数字信号处理课后答案 第2章高西全

1、 2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇数偶数nnnxnx 0 )2/()(9(9)解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 则)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn（3） nnnxnxje )()(F

2、T令n=n， 则)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面证明上式成立： mmnymxnynx)()()()(mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 则)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj或者 )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因为nnn

3、xXjje )()e (对该式两边求导， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 则)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶数或者)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx（9）nnnxn

4、xje )2/()2/(FT令n=n/2， 则)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 解解： nnnxnsinde21)(0j003. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为)(cos| )e (|)(00j0jnHAny解解： 假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (

5、e )(e e )()()()(上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn上式中|H(ej)|是的偶函数， 相位函数是的奇函数， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4设

6、其它01 . 01)(nnx将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列， 画出x(n)和的波形， 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 )(nx为周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn题4解图或者 为周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn)2( e )4cos()2( )(2)42

7、()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列运算或工作：题5图)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX解解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enx

8、nxnx按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因为)(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)e (d7322jnnnxX6 试求如下序列的傅里叶变换：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn(4)33jj

9、j4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j或者: )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j

10、2j2j227j2727jjj7 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解解：令nnnxXjje )()e (1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函数， x(n) sin是奇函数， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j该式说明X(ej)是实函数， 且是的

11、偶函数。 总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ej)是实函数， 是的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cos是奇函数， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej这说明X(ej)是纯虚数， 且是的奇函数。 8 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。 解解：)()(21)(44enRnRnx)()(2

12、1)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 题8解图9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解解：nnnxXjje )()e (因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j， 因此cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ej)=

13、1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH11 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它0110

14、10)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，

15、式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnT

16、nx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10

17、)解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn15 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=

18、0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零点为3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。题15解图(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1

19、()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 零点为 cos)cos(01jj rz极点为00j3j2e erzrz极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2因为) 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX极点为z1=0, z2=1零点为3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0|z|， 极零点分布图如题15解图(c)所示。16 已知112122113)(zzzX求出对应X(

20、z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|0.5： zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0时， 因为c内无极点，x(n)=0;n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()7

21、5()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收敛域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0时， c内有极点0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn（3）收敛域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0时

22、， c内有极点 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。 最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分别求： (1) x(n)的Z变换；(2) nx(n)的Z变换；(3) anu(n)的Z变换。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT2

23、12(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时

24、， c内有极点0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：21|,252311)(211zzzzzX(1)(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzz

25、zzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzmnxnxzR )()()()()(令m=

26、n+m, 则)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx21 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y

27、(2)=0.5, y(n)=0, 当n3时。解解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY1111119 . 005. 019 . 0105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0时， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9 . 0),( sRe)(11nnzFzFnyn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u

28、(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)(111zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF) 1)(9 . 0(9 . 095. 0)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)()(11111n0时， )()5 . 0)9 . 0(45. 0( 1 ),( sRe9 . 0 ),( sRe)(nuzFzFnynn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9

29、)n+0.5u(n)(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n2时Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=121115. 08 . 013 . 091. 1)(zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF)5 . 0)(3 . 0(3 . 091. 115. 08 . 013 . 091. 1)()(12111n0时，nnzFzFny5 . 02 . 0275. 13 . 02 . 0873. 0 5 . 0 ),( sRe 3 . 0 ),( sRe)( y(n)=4.36

30、5 0.3n+6.375 0.5nn0时, y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为为实数aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数；（2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)极点为a, 零点为a1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到ACABaaazaz

31、Hzj1je1jee)e (j因为角公用， aOAOBOCOA1，且AOBAOC， 故aACAB1，即aACABH1)e (j故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACABH1cos21cos21)(e221j题22解图（2） 只有选择|a|1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应

32、h(n)；（3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 2511z2512z极零点分布图如题23解图所示。 题23解图(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种

33、方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 2/ )51 ( zzzzHzHTZnhcnd)(j21)()(11式中 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnnn0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|, 211)()(zzzzzz

34、zHzFnnn0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， nzzFnh)251(51),( sRe)(2n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=

35、ej0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1119 . 019 . 01)(zzzHcnzzzHnhd)(j21)(1令119 . 09 . 0)()(nnzzzzzHzFn1时，c内有极点0.9，nznzzzzzFnh9 . 02)9 . 0(9 . 09 . 09 . 0),( sRe)( 9 . 01n=0时， c内有极点0.9 ， 0，0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh2)9 . 0()9 . 0(9 . 09 . 0),( sRe9 . 0zzzzz

36、zF1)9 . 0(9 . 00),(sRe0zzzzzzF最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)（2） jje11e9 . 01e9 . 019 . 019 . 01)(FT)e (jzzznhH极点为z1=0.9, 零点为z2=0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）nnx0je)(00000jjjje9 . 01e9 . 01e)(e)(njneHny题24解图25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 试用卷积法求网络输出y(n)； （2）

37、试用ZT法求网络输出y(n)。 解解： （1） 用卷积法求y(n)。mmnmmnuamubnxnhny)()()()()(n0时， babababaabaabanynnnnnnmmmnnmmmn111110011)( n0时，y(n)=0最后得到)()( 11nubabanynn（2） 用ZT法求y(n)。 1111)( 11)(bzzHazzX)1)(1 (1)()()(11bzazzHzXzY，zzzYnyncd)(j21)(1令bzazzbzazzzzYzFnnn1111111)()(n0时， c内有极点： a、 b, 因此babaabbbaabzFRazFnynnnn1111),(es

38、),(sRe)(因为系统是因果系统, 所以n0时， y(n)=0。 最后得到)()(11nubabanynn26 线性因果系统用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0rmax(r, |a|)， 且n0时， y(n)=0， 故cnzzzYnyd)(j21)(1c包含三个极点， 即a、 z1、 z2。)()( )()()()(21212131zzzzazzzzzzzazzzzYzFnnn)()()()()()( )()()( )()()(),( sRe),( sRe),( sRe)(1222221121212221

39、212122122121zzazzzzazzzazaazzzzzzazzzzzzzzazzazzzzzazzzzFzzFazFnynnnzznzznazn)e)(e(sin2 jsin2)e(e)e(ejj22-jj2jjararrarjrarrarnnn27 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列， 求证： j21j2j1d)e (21d)(21d)e ()e (21XeXXXj式中， X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej)进行IFT， 得到)()(de )(e)e (2121jj2j1

40、nxnxXXn令n=0, 则0212j1)()(d)e ()e (21njnxnxXX由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列， 因此)0()0()()()()(210021021xxmnxmxnxnxnnmn(1)(2)d )(21d )(21)0()0(2121jjeXeXxx(3)由（1）、（2）、（3）式， 得到-j2-j1-j2j1d)e (21d)e (21d)e ()e (21XXXX28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： 1|,cos21cos1)e (2jaaaaHR求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解： )e(e1)ee (5 . 01 co

41、s21cos1)e (jj2jj2jaaaaaaHR)1)(1 ()(5 . 01)(1)(5 . 01)(11121azazzzzzaazzzHR求上式的Z的反变换， 得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为zzzHnhcnRd)(j21)(1e1121)(5 . 05 . 0)()(nnRzazazazzzzHzF因为h(n)是因果序列， he(n)必定是双边序列， 收敛域取： a|z|a1。n1时， c内有极点： a，nazneaazzazazaazazazFnh215 . 05 . 0),( sRe)(112n=0时，1121)(5 . 05 . 0)()(zazazazzzzHzF

42、nRc内有极点： a、 0，15 . 05 . 0 0),( sRe),( sRe)(012ezzzazazaazzzFazFnh因为he(n)=he(n)， 所以05 . 005 . 001)(enanannhnn nuannannnnhnnhnhnn0000100020eej0jje11e)e (aaHnnn29 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为1|cos21sin)e (2jIaaaaH求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。)ee (1)ee (21cos21sin)e (jj2jj2jIaajaaaaH解解：令z=ej, 有11121Ij21)(1)(

43、j21)(azazzzzzaazzazHjHI(ej)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)， 因此jHI(z)的反变换就是ho(n), cnzzzHnhd)(jj21)(1Io因为h(n)是因果序列， ho(n)是双边序列， 收敛域取: a|z|a1。1121I)(121)(j)(nnzazazzzzHzFn1时， c内有极点： a,naznaazzazazzazFnh21 )()(21),( sRe)(112In=0时， c内有极点： a、 0， 1121I)(121)(j)(zazazzzzHzFn0)( 00),( sRe),( sRe)(IInh，zFazFnh因为hI(n)=h(n

44、), 所以05 . 005 . 000)(Inanannhnn)(00001)()0()()()(Inuannannhnunhnhnnj0jje11e)e (aaHnnn30*. 假设系统函数如下式：5147. 13418. 217. 198. 33)3)(9()(234zzzzzzzH试用MATLAB语言判断系统是否稳定。解解： 调用MATLAB函数filter计算该系统。 系统响应的程序ex230.m如下： %程序ex230.m%调用roots函数求极点， 并判断系统的稳定性A=3， 3.98， 1.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多项式系数p=roots(A) %

45、求H(z)的极点pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模if max(pm)1 disp(系统因果稳定)， else， disp(系统不因果稳定)， end程序运行结果如下： 极点： 0.7486 0.69960.7129i0.6996+0.7129i0.6760由极点分布判断系统因果稳定。31*. 假设系统函数如下式：5147. 13418. 217. 098. 22505)(2342zzzzzzzH(1) 画出极、 零点分布图， 并判断系统是否稳定；(2) 用输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定。解解： （1） 求解程序ex231.m如下： %程序ex231.m%判断系统的稳定性A

46、=2， 2.98， 0.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多项式系数B=0， 0， 1， 5， -50； %H(z)的分子多项式系数用极点分布判断系统是否稳定subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； %绘制H(z)的零极点图p=roots(A)； %求H(z)的极点pm=abs(p)； %求H(z)的极点的模if max(pm)1 disp(系统因果稳定)， else， disp(系统不因果稳定)， end%画出u(n)的系统输出波形进行判断un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un)； n=0： length(sn)1； subplot(2， 1， 2)； plot(n， sn)xlabel(n)； ylabel(s(n)程序运行结果如下： 系统因果稳定。 系统的零极点图如题31*解图所示。题31*解图（2） 系统对于单位阶跃序列的响应如题