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1、第四章 拉普拉斯方程的格林函数法作业题-习题四6.用二维问题的格林函数法求下列上半空间内的狄利克莱问题的解：xxuyxyuxuuy),(0, 0022222xyo),(000yxM),(yxMM1(x0,-y0)n式中在上半平面:y0外找出点M0 关于边界x轴:y=0的像点(对称点) M1,然后在M1 上放置适当的负电荷,由它所产生的负电位-v(是所求的调和函数v)与点M0 处单位电荷产生的电位在边界x轴:y=0上相互抵消.此时,放置在M0 , M1处的电荷所形成的电场在上半平面内M点的电位就是所要求的格林函数G(M,M0):1001ln211ln211ln21),(0MMMMMMrrvrMM

2、G2/120202/12020)()()()(10yyxxryyxxrMMMM为求得拉普拉斯方程在上半平面y 0内的狄利克莱问题的解：000)()()(yyxdxnGxfdSnGMuMu轴须计算G对n在边界y=0处的偏导。由于在平面y = 0上的外法线方向是Oy 轴的负向,所以2020000)(1yxxyyGnGyy求得拉普拉斯方程在上半空间z 0内的狄利克莱问题的解：dxxfyxxydxnGxfdSnGMuMuyy)()(1)()()(202000005.求证圆域x2+y2R2的格林函数为001ln1ln21),(00MMMMrRrMMG并由此推出圆内狄氏问题的泊松公式(2.35).M0MM

3、1P解：首先给出圆域上的格林函数,从而并给出圆域内的狄利克莱问题的解.O设有一圆心在原点O,半径为R 的圆周.在圆内任取一点M0 (rOMo0),延长rOMo至M1并使rOMo rOM1=01=R2,则点M1称为点M0关于圆周的反演点(或对称点),如图 所示. 在点M0处放置一单位正电荷,在点M1处放置一q 单位的负电荷,通过选择恰当的q 值,使得这两个点电荷所产生的电势在球面为零，即PMPMPMPMrrqrqr0100, 0ln211ln21从而式中P为圆周上任意一点. 由于三角形OM1P与OM0P 在点O处有公共角,且夹这个角的两条边成比例0/R=R/1,因此这两个三角形相似.于是得00,

4、01RqRrrPMPM从而即只要在点M1 处放q=R/1单位的负电荷,则由M0及M1处点源产生的电势在圆周上为零,这样,圆内的格林函数为下面,利用格林函数来求球域内的狄氏问题：fuu内部在, 02dSnGMfMu)()(0须计算G对n在边界处的偏导。圆周的外法线方向是垂直圆周向外,所以的解:001ln1ln21),(00MMMMrRrMMG1020220210)cos2)()2(ln1ln21111000RRRRrrRrrrrGnGRMMMMMMMMMMMMR2/112212/10220cos2cos210MMMMrr式中, 是向量OM0与OM的夹角. M是圆内任一点，rOM=，以及所以狄氏问题的解为：RdSfRRRRdSnGMfMu)(co

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