拉普拉斯定理--行列式乘法

1、第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则一、一、k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级行列式级行列式 D 中任意选定中任意选定 k 行行 k 列列按照按照原来次序组成一个原来次序组成一个 k 级行列式级行列式 M，称为，称为行列行列 ( ) )，位于这些行和列的交位于这些行和列的交叉点上的叉点上的 个元素个元素kn 2k式式 D 的一个的一个 k 级子式级子式；在；在 D 中划去这中划去这 k 行行 k 列后列后 式式 ，称为，称为 k 级子式级子式 M 的的余子式余子式； M 余下的元素按照原来的

2、次序组成的余下的元素按照原来的次序组成的 级级 行列行列 nk 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则若若 k 级子式级子式 M 在在 D 中所在的行、列指标分别是中所在的行、列指标分别是 ，则在，则在 M 的余子式的余子式前前1212, , ;,kki iijjjM 后称之后称之为为 M 的的代数代数1212( 1)kkiiijjj 加上符号加上符号余子式余子式，记为，记为 . 1212( 1)kkiiijjjAM 注：注： k 级子式不是唯一的级子式不是唯一的.（任一（任一 n 级行列式有级行列式有 个个 k 级子式）级子式） kknnC

3、 C时，时，D本身为一个本身为一个n级子式级子式kn 时，时，D中每个元素都是一个中每个元素都是一个1级子式；级子式；1k 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则例例1：四阶行列式：四阶行列式12 1 401 2 10 02 10 0 1 3D 选定选定1、3行，行，2、4列的一个二级子式列的一个二级子式M2 4M0 1 M的余子式和代数余子式分别为的余子式和代数余子式分别为0 2M0 1 1+3+2+40 2A=(-1)M0 1 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则例例2：五阶行列式：五

4、阶行列式11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaa 中中121315222325424345aaaMaaaaaa 与与31345154aaMaa 是一对互余的子式是一对互余的子式.第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则二、二、拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式行列式 D 的任一子式的任一子式 M 与它的代数余子式与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的展开式中的一

5、项，而且符号也一致的一项，而且符号也一致第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则Laplace 定理定理由这由这 k 行行元素所组成的一切元素所组成的一切k级子式与它们的级子式与它们的设在行列式设在行列式 D 中任意取中任意取 k ( )行，行，11kn代数余子式的乘积和等于代数余子式的乘积和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由这行后，由这 k 行得到的行得到的 k 级子式级子式则则 .1122.ttDM AM AM A12,tA AA，它们对应的代数余子，它们对应的代数余子式分别为式分别为12,tMMM为为第二章第二章 行列式行列

6、式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则11111111111111110000*kkrkkkrkkkrrrrrraaaabbaaDbbaabbbb 时，时，1122ttDM AM AM A1k 即为行列式即为行列式 D 按某行展开；按某行展开； 注：注：为行列式为行列式 D 取定前取定前 k 行运用行运用Laplace 定理结果定理结果 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则例例 对于四阶行列式对于四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 选定选定

7、2、3行得子式和代数余子式分别为行得子式和代数余子式分别为212213132aaMaa 212323133aaMaa 212433134aaMaa 131414344aaAaa 121424244aaAaa 121334143aaAaa 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则222343233aaMaa 222453234aaMaa 232463334aaMaa 111444144aaAaa 111354143aaAaa 111264142aaAaa 112233445566DM AM AM AM AM AM A 11121314212223

8、243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 2324111266233424331142124133344142aaaaM Aa aa aa aa aaaaa23341142233412412433114224331241a a a aa a a aa a a aa a a a第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则12 1 401 2 110 1 30 13 1D 例例3：计算行列式：计算行列式 解：选定一二行得六个子式解：选定一二行得六个子式 11 22,1 0M 21 10,1 1M 31 41,1 3M 52

9、 46,0 3M 42 12,0 1M 61 411 3M 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则1 3 1 2101( 1)00 1A 1 3 2 421 1( 1)21 1A ,1 3 2 331 2( 1)513A 1 3 1 240 1( 1)00 1A ,4 1 1 350 2( 1)00 3A 1 3 1 2601( 1)00 1A ,.( 2) 10 ( 2)( 1) 52 06 0( 1) 07D 它们的代数余子式为它们的代数余子式为第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则三、

10、三、行列行列式乘法法则式乘法法则设有两个设有两个n 级行列式级行列式11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb其中其中1 12 2ijijijin njca ba ba b11121212221212nnnnnnccccccD Dccc 则则1,nikkjka b ,1,2,i jn 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则证：证：作一个作一个2n级的行列式级的行列式11111111000011nnnnnnnnaaaaDbbbb 11111111nnijijnnnnnnaabbDabaabb 由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则1111221222121112121000000111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaDbbbbbb 11a 12a 1na 1111 1112 2111n nca ba ba b第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则又对又对D作初等行变换：作初等行变换：11222(),1,2, .iinininnra ra ra rin可得可得11111111000011nnnnnnnncccc