数字信号处理 程佩青 PPT第一章

1、自动化自动化09数字信号处理数字信号处理第一章第一章目目 录录线性移不变系统线性移不变系统2采样定理采样定理4离散时间信号离散时间信号序列序列3 1差分方程差分方程3 3第一章第一章 离散时间信号与系统掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有

2、意义一、离散时间信号一、离散时间信号序列序列( )ax t( )()at nTax tx nTn ()ax nT.(),(0),( ),(2 ),.aaaaxTxx TxT序列：序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 n取整数。对于不同的n值， 是一个有序的数字序列： 该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存储器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。1 1、序列的运算、序列的运算移位移位翻褶翻褶和和积积累加累加差分差分时间尺度变换时间尺度变换卷积和卷积和1 1）移位）移位序列x(n)，当m0时x(n-m)：

3、延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2 2）翻褶）翻褶 x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶3 3）和）和 同序列号n的序列值逐项对应相加12( )( )( )x nx nx n4 4）积）积同序号n的序列值逐项对应相乘12( )( )( )x nx nx n5 5）累加）累加( )( )nky nx k6 6）差分）差分前向差分： 后向差分：( )(1)( )x nx nx n( )( )(1)x nx nx n( )(1)x nx n ( )(1)x nx n 7 7）时间尺度变换）时间尺度变换 抽取 插值 ()nxm( )( )()( )at nTat mnTx

4、 nx tx mnx t()x mn8 8）卷积和）卷积和设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶）翻褶：( )()x mh nmm 3）相乘相乘：( ) ()mx m h nm4）相加相加：()()hmh nm2) 移位移位：举例说明卷积过程 n-2, y(n)=0卷积过程图解卷积过程图解n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13卷积过程图解卷积过程图解n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(

5、n)=0, n7卷积过程图解卷积过程图解卷积过程图解卷积过程图解 卷积和与两序列的前后次序无关( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )n kx nk h k nmkmnk令 则 ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n卷积过程卷积过程2 2、几种典型序列、几种典型序列1）单位抽样序列单位抽样序列10( )00nnn10( )00nu nn( )( )(1)nu nu n0( )()( )(1)(2).mu nnmnnn( )nkk与单位抽样序列的关系2 2）单位阶跃序列）单位阶跃序列3）矩形序列）矩形序列101( )0nNnNRn其它( )(

6、 )()NRnu nu nN10( )()( )(1).(1)NNmRnnmnnnN 与其他序列的关系 4）实指数序列）实指数序列 ( )( )nx na u n5）复指数序列）复指数序列00()( )jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0为数字域频率jnn3x(n)=0.9 e例：6）正弦序列）正弦序列0( )sin()x nAn( )( )sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf ：采样频率( )sin()ax tAt 模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率x(n)可以表示成单位取样序列的移位加

7、权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nn( )2 (1)( )x nnn1.5 (1)(2)nn0.5 (3)n例：7 7）任意序列）任意序列3 3、序列的周期性、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。( )()x nx nNn 例：因此，x(n)是周期为8的周期序列( )sin()sin(8)44x nnn4 4、序列的能量、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和序列的能量为序列各抽样值的平方和2( )nEx n 二、线性移不变系统二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换

8、成输一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。出序列的一种运算。离散时间系统T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 记为：1 1、线性系统、线性系统若系统满足叠加原理：或同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1 1221122( )( )( )( )T a x na x na y na y n1212 ( )( )( )( )T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a为常数11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 2 2、移不变系统、移不变系统 若系统响应与激励加于系统的时刻无

9、关，则称为移不若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）变系统（或时不变系统）Tx(n)( ) ()()y nT x nmy nmm对移不变系统，若则 ， 为任意整数2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm该系统不是移不变系统例：试判断例：试判断2( )( )sin()97y nx nn是否是移不变系统是否是移不变系统 同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：Linear Shift Invariant 3 3、单位抽样响应和卷积和、单位抽样响应和卷积和单位抽样响应h(n)

10、是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：( )n( ) ( )h nTnT ( )n( )h n对对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出系统，讨论对任意输入的系统输出T x(n)y(n)( )( ) ()mx nx mnm任意输入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系统输出：( ) ()mx m Tnm，线性性( ) ( )() ()h nTnh nmTnm( ) ( )iiiiiiTa x naT x n ( ) ()mx m h nm， 移不变性( )( )x nh n一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h

11、(n)的卷积和。 LSIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n结论：结论： 若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为： L=N+M-14 4、LSILSI系统的性质系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )( )( )y nx nh nh nx n结合律结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )*( )*( )( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )

12、( )* ( )y nx nh n分配律分配律1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)5 5、因果系统、因果系统 若系统若系统 n时刻的输出，只取决于时刻的输出，只取决于n时刻以及时刻以及n时刻以时刻以前的输入序列，而与前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该时刻以后的输入无关，则称该系统为系统为因果系统因果系统。( )00h nnLSI系统是因果系统的充要条件：6 6、稳定系统、稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若( )x nM ( )nh n

13、P LSI系统是稳定系统的充要条件：( )y nP 则0( )0nh n解：讨论因果性： 时 该系统是非因果系统讨论稳定性：00( )nnnnnh naa11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某例：某LSI系统，其单位抽样响应为系统，其单位抽样响应为( )()nh na un试讨论其是否是因果的、稳定的。试讨论其是否是因果的、稳定的。结论：结论： 因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即： ( ) ( )( )nh nh n u nh n 三、常系数线性差分方程三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表

14、示为：00()()NMkmkma y nkb x nm01kmaab ，是常数其中：求解常系数线性差分方程的方法：求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法 一些关于差分方程的结论：一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的不一定是因果的不一定是稳定的差分方程 系统结构Z-1ax(n)y(n)( )(1)( )y nay nx n四、连续时间信号的抽样四、连续时间信号的抽样( )( )aax tx t ( )( )( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt当 讨论：讨论：采样前后

15、信号频谱的变化什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号1 1、理想抽样、理想抽样 冲激函数： ( )( )( )() ()aaTamx tx ttx mTtmT()aXj求理想抽样的频谱( )()TmttmT理想抽样输出：1()()2aTXjjjd2()( )()TTskjDTFTtkT 1()( )()*()2aaaTXjDTFT x tXjj 12()()2askXjkdT 1() ()askXjkdT 1()askXjjkT()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt ( )21sjktTkksstA efTT 其中: 为级数的基频，为采样频率222211( )(

16、)ssTTjktjktkTTTmAt edttmT edtTT系数: 1()( )sjktTTkjDTFTtDTFT eT 其频谱：122()()sskkkkTT 2211( )sTjktTt edtTT1( )sjktTkteT()11ssjktjktj tkkeedtedtTT 抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍若信号的最高频率 22shs ， 为折叠频率则延拓分量产生频谱混叠奈奎斯特抽样定理奈奎斯特抽样定理要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率22shshff 即2 2、抽样的恢复、抽样的恢复 利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。抽样信号。2()02ssTH j s/2-s/2T 0H(j)Hj()aXj()aYj理想低通滤波器:()()()()aaaYjXjH jXj ( )( )aax tx t1( )()2j th tH jed( )( )( ) ()aaay tx txh tdsin()() ()()()aammtmTTx mT h tmTx mTtmTTsin()sin()222sssj tsttTTedttT ( ) () ()amxmT h td ( ) () ()amxh tmT