广东省湛江市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题（含答案）

2025届湛江市普通高中毕业班调研测试数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则（）A.2B.C.D.2.已知集合，则中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.43.（）A.B.C.D.4.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（）A.68B.70C.72D.745.已知均为锐角，若，则（）A.B.C.D.6.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（）A.B.C.D.7.已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（）A.B.C.D.7.已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.为的图象的一个对称中心C.在上单调递增D.将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点11.已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（）A.B.若，则直线倾斜角的正弦值为C.若的面积为6，则直线的斜率为D.过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从正态分布，若，则__________.13.若函数存在最小值，则实数的取值范围为__________.14.已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，四棱锥的底面四边形为矩形，平面，为等腰直角三角形，为棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.16.（15分）已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围.17.（15分）已知椭圆过点.（1）求的方程；（2）已知过点的直线与交于两点，若，求直线的方程.18.（17分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求的大小；（2）若，求的最大值；（3）若，且，求的面积.19.（17分）若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”.（1）若，求的值构成的集合；（2）若，使得，证明：为整数；（3）若，求的值构成的集合.2025届湛江市普通高中毕业班调研测试数学参考答案及评分细则1.【答案】A【解析】依题意，，解得.故选A.2.【答案】B【解析】依题意，，故，则中有2个元素.故选B.3.【答案】B【解析】.故选B.4.【答案】C【解析】依题意，，解得，则平均分为.故选C.5.【答案】C【解析】解法一：依题意，解得，又，故，故.故选C.解法二：作出图形如下所示，其中，不妨设，则，，故.故选C.6.【答案】D【解析】设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为，则圆柱的侧面积为，解得，故，又，则，而，得，故所求正切值为.故选D.7.【答案】B【解析】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”，依题意，，而，解得，而，则，而，故.故选B.8.【答案】C【解析】依题意，，则，令，显然在上单调递减，故有两个不同的正根，令，则，故当时，，当时，，故，又时，时，，故，解得.故选C.9.【答案】BD（每选对1个得3分）【解析】A中，可能有，故A错误；C中，若，则未必有，故C错误.故选BD.10.【答案】AB（每选对1个得3分）【解析】依题意，，故A正确；而，故B正确；时，，易知在上先减后增，故在上先减后增，故C错误；，在同一直角坐标系中分别作出与的大致图象如下所示，观察可知，它们有3个交点，故D错误.故选AB.11.【答案】ACD（每选对1个得2分）【解析】设，则，则，故，故A正确；设直线，联立则，设，则，故.，解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误；，解得，则直线的斜率为，故C正确；易知，圆可化为，圆心，半径，易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直，，故两切点连线为，即，故D正确.故选ACD.12.【答案】0.3【解析】解法一：.解法二：.13.【答案】【解析】当时，，显然，故只需，则.14.【答案】【解析】记的左､右焦点分别为，注意到直线过点，则①，②，联立①②，解得，故，解得，则的离心率的最大值为.15.（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面平面，所以平面.因为平面，所以；而为等腰直角三角形，且为棱的中点，故.而平面平面，所以平面.而平面，故平面平面.（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则分）设平面的法向量为，所以令，得，故平面的一个法向量为.设直线与平面的夹角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.16.解：（1）时，，，令，解得（负值舍去），故当时，单调递减，当时，单调递增，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）依题意，，令，则问题转化为有两个不同的正根，故解得，故实数的取值范围为.17.解：（1）依题意，解得，故的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，代入椭圆方程得，此时，不合题意舍去；当的斜率存在时，设直线的方程为，由得，则，，，则，解得，（14分）故直线的方程为或.18.解：（1）依题意，，而，故，则，则，由正弦定理，，而，则，因为，故，则.（2）由正弦定理，，故，则，其中，故的最大值为.（3）依题意，，由正弦定理，，设，由余弦定理，，得，而，得，故，则.19.（1）解：因为，则，则或，故的值构成的集合为.（2）证明：依题意，为3的倍数，当为奇数时，；当为偶数时，易知为偶数，，故是3的倍数，以此类推，，都是3的倍数；另一方面，当时，由于当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，，都是3的倍数，综上所述，为整数.（3）解：因为，故数列具有周期性，由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3.当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数；不妨设，则是偶数，，假设，则，与是最小值矛盾，综上，只能是小于5的正奇数，即1或3；当数列中出现1时，后面的项为循环；当数列中出现3时，后面的项为循环；所以数列具有周期性时，只能为中某一个数.经检验，当时，.关注公众号《全元高考》微信搜索微信公众号「全元