有限元法基础-4单元和插值函数的构造

1、第四章 单元与插值函数 4.1 面积坐标4.2 Lagrange 单元4.3 Serendipity单元4.4 体积坐标 4.5 Hermite插值14. 单元与插值函数 通过变分法或加权余量法建立有限元方程时，首先是通过变分法或加权余量法建立有限元方程时，首先是在确定单元形状后，在单元域内假设场函数的试解。在确定单元形状后，在单元域内假设场函数的试解。本章重点介绍本章重点介绍l构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点法和特点l构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点有限元法基础24. 单元与插

2、值函数关键概念关键概念自然坐标自然坐标 面积坐标面积坐标 体积坐标体积坐标 Lagrange单元单元 Serendipity单元单元有限元法基础34. 单元与插值函数广义坐标有限元法的存在的问题：广义坐标有限元法的存在的问题：1 1）建立单元插值函数方法繁琐）建立单元插值函数方法繁琐2 2）形成单元矩阵过于复杂）形成单元矩阵过于复杂有限元法基础44. 单元与插值函数单元插值函数的构造单元插值函数的构造 与求解问题的微分方程无关与求解问题的微分方程无关插值函数的构造方法插值函数的构造方法 与单元形状有关与单元形状有关 与单元节点数量与位置有关与单元节点数量与位置有关 与单元节点与单元节点DOFD

3、OF的类型和数量有关的类型和数量有关有限元法基础54. 单元与插值函数有限元法基础64.1 面积坐标l定义定义 在三角形内任意一点在三角形内任意一点P P的位置的位置由其三角形子域的面积与三角形由其三角形子域的面积与三角形面积的比值确定，即面积的比值确定，即其中其中A为三角形面积，为三角形面积， 为为 的面积，的面积， 为为 的的面积，面积， 为为 的面积。的面积。 有限元法基础,jimAAAPAAAiAPjmjAPmimAPij74.1 面积坐标记记则三角形内的点则三角形内的点P P 表示为表示为 称为面积坐标。称为面积坐标。 有限元法基础,jimijmAAAPjmLLLAAA的高的高,ij

4、mPLLL,ijmLLL8l面积坐标的性质面积坐标的性质 1 1）与）与j-m j-m 平行的线上具有相同的平行的线上具有相同的L Li i4.1 面积坐标有限元法基础94.1 面积坐标2 2）角点坐标为角点坐标为 i i(1,0,0),(1,0,0),j j(01,0),(01,0),m m(0,0,1)(0,0,1)3 3）形心坐标为）形心坐标为4 4）三角形三条边的坐标为）三角形三条边的坐标为 j-m j-m边边: L: Li i = 0, = 0, m-m-i i边边: :L Lj j = 0, = 0, i i-j-j边边: : L Lm m = 0= 05 5）三个坐标只有）三个坐

5、标只有2 2个是独立的个是独立的有限元法基础111333， ，1ijmLLL104.1 面积坐标l面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系 三角形单元三角形单元 的面积的面积 三角形内任意点三角形内任意点 P P( (x,yx,y), ), 有限元法基础11121iijjmmxyAxyxyijm1111()221jjiiiimmxyAxyabx c yxyPjm114.1 面积坐标 有限元法基础12()iiALiiiiAAabx c yN11,11jjjjiiimmmmxyyxabcxyyx112iiiijjjjmmmmLabcLabcxAyLabc 1111iijmjijmmLxxx

6、xLyyyyL iijjmmiijjmmxxLx Lx Lyy Ly Ly L124.1 面积坐标l面积坐标的微积分运算面积坐标的微积分运算 1 1）导数）导数 有限元法基础1212jimijmijmijmijmijmLLLbbbxLxLxLxALLLcccyALLL134.1 面积坐标2 2）面积分）面积分3)3) i-j 边长为边长为 l 的线积分的线积分有限元法基础! ! !2(2)!ijmAL L L dxdyA ! !(1)!abijla bL L dslab144.1 面积坐标例：例：有限元法基础20!0!1!2(00 12)!32!0!0!2(2002)!61!1!0!2()(1

7、 1 02)!12mAiAijAAL dxdyAAL dxdyAAL L dxdyAij 154.1 面积坐标例：均质等厚单元的自重例：均质等厚单元的自重有限元法基础000103eiFxeiiFeAiFyiLtdxdyggtALQQQ164.1 面积坐标l用面积坐标给出的单元的插值函数用面积坐标给出的单元的插值函数 以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数是对称的。是对称的。 有限元法基础174.1 面积坐标1 1）线性单元）线性单元3 3节点三角形单元节点三角形单元根据形函数的

8、特点根据形函数的特点这样可用过其他两节点的直线方程这样可用过其他两节点的直线方程来构成。例如节点来构成。例如节点1 1，可用，可用2 23 3边边的直线方程来构成插值函数，即的直线方程来构成插值函数，即有限元法基础11NL1231(,)0ijjjijN LLLij184.1 面积坐标2 2）二次单元）二次单元6 6节点三角形单元节点三角形单元节点节点1 1：节点节点4 4：通用表达式：通用表达式：角节点角节点中节点中节点注：注：有限元法基础11112()2NL L4124NL L(21)(, ,)iiiNLLii j m34( , ,)iijNL Li ji j m611iiN194.1 面积

9、坐标2 2）三次单元）三次单元1010节点三角形单元节点三角形单元 节点节点1 1 节点节点4 4 节点节点1010 有限元法基础1111912()()233NL LL1012327NL L L1011iiN4121271()23NL L L204.2 Lagrange单元单元场函数的插值表示为单元场函数的插值表示为插值函数满足下列性质插值函数满足下列性质 有限元法基础1niiiN1()0ijijN xij11niiN214.2 Lagrange单元l一维一维LagrangeLagrange插值插值1 1）总体坐标下的位移插值函数总体坐标下的位移插值函数 对于对于n n个节点的一维单元，节点坐

10、标为个节点的一维单元，节点坐标为 多多项式插值可达项式插值可达n-1n-1阶，即阶，即 有限元法基础(1,2, )ix in(1)12111,1211()()()()()( )()()()()()njniinijj iijiiiiiiinxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxx224.2 Lagrange单元当当2 2时时令令 ，则，则引进无量纲坐标引进无量纲坐标 有限元法基础(1)(1)21121221( )( )xxxxlxlxxxxx120,xxl(1)1( )1xlxl (1)2( )xlxl111(01)nxxxxxxl(1)1( )1lx (1)2( )lx234.2

11、Lagrange单元2 2）自然）自然坐标下的位移插值函数坐标下的位移插值函数 对于对于n n个节点的一维单元，节点坐标为个节点的一维单元，节点坐标为 多多项式插值可达项式插值可达n-1n-1阶，即阶，即 或或 有限元法基础(1,2, )iin(1)1,( )njnijj iijl1201n1211n 244.2 Lagrange单元当当n=2n=2时，时，通式通式有限元法基础 1,1 (1)(1)1211( )(1)( )(1)22ll(1)1( )(1)2iil254.2 Lagrange单元当当n=3n=3时，时，有限元法基础 1,1 (2)(2)2(2)12311( )(1)( )(1

12、)( )(1)22lll (2)221( )(1)(1)(1)(1,2,3)2iiiili 264.2 Lagrange单元l二维二维LagrangeLagrange单元单元 二维二维LagrangeLagrange单元的场插值函数由一维单元的场插值函数由一维LagrangeLagrange插值插值分别在两个方向插值，即分别在两个方向插值，即场插值函数为场插值函数为有限元法基础( )()( )( )nImJll方向有n+1个节点，n阶插值函数方向有m+1个节点, m阶插值函数( )()( , )( )( )nmIJIJNll 274.2 Lagrange单元可以证明可以证明有限元法基础1111

13、( , )1nmIJIJN ( )()(,)()()nmIJrsIrJsIrJsNll 284.2 Lagrange单元l一次单元一次单元4 4节点单元节点单元 双线性插值双线性插值有限元法基础1(1)(1)(1,2,3,4)4iiiNi294.2 Lagrange单元l二次单元二次单元99节点单元节点单元角节点角节点边中节点边中节点内部节点内部节点有限元法基础00001(1)(1)(1,2,3,4)4iNi 2002001(1)(1)(5,7)21(1)(1)(6,8)2iiNiNi229(1)(1)N00ii304.2 Lagrange单元l三维三维LagrangeLagrange单元单元

14、单元节点单元节点 场插值函数场插值函数有限元法基础( )()( )( )( )( )nImJkMlll方向有n+1个节点，n阶插值函数方向有m+1个节点, m阶插值函数方向有k+1个节点, k阶插值函数( )()( )( , , )( )( )( )nmkIJMIJMNlll 314.2 Lagrange单元可以证明可以证明 有限元法基础( )()( )(,)()()()nmkIJMrsqIrJsMqIrJsMqNlll 111111(,)1nmkIJMIJMN 324.2 Lagrange单元lLagrangeLagrange单元族的特点单元族的特点1 1）插值函数构造方便）插值函数构造方便

15、2 2）高次单元内部节点过多，影响计算效率）高次单元内部节点过多，影响计算效率 有限元法基础一次单元一次单元内部节点内部节点 0二次单元二次单元内部节点内部节点 1三次单元三次单元内部节点内部节点 4平面单元内部节点数（平面单元内部节点数（n-1)(m-1)334.3 Serendipity单元lSerendipity单元族单元族 单元的节点仅配置在单元的节点仅配置在角点和边界上。角点和边界上。 不改变精度的情况下，不改变精度的情况下，减少内节点。减少内节点。 Irons等首先提出，按等首先提出，按字面意思是意外发现的，字面意思是意外发现的，但有规律可循。但有规律可循。 有限元法基础344.3

16、 Serendipity单元lSerendipity单元族单元族 有限元法基础354.3 Serendipity单元lSerendipity插值函数的构造插值函数的构造 4节点单元的插值函数与节点单元的插值函数与Lagrange单元相同单元相同 有限元法基础001(1)(1)(1,2,3,4)4iNi00ii364.3 Serendipity单元l8节点单元在边中点的插值函数节点单元在边中点的插值函数 有限元法基础251(1)(1)2N方向二次插值方向一次插值2257226811(1)(1)(1)(1)2211(1)(1)(1)(1)22NNNN374.3 Serendipity单元显然显然

17、有限元法基础5,6,7,8(,)1,2,8ijjijiNj 384.3 Serendipity单元lSerendipity插值函数的一般构造方法插值函数的一般构造方法 有限元法基础394.3 Serendipity单元lSerendipity单元族单元族 有限元法基础404.3 Serendipity单元l二次平面单元二次平面单元8 8节点单元节点单元 有限元法基础11582256336744782211112222111122221(1)(1)(5,7)21(1)(1)(6,8)21(1)(1)(1,2,3,4)4iiiiiiiNNNNNNNNNNNNNNNNNiNiNi(,)ijjijN

18、84111iiiiNN414.3 Serendipity单元l划线法构造插值函数划线法构造插值函数 二次平面单元二次平面单元8 8节点单元节点单元 由由 ，得，得 有限元法基础11(1)(1)(1)Nc1( 1, 1)1N 114c 11(1)(1)(1)4N 255(1)(1)Nc512c 5(0, 1)1N424.3 Serendipity单元l平面四边形平面四边形8 8节点单元插值函数节点单元插值函数 有限元法基础221(1)(1)(1)(1,2,3,4)41(1)(1)(5,7)21(1)(1)(6,8)2iiiiiiiiiNiNiNi 434.3 Serendipity单元l三维三维

19、Serendipity单元族单元族1) 1) 线性单元线性单元8 8节点单元节点单元 有限元法基础0001(1)(1)(1)(1,2,8)8iNi000iii 444.3 Serendipity单元2) 2) 二次单元二次单元2020节点单元节点单元 插值函数完备到二次。插值函数完备到二次。有限元法基础0000002002002001(1)(1)(1)(2)8 (1,2,8)1(1)(1)(1)(9,11,17,19)41(1)(1)(1)(10,12,18,20)41(1)(1)(1)(13,14,15,16)4iNiiii000iii 454.3 Serendipity单元lSerendi

20、pity插值与插值与Lagrange插值的差异插值的差异 Serendipity插值函数的多项式表示插值函数的多项式表示 与与Lagrange插值相比少插值相比少 都是二次完备，没达到三次完备。都是二次完备，没达到三次完备。有限元法基础22221, , , 22 464.3 Serendipity单元有限元法基础474.3 Serendipity单元lLagrange插值项插值项 有限元法基础484.3 Serendipity单元lSerendipity插值项插值项 有限元法基础494.3 Serendipity单元lSerendipity插值与插值与Lagrange插值的差异插值的差异有限元

21、法基础504.3 Serendipity单元在在 边，二次变化边，二次变化 在在 边，二次变化边，二次变化单元的每条边上有三个节点，因此插值是协调的。单元的每条边上有三个节点，因此插值是协调的。 有限元法基础1 21, , 1 21, ,514.4 体积坐标定义：四面体中任一点定义：四面体中任一点P P的位置的位置由下列参数确定由下列参数确定 有限元法基础1234( 234)( 341)(1234)(1234)( 412)( 123)(1234)(1234)vol Pvol PLLvolvolvol Pvol PLLvolvol12341LLLL524.4 体积坐标四面体单元族四面体单元族 有

22、限元法基础534.4 体积坐标1 1）线性单元）线性单元4 4节点单元节点单元2 2）二次单元）二次单元1010节点单元节点单元 角节点角节点 边中节点边中节点 有限元法基础(1,2,3,4)iiNLi(21)(1,2,3,4)iiiNLLi512613714823934924444444NL LNL LNL LNL LNL LNL L544.4 体积坐标3 3）三次单元）三次单元2020节点单元节点单元 角节点角节点边中节点边中节点面内节点面内节点 有限元法基础51219(31)2NL LL1712327NL L L1(31)(32)(1,2,3,4)2iiiiNLLLi554.4 体积坐标

23、l体积坐标的微分体积坐标的微分 复合函数求导公式复合函数求导公式 有限元法基础312412343124123431241234LLLLxLxLxLxLxLLLLyLyLyLyLyLLLLzLzLzLzLz564.4 体积坐标l体积坐标的积分体积坐标的积分 有限元法基础1234! ! ! !6(3)!abcdVa b c dL L L L dxdydzVabcd 574.5 Hermite插值l特点特点1）多项式插值）多项式插值2）节点参数包含导数，例如）节点参数包含导数，例如3）在插值点上导数也连续）在插值点上导数也连续4）0阶连续的阶连续的Hermite插值就是插值就是Lagrange插值插

24、值 有限元法基础, u u584.5 Hermite插值l例：一维问题有例：一维问题有n n个节点，包含有个节点，包含有2n2n个节点未知参数，个节点未知参数，可唯一确定可唯一确定2n2n1 1次多项式的插值函数。次多项式的插值函数。 有限元法基础(0)(0)(1)(1)(),()0()0,()( ,1,2, )ijijijijijijdHxHxdxdHxHxi jndx21(0)(1)1( )nniiiiiuxHuHu594.5 Hermite插值容易得到容易得到其中其中 为为Lagrange插值函数插值函数 有限元法基础60(0)21,(1)21( )1 2()( )( )() ( )niiijj iijiiiHxxxlxxxHxxx lx1( )njijijj ixxl xxx4.5 Hermite插值采用采用 局部无量纲坐标时，端点为局部无量纲坐标时，端点为 有限元法基础01(0)231(0)232(1)231(1)22( )1 32( )32( )2( )HHHH 120,1614.5 Hermite插值l在无量纲坐标下，插