms2mv211.(1)如图答146所示，两球J刚完成弹性5碰撞时，两球交换质心速度，角速度未变;t2达到纯滚动状态，质心速度为oc设两球各经V2,对球ft1mv12mR21fRt一vv1一所以(-)RRi一一v；对球2有ft2=m(vV2),fRt22mR2v2,v25R75v.7图答146Z mv2；10系统原机械能Eki=/mV+4-2mR2(7)2达到纯滚动后Eki=Jm(2v)平怡v)j+42-77-2-2mR2(2v)5-72(5v)2-29mv7020:一,41

12、%.4912.(1)碰后系统质心位置从杆中点右移为ml.由质心的动量守恒M 2mvo(Mm)vc,求得质心速度vc二mvo.Mm(2)由角动量守恒mvo4=郁-2黄+mjJ,x为瞬时轴距杆右端的距离，考虑质心速2122度与角速度关系v2mv一 C0= Ml 2( m + m ) x - Mlx 2( M m)6 mvo在二1处有皿57有717.0-mg( cos ).7713.圆柱半径与小球半径分别以R、r表示，小球滚到如图14-7位置时，质心速度设为vc,角加速度fJ,转动惯量J-2mr2,受到重力mg、圆柱面支持力N、静摩擦力f,52由质心运动定律，有mgcosH-N=mvc,R.rmgsin-f-mr,自转动定律有fr=2mr2根，5又因小球做纯滚动，摩擦力为静摩擦力不做功，球的机械能守恒mg(R巾(1cos母)=1mvc2+1*2mr2(vc)2=7mvc2,0225r10将式代入式得mgsin一f=mr-5-f-,于是f=2mgsinH；将式代人式得2mr_10mg(Rr)(1cos)mgcos口n-,所以N7(R；)-=柒17 2 - 200.7.因做滚动，必定f3Ro,纯滚后球向右顺时针纯滚，若33332 vc0V2R中.0,则纯滚后球向左逆时针纯滚.