多元复合函数和隐函数微分法

1、多元复合函数和隐函数微分法定理定理7.3且且有有如如下下的的链链式式法法则则数数都都存存在在处处的的偏偏导导在在复复合合函函数数则则处处的的偏偏导导数数都都存存在在在在函函数数处处可可微微在在设设,),( ),(, ),(,),(, ),(, ),(,),(),(yxyxvyxufzyxyxvvyxuuvuvufz )107( yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz一、多元复合函数微分法证明证明,xxy 一一个个改改变变量量给给对对于于任任意意固固定定的的,vuvu 和和的的改改变变量量和和则则得得到到, ),(),(yxuyxxuu , ),(),(yxvyxxvv 的的改改变变量量从从而

2、而得得到到),(vufz ),(),(vufvvuufz 则则可可微微由由于于,),(vuf)117()( ovvzuuzz.)()(22vu 其其中中 我们只证我们只证 中的第一个等式，第二个中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明等式可类似地证明.)107( 中中在在)127( ,),(, ),(的的偏偏导导数数存存在在关关于于 xyxvvyxuu .0,0,0,0 从从而而时时vux可可得得由由117 )127()( xxvvzxuuzxz ,lim0 xuxux xvxvx 0lim2200limlim xvxuxxx 22 xvxu求极限可得求极限可得两边关于两边关于由由0)127(

3、 x,)(,0是是无无穷穷小小量量是是有有界界量量时时从从而而 oxx .xvvzxuuzxz 同理可证同理可证.yvvzyuuzyz zuvxy情形情形1有有链链式式法法则则则则对对),(, ),(, )(yxufzyxuuufz )137()( yuufyz,)(xuufxz 情形情形2)147(dddddd tvvftuuftz.dd称为全导数称为全导数其中的其中的tz有有链链式式法法则则则则对对)(, )(, )(, )(, ),(tvtufztvvtuuvufz 例例1解解,),(中中在在xyyxfz ,xyvyxu 令令则由复合函数求偏导数链式法则可得则由复合函数求偏导数链式法则可

4、得, ),(),(21xyyxfyxyyxf xvvfxuufxz yvvfyuufyz . ),(),(21xyyxfxxyyxf .),(,),(的偏导数的偏导数求求可微可微设设xyyxfzvufz 例例2.,)(, )(22yzxzufyxxfz 与与求求可可微微且且设设解解,)(2222yxxuyxxfz 令令中中在在则由复合函数求偏导数的链式法则可得则由复合函数求偏导数的链式法则可得yuufyz )(xuufxz )(),()21(222yxxfxy . )(2222yxxfyx 例例3. ),(),(),(),(:,),(, )(),(),(),(yxfkyxfyyxfxyxfkk

5、yxfkyxfttytxfyxfyxk 满满足足数数次次齐齐次次函函证证明明的的齐齐次次函函数数是是则则称称数数为为正正整整满满足足若若证明证明,tyvtxu 令令,),(中中在在tytxfz ,是常数是常数相对于相对于其中其中tyxytytxfxtytxf),(),(21 tvvftuuftzdddddd 则由复合函数求偏导数的链式法则可得则由复合函数求偏导数的链式法则可得),(1yxftkk ytytxfxtytxf),(),(21 有有对对任任何何因因此此t,),(dd1yxftktzk . ),(),(),(yxfkyxfyyxfxyx 即得即得令令1 t则则另外另外, ),(yxft

6、zk 二、一阶全微分的形式不变性设函数设函数),(, ),(, ),(yxvvyxuuvufz 的全微分为的全微分为yyzxxzzddd xxvvzxuuzd yyvvzyuuzd uz vz uz yyuxxudd yyvxxvdd则复合函数则复合函数 fz ),(, ),(yxvyxuudvz ,dv都可微都可微, , 结论：无论结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样其全微分表达形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性这性质叫做全微分形式不变性.yyzxxzzddd .ddvvzuuz ),(vufz ),(, ),(yxvyxufz 解

7、解由微分运算法则可得由微分运算法则可得)1()2ln(dd)2ln(dyxxxyxz yxyxxxyx2)2(dd)2ln( yxyxxxyx2d2dd)2ln( yyxxxyxxyxd22d2)2ln( ,2)2ln(yxxyxxz .22yxxyz 因此因此例例4求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分：);2ln(1yxxz ）（.arctan2xyxz ）（xyxxxyzarctanddarctand )(d)(11darctan2xyxyxxxy 2222dddarctanxxyyxyxxxxxy yyxxxyxxyxyddarctan22222 由微分运算法则可得由微分

8、运算法则可得)2(.,arctan22222yxxyzyxxyxyxz 因此因此三、隐函数微分法定理定理7.4 . 0),(,0),(,),(),(0000000 yxFyxFyxPyxFy且且数数一一邻邻域域内内具具有有连连续续偏偏导导的的某某在在点点设设二二元元函函数数且且有有件件它它满满足足条条数数的的函函数数一一地地确确定定一一个个有有连连续续导导的的某某一一邻邻域域内内能能唯唯在在点点则则由由方方程程, )(, )(),(0),(0000 xfyxfyyxyxF )157(),(),(dd yxyxFFyxFyxFxy有有定定义义域域中中的的所所有有则则对对的的隐隐函函数数定定了了一

9、一个个具具有有连连续续导导数数的的某某个个邻邻域域内内确确在在点点设设方方程程, )( ),( ),( 0),( 00 xxyxyyyxyxF , 0)(, xyxF公式的推导公式的推导 , ,可得可得求导求导在方程两边对在方程两边对根据链式法则根据链式法则x, 0dd xyyFxF,0),( , ),( 0000 yxFyxFyy且且连连续续因因为为.ddyxFFxy 于于是是在在该该邻邻域域内内的的某某个个邻邻域域所所以以存存在在, 0 ,),(00 yFyx例例5.)(0e2的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程xfyyxyx 解解则则令令,e),(2yxyxyxF ,

10、e1,e21222yxyyxxxFxyF 因此因此yxFFxy dd法一法一.e1e21222yxyxxxy 得得两边求全微分两边求全微分方程方程,0e2 yxyx0)d(edd22 yxyxyxyxxxyyxdd2)d(22 0d)e1(d)e21(222 yxxxyyxyx.e1e21dd222yxyxxxyxy 法二法二其中其中因此因此由此可求得由此可求得定理定理7.50),(,0),(,),(),(0000000000 zyxFzyxFzyxPzyxFz且且具有连续偏导数具有连续偏导数的某一邻域内的某一邻域内在在设设且有且有满足满足连续偏导数的函数连续偏导数的函数内唯一地确定一个具有内唯一地确定一个具有的某一邻域的某一邻域在点在点则由方程则由方程, ),(, ),(),(0),(0000000yxfzyxfzzyxPzyxF )167(, zyzxFFyzFFxz例例6.,sin),(yzxzxyzzyxfz 及及求求函数函数所确定的隐所确定的隐是由方程是由方程设设解解则则令令,sin),(xyzzzyxF ,cosxyzFz ,xzFy ,yzFx 有有时时当当,0cos xyzFzzxFFxz zyFFyz 法一法一,cosxyzyz .cosxyzxz 得得两边求全微分两边求全微分在在,sinxyzz zxyyxzxyzzzddddcos yxyzxz