微积分第三章导数与微分

1、calculus第三章第三章 导数与微分导数与微分3.1 导数的概念导数的概念3.2 导数基本公式和求导运算法则导数基本公式和求导运算法则3.3 链法则与隐函数的导数链法则与隐函数的导数3.4 高阶导数高阶导数3.5 微分微分3.6 边际与弹性边际与弹性calculus3.1 导数导数的的概念概念0( ).ttf ttt设S表示一物体从某个时刻开始到时刻 作直线运动所经过的路程，则S是时刻 的函数S=求时的瞬时速度.00tttt当时间由 改变到时，物体 这段时间内所经过的距离为引例引例1、变速直线运动的瞬时速度、变速直线运动的瞬时速度00()( )Sf ttf t 一、引例一、引例calcul

2、us（1）当物体作匀速运动时000()()f ttf tsvtt （2）当物体作变速运动时00stttvt表示从 到这一段时间的平均速度0tvv 很小时，t且越小，近似程度越好calculus00limtstt 当时 ， 如 果存 在00000lim()()limttsvtfttftt 则引例引例2 2 平面曲线平面曲线的的切线斜率切线斜率 在点在点求曲线求曲线L：)(xfy ),(00yxM处切线的斜率处切线的斜率.倾角倾角),00yxM（已知定点00N xxyy作动点 （，）割线割线 MN切线切线 MTcalculus割线割线 MN 的斜率为：的斜率为： tanxxfxxf)()(00 x

3、y 当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将 随之变动而趋向于切线MT 即割线即割线 MN 的极限位置就是的极限位置就是曲线曲线 L 在点在点 M 处的切线处的切线MT .0 x 当当时时, limtantan切线切线 MT 的斜率为的斜率为： tan klimtanxyx 0lim xxfxxfx )()(lim000 calculus000( )()()10yf xxyf xxf xxx 定义 ：设函数在点 处的某邻域内有定义，如果函数的改变量与自变量的改变量的比值当的极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000的表达方式有四种等价处的导数，也叫微商，在点函数称为处可

4、导，而上述极限值在点存在，则称00)()(xxfxxf二、导数的定义二、导数的定义calculus0000( )();|;|;|x xx xx xdf xdyfxydxdx000000()()()limlimxxyf xxf xfxxxx 即定点000f xxxf xxf x如果函数（ ）在点 处可导，也称点 为函数（ ）的可导点，否则称 为函数（ ）的不可导点.000( )t tvsf t00()x xkyfxcalculus00000 xxxxxxxxxxxx 我们把终值记为即+，有则就是，故定义的式子可写为：0000000)()(lim)()(limlim)(0 xxxfxfxxfxxf

5、xyxfxxxxcalculus( )( , )( , )2f xa bxa bx如果函数在区间内的每一点处都可导，即对内的每一点 ，都对应着一个确定定义 ：的导数值),()()(lim)(0baxxxfxxfxfx内的导函数，简称导数在区间数内可导，上述极限为函在区间则称),()(),()(baxfbaxfdxdydxxdfyxf;)(;);(记为calculus ( ) ( )( )df xf xf xdx我们用或表示的导数运算( ) ( )( ) ( )dfxf xfxf xdx即或的区别与联系：)(),(0 xfxf注意注意区别：是一个函数；是一个数)(,)(0 xfxf联系：0)()

6、(0 xxxfxfcalculus3,( )(2).yxfxf求，例已知1.0()( )( )limxf xxf xfxx 解: 330()limxxxxx 2230222033limlim333xxxxxxxxxx xxx （） （）（）22(2)312xfxcalculus三、导数的几何意义三、导数的几何意义0,0()M x y切线曲线在点处方程为：000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 00000( )()( )(,)().fxxfxyfxMxyxfx 若函数在点处有导数，则曲线在对应点处有唯一的一条不垂直于 轴的切线，且切线的斜率为0,0()M x y法线曲线在点处方程

7、为：calculus3(2,8)yx 求曲线在点处的切线方程 和例2：法线方程.(2)12f 解由前例知：,(2 8)点， 处切线方程为：8(2)(2)yfx1216yx即法线方程为：18(2)(2)yxf 149126yx 即calculus四、左、右导数四、左、右导数00000( )()0(3()00yf xxxxxxyf xxf xxxx 设函数在点 的某左邻域，（）内有定义，如果函数的改变量与自变量的改变量 （）的比值当定义 ：的极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000000( )( ),().f xxf xxfx存在，则称在点 处左可导，而上述极限就称为函数在点 处的左导

8、数 记为calculus0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx 即：处的右导数同样，也可以定义点0 x0000()()()limxf xxf xfxx 00)()(lim0 xxxfxfxx等处的左右导数存在并相在点函数是：处可导的充分必要条件在点函数00)()(xxfxxfcalculus例例3. 讨论函数讨论函数|)(xxf在在0 x处的可导性处的可导性.解解( ) |f xx,0,0 xxxx0( )(0)lim0 xf xfx(0)f00limxxx1 0( )(0)lim0 xf xfx(0)f00limxxx1(0)f(0)f所以

9、所以,函数函数|)(xxf在在0 x处不可导处不可导.xyoyx思考思考000()()()?fxfxfx什么情况下必须用左右导数，来确定calculus五、可导性与连续性的关系五、可导性与连续性的关系00( )( )f xxf xx若函数在点 处可导，则在点 处必连续.事实上事实上, 因因( )yf x在在0 x处可导处可导,即即00()limxyfxx 存在0limxy 0limxyxx 00limlimxxyxx 0定理定理所以所以,函数函数( )yfx在在0 x处连续处连续.calculus问题：连续是否一定可导？xy020( )0 xxf xxx例已知如.( )0(0)f xxf在处连

10、续，但不存在结论结论函数在其可导的点处一定连续函数在其可导的点处一定连续函数在其连续的点处不一定可导函数在其连续的点处不一定可导函数在其不连续的点处一定不可导函数在其不连续的点处一定不可导calculusxy00 xxy00 xxy00 x注意注意00( )( )f xxf xx曲线在点 处出现下列情况时，函数在点 处不可导.（1）曲线( )f x处是尖点 在点（2） 曲线0 x( )f x( )f x在点在点0 x0 x（3）曲线间断 处有 垂直切线 处 calculusP89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作业作业先看书再做练习calculus(0)xnn而当的整数 时，xxnx

11、sinlim0 x 因为处函数无定义，所以该点处函数间断 第二类无穷间断点.0lim1sinxxx但，0 x 所以是函数的可去间断点，(0)( )xnnf x所以的整数 为的作业讲评作业讲评 P88.5(2)( )0asinxyxcalculus P89.6.xxx)11 (lim121lim(1)xxx121ln(1)limxxxe(5).解法1： 121lim()xxxe1lim01xxee111,0 ln(1)xxxx （时，与等价）解法2：原式=11lim(1)(1)xxxxx1111lim(1) (1)1xxxe exx121limln(1)xxxecalculus解法3：xxvxx

12、uxxxxlim)(lim, 0)1(lim)(lim而0)1(lim)1(limxxxxx10e原式解法4：xxx)11 (lim1lim(1)xxxxx1lim( )lim(1)0 xxxu xex1lim ( )limlim0 xxxxv xxx 10e原式calculus(4)222)2sin1 (lim)1sin1(coslim)1sin1(coslimxxxxxxxxxxx解法1：2lim, 02sinlimxxxxeexxxxxx1122lim2sin2lim，原式而 解法2：xxxxxxxx11sin1cos1 lim)1sin1(coslim）（11lim(cossin1)0

13、 xxxxxlim P89.6.calculus11lim(cossin1)xxxx11lim() (1 cos)lim sinxxxxxx21()11lim()limlim1122xxxxxxxx ee 1原式 221()11111(,0,1 cos,sin)22xxxxxxx calculus六、利用导数定义求极限六、利用导数定义求极限例例4： 00000( )(),()()limhf xxxfxAf xahf xbhch设函数在处可导,且求解解00000()()()limlimxxyf xxf xfxxx Ahxfhxfxfh)()(lim)(0000由导数定义可知00000000()(

14、)lim ()() ()()limhhf xahf xbhchf xahf xf xbhf xch因此：calculus00000()()()()limhf xahf xf xbhf xchch00000()()()()limhf xahf xf xbhf xabcahcbh00()()abfxfxcc()A abccalculus0( )(3 )lim6(0)(0).xf xfxffx已知，且存在，求解解答答00( )(3 )( )(0)(0)(3 )limlimxxf xfxf xfffxxx解：00( )(0)(3 )(0)lim3lim030(0)3(0)2(0)2(0)6(0)3xx

15、f xffxfxxfffff ，故calculus注意注意分段函数分段点的导数必须用定义求分段函数分段点的导数必须用定义求例例5： 设函数设函数21sin,0( ),(0).0,0 xxf xfxx求解解因为01sinlim0)0()(lim200 xxxxfxfxx( )0(0)0f xxf 所以在处可导，且calculus0( )(0)(0)lim0 xf xffx20limxxxx例例6： 解解2,0( )0ln(1),0 xx xf xxxx讨论函数在处是否可导处的左右导数在点必须先求所以处两侧的表达式不同因为在点0)(0 xxf，x0lim11xx（）calculus0( )(0)(

16、0)lim0 xf xffx0ln(1)lim1xxx(0)f(0)1f( )0f xx 所以在处可导，xy0 xy 2,0( )ln(1),0 xx xf xxx(0)1f且( )(0,0)f xyx说明曲线在点处的切线为：calculus00220lim( )limxxxxf xxx000lim( )lim ()xxxxf xaxbaxb200()f xx方法一：方法一：.,)(0002baxxxxbaxxxxxf求处可导在设函数例例7：解解而处也必连续在点所以处可导因为在点，xxxf，xx00)(calculus200 xaxb所以200,( ),xxxf xaxb xx0220000(

17、)lim2xxxxfxxxx00200000()()lim()()limxxxxaxbxfxxxaxbaxbaxx000()()2fxfxax由，得2002axbx 综上可得，calculus方法二：方法二：000( )(),()f xxxfxfx因为在点处可导，所以都存在且相等0220000()lim2xxxxfxxxx02000()()limxxaxbxfxxx而存在0( ) ( )00a020lim0 xxaxbx由极限性质知，一定有（）200bxax推得：calculus02000()()limxxaxbxfxxx从而0220000limxxaxxaxxxx000()limxxa xx

18、axx2002,ax bx 故calculus例例10:1sin,0( )0.0,0kxxkkf xxxx设 为整数,当 为何值时函数在处可导解解:xxxxxfkxkx1sinlim01sinlim)0(1001sinx是有界变量1011(0)limsin0( )0kxkfxxf xx当时，存在即在处可导1011(0)limsin( )01( )0kxkfxf xxxkf xx当时，不存在，在处不可导.故 为大于 的整数时，在处可导.calculus3.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式与求导运算法则一、求导基本公式一、求导基本公式例例1. 求函数求函数)(Nnxyn的导数的导数.解解

19、( )fx0()( )limxf xxf xx 0()limnnxxxxx 12201(1)lim()2!nnnnnxn nxnxxxxxxx （）1nnx1()nnxnx calculus()lnxxaaa 指数函数的导数()xxee 特别地:)10(aaayx且例例2. 求指数函数求指数函数的导数的导数.( )fx0()( )limxf xxf xx 0limxxxxaax 0(1)limxxxaax ln0(1)limxxaxaex 0lnlnlimln01lnxxxxaaxaaaxxexa （，）解解calculus例例3. 设设( )log (0,1),afxxaa求求( )fx解解

20、0()( )limhf xhf xh( )fx0log ()loglimaahxhxh01limlog (1)ahhhx10limlog (1)xh xahhx01limlog1xhahhxx（）011limlog1logxhaahhexxx（）1lnxa1(log)lnaxxa 特别地特别地:1(ln )xx calculus例例4. 设设( )sin,fxx求求( )fx解解0()( )limxf xxf xx ( )fx0sin()sinlimxxxxx 02sin2limcos()2xxxxx cosx(sin )cosxx 正弦函数的导数等于余弦函数正弦函数的导数等于余弦函数.类似得

21、类似得,(cos )sinxx余弦函数的导数等于负的正弦函数余弦函数的导数等于负的正弦函数.calculus)()( )()()()(1xvxuxvxuxvxu和或差也可导，且都可导，则它们的和：如果函数法则二、四则运算求导法则二、四则运算求导法则数的和或差都可导可推广到有限个可导函法则1)()()()( )()()()(2xvxuxvxuxvxuxvxu乘积也可导，且都可导，则它们的和：如果函数法则calculus导函数的乘积仍可导同样可推广到有限个可法则2 )()()(xwxvxu 例如：)()()(xwxvxu)()()(xwxvxu)()()(xwxvxu( )(v xc c特别地,当

22、为常数）,则)( )(xucxcucalculus)()()()()()()(0)()()(32xvxvxuxvxuxvxuxvxvxu则它们的商也可导，且都可导，且和：如果函数法则( )( ),( )u xfxv x证 明 ： 设根 据 导 数 定 义0()( )( )limxf xxf xfxx 01()( )lim()( )xu xxu xx v xxv x calculus01() ( )( ) ()lim() ( )xu xx v xu x v xxxv xx v x 01() ( )( ) ( )( ) ( )( ) ()lim() ( )xu xx v xu x v xu x v

23、 xu x v xxxv xx v x 01 ()( ) ( )( ) ()( )lim() ( )xu xxu x v xu x v xxv xxv xx v x 0( )( )lim() ( )xuvv xu xxxv xx v x 2( ) ( )( ) ( )( )u x v xu x v xvx证毕证毕.21( )( )1( )( )v xu xv xvx特别地，当时，有calculus0 xnxyn为正整数，的导数，其中求函数1()nnyxx 122()nnnnxnxxx 1nnx例例5. 解解calculus的导数求函数xytan)cossin()(tanxxxyxxxxx2co

24、s)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1解解:例例6 2(tan )secxx calculus常用公式：常用公式：2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx 的导数求函数xy2sin例例7. (sin2 )(2sincos )yxxx2(sin ) cossin (cos ) xxxxxxx2cos2)sin(cos222解解calculus.sec) 1 (的导数求函数xy . )3(),(ln)2(fxfxxeyx，求解解答答221(cos )(sec )()coscossinsectanco

25、sxyxxxxxxx 解：(1)(2)( )( )ln() ln(ln )lnln(lnln1)xxxxxxxfxx exx exxexexxexeexxx (3)0f (3)f calculusP117:T5(6),(9);P117:T5(6),(9); T6(2);T8. T6(2);T8.作业作业先看书再做练习calculus三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则40,( ),1( )( )( )xyyyf xyf xfxy法则 ：设函数（ ）可导， （ ）且存在反函数则其反函数也可导，且()( ),( ),()( )( ),()()( )yf xxf xyf xyyf xxyf xx

26、yxxyyxyyy 证明：令则因 有， 而 与互为反函数于是从而calculus( )000,yxy 又因为，为此时，必有( )00,xyxy 由可导必连续知连续，时，必有0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxyx 01limxxy 01lim()( )yyyyy 1( )y1( )( )fxy因此calculus的导数求反正弦函数) 11(arcsinxxyarcsin ( 11)sin (),22yxxxyy 是的反函数yyxcos1)(sin1)(arcsin2211sin11xy解解:例例8. )1 , 1(x因此)1 , 1(11arccos2xxx）同理（cal

27、culus的导数求反正切函数xyarctanarctantan (),22yxxyy为的反函数yyx2sec1)(tan1)(arctan2211tan11xy21(cot )1arcxx 同理解解例例6. 因此calculus四、导数的基本公式四、导数的基本公式1. ( )0 ()CC 为常数12. ()()xx 为任意实数3. ()ln(0,1)()xxxxaaaaaee 特别地14. (log)(0,1)ln1(ln )axaaxaxx 特别地calculus5. (sin )cosxx 6. (cos )sinxx 27. (tan )secxx 28. (cot )cscxx 9.

28、(sec )sectanxxx 10. (csc )csccotxxx calculus2111. (arcsin )1xx )1 , 1(x2112. (arccos )1xx )1 , 1(x2113. (arctan )1xx 2114. (cot )1arcxx 115.()2xx 21116.()xx calculus3.3 链法则与隐函数的导数链法则与隐函数的导数一、复合函数求导法则（链法则）一、复合函数求导法则（链法则）xysinxycos2sin xy )(sin2xy?猜想猜想22cos)(sinxxy能否否！式求，如何求呢？因此不能直接用基本公的复合函数是这里2,sinxu

29、uyxycalculus:( )( ) ( )yf uuxyfx法则5（链法则）如果函数和都可导，则函数也可导，且dxdududydxdyxxfxf或)()()(xx对于自变量 的明改变量证：有：()( )uxxx calculus()( )yyf uuf u 从而 取得相应的改变量0yux 当时,有yuux00( ),( )( )lim,( )limuxyf u uxdyyduuf uxduudxx 由可导有存在( )00 xxu 因为可导必连续，故当时，有，于是000limlimlimxuxyyuxux calculusdydy dudxdu dx即有)()(xufy或)()(xxf000

30、00uyf uf uydyxdx 当时，（） （ ），00uduxdx，得( )( )dyyf uf udu由可导有存在dydy dudxdu dx)()(xufy或)()(xxf仍成立.calculus解解:2sin).1 (xy ,sinuy 2xu dxdydudydxduucosx22cos2xx例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数2sin)1(xy xytanln)2(calculusxytanln).2(,lnuy xutandxdydudydxdux2secxxtansec2u11sin cosxx更简明更简明的过程的过程)tan(lnxy)(tantan1xxxx2sect

31、an1xxtansec21sin cosxxcalculus法则表明：复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. ( ( ) ( )( )( )fxfxxf uuux与的含义不同，前者是复合函数对自变量 求导，后者是对 导后将代入所得.注意注意 ( )yfx不可：( )yfx calculus(0)yxx求幂函数为实数,的导数ln,ln.xuyeyeux将函数表示为则它就是和的复合函数因此解解例例2ln1()(ln)uuxyexeexxx更简明更简明的过程的过程ln()xyeln(ln)xexxx1xcalculus25(231)yxx求函数的导数)()(xufy解

32、解例例325(231)yxx5uy 2231uxx45(43)ux245(231) (43)xxx25(231) yxx2425(231)(231)xxxx更简明更简明的过程的过程245(231) (43)xxxcalculus( )g x( ( )fg x ( ( )f g x( ( )yf g x( )g xxcalculus例例4 的导数求xyln221lnlnln2yxxx2222111111( ln)()2222yxxxxxx解解或或0)ln(0lnlnxxxxxy,1,ln,0 xyxyx时当110,ln(),()xyxyxxx当时1(ln)xx 故calculus复合函数的求导法

33、则可以推广到多重复合的情形复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.)(xfy设设),(ufy ),(vu)(xvdudy dvdu dxdv dxdy则则)()()()(xxxfxf或或calculus例例5)cos(lnxey 求dxdy解解)cos(lnxey ,lnuy ,cosvu .xev u1xexxxeeecossin.tanxxee)sin(vdudy dvdu dxdv dxdycalculus更简明更简明的过程的过程lncos()xye1cos()cos()xxee1 sin() ()cos()xxxeee xxxeee)sin()cos(1.tanxxeecalcul

34、us这里求这里求y对对x的导数是从外向里经过的导数是从外向里经过 每个中间每个中间在熟悉了法则之后在熟悉了法则之后,运算就不必写出中间变量运算就不必写出中间变量,变量的导数最后导到变量的导数最后导到x上上.因此对复合函数求导因此对复合函数求导搞清楚复合层次后搞清楚复合层次后,只要从外层向里层逐层求导只要从外层向里层逐层求导即可即可.calculus例例62(arccos)2xy 求dxdy解解dxdy2arccos(arccos)22xx212arccos( )221 ( )2xxx.42arccos22xxcalculus易犯的错误易犯的错误dxdy2arccos(arccos) ( )22

35、2xxx 可少写！复合层次不可多写也不calculus 例例72tanln(1)yx求函数的导数 )1ln()1ln(sec222xxy：解)1 (11)1ln(sec2222xxx2221)1ln(sec2xxxcalculus例例8)ln(22axxy求yy22221()xxaxxa22222211()2xaxaxxa解解2222221axxaxx222222221()xaxxxaxaxacalculus例例9 9.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222axaxaxy)0( a22222221( )()( )2221xxaxaxax

36、axa2222222222121xaaxaxxa22221122axax.22xa calculus2( )()f uyf x已知存在，求的导数.例例10解解2( )yf uux，222 ()() ()yf xfxx)(22xf x 2()yf x2()yfxcalculus小结小结复合函数求导首先复合函数求导首先必须搞清函数是必须搞清函数是怎样复合的怎样复合的.求导时求导时由外到里逐层求导由外到里逐层求导.注意注意:一定要到底一定要到底,不要遗漏不要遗漏 , 不要重复不要重复.calculus例例11 ) 1 (1arcsin) 1()(1fxxxfxx处的导数在点求) 1 (f：解1) 1

37、 ()(lim1xfxfx10arcsin) 1(lim11xxxxx11arcsinlimxxx2arcsin22arcsin?22sin?2?,2 2 4例例12 处的导数在点求0)(3232121xxxfxxxx)0(f：解0)0()(lim0 xfxfxxxxxxxx0lim3232121012calculussin1sin(arctan),xxyeefx( )f xy其中可导，求calculus解解答答sinsin() sin(sin)xxxxyeeee11(arctan) (arctan)fxx)(sinsinsinxeexx)(cossinxxxeee2111(arctan)(

38、)11fxxxsin(cos sincos)xxxxexeee)1(arctan112xfxcalculusP127:T3(3),(7),(10),(15),(20).P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作业作业先看书再做练习calculus31 ()( )df xfxdxx已知,求331() ()fxxx解321() 3fxxx331()3fxx3tx令1( )3f tt1( )3fxxcalculus形如形如，)(xfy 的函数称为的函数称为显函数显函数.0),(yxFxy若若与与的函数关系由方程的函数关系由方程所确定所确定,称这类函数为称这类函数为隐函数隐函数.二

39、、隐函数求导法二、隐函数求导法222222111,1.yxyxxyxy 例如把函数和分别代入方程显然方程成立，这两个函数就是方程确定的隐函数又如，又如，(1).2320,(2).0.xyxyxyee322xycalculusyxyexyy的函数，求是确定已知方程0从而再设则不妨假设, 0)()(),(),()(xfexxfxFxfyxfy)()()()()(xfexf xxfxFxf解解例例12yexyy所以yeyxyy0calculus求导在方程两边同时对 x解解33xyxyy求隐函数的导数例例13 2233xy yyxy 223)3yx yyx (2233yxyyx因此 x求dydx223

40、3dxyxxdyyx另：calculus1|12coslnxxydxdyxxxye处的导数在点求隐函数求导，得：方程两边同时对 x()lnsin22xyyeyxyyxxx 10,1,00 xyxyy 当时，由方程可得将代入上式，可得0|1xdxdy所以解解例例142sin2=(ln )xyxyxxyxyeyx xex或：10|01xdydxcalculus小结小结 方程两边方程两边对对求导，自变量 x隐函数的求导方法隐函数的求导方法:视视y为为x的函数的函数),(xyy 由由复合函数求导法则复合函数求导法则,y的方程的方程,解出即可解出即可.得到关于得到关于注意注意:结果中既含结果中既含 也含

41、也含 .xycalculussin().xyxyy已知，求导数解解答答解解cos() ()1xyxyy cos() ()1xyyxyy 1cos()cos() 1yxyyxxy ( )xcalculus三、对数求导法三、对数求导法两类函数两类函数)0(. 1sinxxyx (1)(2)2.(3)(4)xxyxx? y有简便求有简便求?y先给这些函数取对数,然后再求导就可使求导运算简便多了,这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求导法.calculus2(1)xyx求函数的导数2lnln(1)yxx在函数式两边同时取对数2212ln(1)1xxyxxyx两边同时对 求导，得2222,2(1) ln

42、(1)1xyyxyxxx 解出并将 代回，得解解例例15 calculus例例1616 求)0(sinxxyx的导数 . 解解 解法解法1 两边取对数 , 化为xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsinsinsin(cosln)xxyxxxxcalculus解法解法2 将函数化为复合函数xxysinxxelnsin)ln(sinlnsinxxeyxx)1sinln(cossinxxxxxx)sinln(cossinxxxxxxcalculus( )( ), ( )( )0,( )g xf x g xf xyf x已知函数都可导，且例求幂指数函数17的导数ln( )l

43、n( )yg xf x在函数式两边同时取对数解： 1( )( )ln ( )( )( )xg xyg xf xf xyf x然后两边同时对 求导calculus( ),( )( )( )ln( )( )( )g xyyg xyf xg xf xfxf x解出并将 代回，得( )( )ln ( )( )( )0)g xg xf xyf xf xye此例题给出了形如(的函数的求导法，也可将它化为复合函数的形式求导.calculus3(21)(32)(183)xxyx求例函数的导数.1lnln(21)ln(32) 3ln(3)2yxxx 在函数式两边同时取对数解11233()2 21323xyyxx

44、x等式两边同时对 求导，得calculus3,1(21)(32)233()2(3)21323yyxxyxxxx解出并将 代回，得19xydyyxyxdx方程确定 是 的函数，求例lnlnxyyx 在方程两边同时取对数解calculus1lnlnxyyxyyxyx在上式两边同时对 求导，得22lnlnlnlnyyyyxyyxyxxxyxxy 解出 ，得xxyxyxyydxdylnln22即calculus0120,xya aa求指数函数(例)的导数lnlnyxa 取 对 数 得 : 解lnxyay两边对 求导得：1 ()lnlnxxyayaaa所以 calculus例例2121的导数求xxxxx

45、xyxxxxyxy：21设解:1y先求xxy 1对于xxylnln11ln111xyy) 1(ln1xxyxxxxy 2对于xxyxlnln2xxxxxxyy1ln)(1221ln)ln1 (xxxxxxln)ln1 (12xxxxxxxxxy21)(yyxyln)ln1 ()ln1 (11xxxxxxxxxxxxcalculus2).两边对两边对x求导求导;3).两边同乘以两边同乘以y得得;y4).将将y结果表示为结果表示为x的显函数的显函数.小结小结 对数求导法对数求导法 常用于多因子乘幂求导，常用于多因子乘幂求导，或幂指函数求导或幂指函数求导.对数求导法的步骤对数求导法的步骤:1). 函

46、数式两边取自然对数函数式两边取自然对数;calculus 四、四、分段函数求导法分段函数求导法221( )321( 1),(2),(1 ,22)( ).xxf xxxffffx 函数,求例解解:2211( )2( )(2)2( 1)22,xxf xxfxxxfx 当时,21( )32( )(32 )2(2)22,xxf xx fxxf 当时,calculus1(1).xf 是分段点，故按定义求1(1)32 )1xfx（1( )(1)(1)lim1xf xffx22111211limlimlim(1)211xxxxxxxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx113 212(1)limli

47、m211xxxxxx0(1)(1)(1)limxfxffx (1)(1)ff(1)2f calculus1xy0131( )2xfxx 当时,1( )2xfx 当时,易犯的错误易犯的错误(1)2f 21( ).21xxfxx221( ).121xxf xxx如( )1( )1(1)f xxf xxf在处不连续，在处不可导即不存在calculus221( ).121xxf xxx1211(1)(2 )2(1)(12)22(1)2( )1xxxfxfxxff xx若以就会得到在点处可导的错误结论.1( )(1)(1)lim1xf xffx事实上1(1)22xfx122lim21xxx1( )(1)

48、(1)lim1xf xffx21122lim1xxx( )1f xx在点处不可导.( )?fxcalculus11( )( )ln1xxf xfxxx设,求解解答答解解1( )(1)1xfxx 当时,11( )( ln )xfxxx 当时,1(1).xf 是分段点，故按定义求1( )(1)(1)lim1xf xffx(1)0f11lim11xxx 11( )(1)ln(1)limlim11xxf xfxfxx(1,ln1)xxx1(1)lim11xxx(1)1f 11( ).11xfxxxcalculus P128 T4 (4)；T5； T6 (1),(2).作业作业先看书再做练习calcul

49、us3.4 高阶导数高阶导数的二阶导数的导数为二阶可导，称也可导，则称如果导函数的函数，仍然是的导数一个函数)()()()()()(xfxfxfxfxxfxfy,y ),(xf 一、高阶导数一、高阶导数记作：记作：22dxyd22dxfd或或, )( y y即即22dxyd()ddydx dx类似地二阶导数的导数，叫做 的三阶导数，( )f x记作：记作：,y ),(xf 33dxyd33dxfd或或calculus三阶导数的导数，叫做三阶导数的导数，叫做四阶导数四阶导数，记作：记作：,)4(y),()4(xf44dxyd44dxfd或或) 1( n阶导数的导数，叫做阶导数的导数，叫做 n 阶

50、导数阶导数，记作：记作：,)(ny),()(xfnnndxydnndxfd或或函数函数)(xfy 有有n阶导数，阶导数， 也说函数也说函数)(xfy 为为n阶可导阶可导.二阶及二阶以上的导数统称为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数,( )fx也叫做一阶导数.).()()(),(0)(0000 xfxfxfxfxxn 时，有0 xxdxdy或022xxdxyd033xxdxyd0 xxnndxydcalculus 例例1 1 y =(1+x2)arctanx 求y 解解 xxyarctan22211)1 (xx1arctan2xx212arctan2) 1arctan2(xxxxxy 证

51、明 函数22xxy满足关系式013 yy 例例2 2 证明证明 )2()2(212212xxxxy22222xxx22212222xxxxxxy 22212(1)22xxxxxxyxx )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 所以所以 y 3y1331() 10yy calculus二、隐函数的二阶导数二、隐函数的二阶导数例例3y，xyrryx 求的函数是确定若方程)0(222 解解 yxyyyx02222)()(yyxxyyyx

52、yyxy 32322yryyxcalculus 解：解：方程两边同时对方程两边同时对x求导求导012221)cos(yxdxyd，xyyxxy 求的函数是确定若方程) 1 (0)2()(sin(2yxxyyxyxy 上式两边同时再对上式两边同时再对x求导求导0)222()(sin()()(cos(2 yxyxyxyyxyyxyyxyxyxy)2(0)42()2)(sin()(cos(22 yxyxyyxyxyyxyxy得式代入将,) 1 (0, 1yx0 y得式代入将,)2(0, 0, 1yyx0 y00122yxdxyd例例4calculus三、几个初等函数的三、几个初等函数的 n n 阶导

53、数阶导数 .sinyxn例 5 求的 阶 导 数 解解 )2sin(cosxxy)22sin()sin(sin xxxy3cossin()sin(3)22yxxx )24sin()2sin(sin)4(xxxy( )sin()2nyxn从而( )(sin )sin()2nxxn类似地有类似地有( )(cos )cos()2nxxncalculus.xyan例 6 求的 阶 导 数lnxyaa 解 2ln()(ln)xxyaaaa 3)(ln aayx nxnaay)(ln)(calculus.xyxen例 7 求的 阶 导 数(1)xxxyexeex 解 )2()1( xeexeyxxx)3(

54、)2( xeexeyxxx)()(nxeyxncalculus.ln()()yxana例8 求的 阶导数为常数1yxa 解 2)(1axy 3)(2axy 4)4()(23axynnnaxny)()!1() 1(1)(从而yyyy 得到 ( )11!()( 1)()nnnnxaxa calculus21.32ynxx例9 求的 阶导数21132(1) (2)1112yxxxxyxx 函数可以转解化为( )11!( 1) (1)(2)nnnnnnyxx 由例8可得：( )1()naxb思考？calculus2012.( )nnf xaa xa xa x例10讨论多项式函数 的高阶导数21123(

55、 )23nnfxaa xa xna x解 232) 1(232)( nnxannxaaxf33)2)(1(23)( nnxannnaxf( )( )(1)(2)3 2 1!nn nnnfxn nna xn a )(0)()(nkxfk calculus1)0(af由上面各阶导数可以得到22)0(af 323)0(af )(!)0()(nkakfkknnanf!)0()()(0)0()(nkfkcalculus四、高阶导数的运算公式四、高阶导数的运算公式( )( )uu xvv xn设，阶可导，则函数和差的 n 阶导数 (uv)(n)u(n) v(n) 函数积的 n 阶导数 nkkknknnvu

56、Cuv0)()()()( 这一公式称为莱布尼茨（Leibniz)公式 用数学归纳法可以证明：vuvuuv )(0111,CC()()uvu vuvu vu vu vuv vuvuvu 2012222,CC Ccalculusvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuuv 33)(2)(01233333,CC CC)4()4()4(464)(uvvuvuvuvuuv 0123444444,CC CC C上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果设设则,)0()0(vvuu)()0()()()2()2(2)1()1(1)0()(0)()(nnnkknknnnnn

57、nnnuCuCuCuCuCunkkknknuC0)()(calculus2.sin10yxx例11求的阶导数2( )sin ,sin(),2nux vxuxn 则解 设x20, 2)( nvv)10()10()(uvy2121010sin(10)sin(9)2sin(8) 2222xxCxxCx 29sin510sin()245sin422xxxxxxxxxxsin90cos20sin2xxxxcos20sin)90(2calculus小结小结)(1nxa,)(!) 1(1nnxan高阶导数的求法高阶导数的求法(1) 逐阶求导法逐阶求导法(2) 利用归纳法利用归纳法(3) 间接法间接法 利用已

58、知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式如如,)(1nxa1)(!nxan( )sin()2nyxn(4) 利用莱布尼兹公式利用莱布尼兹公式calculus31.()( ),yf xf xy其中二阶可导 求2( )2.,xnyx ey求calculus解解答答321.() 3yfxx3223() 33() 6yfxxxfxx4339()6()x fxxfxcalculusxnxeueu)(. 22( )220,nvxvxvvv)(2)()(nxnxey)()()()()(2)2(22)1(12)( xeCxeCxenxnnxnnxxxxennnxeex22) 1(22xxxennnxeex) 1

59、(22calculus 例例 2( )( )( ) ( )( )()nf xfxf xfx已知具有任意阶导数，且则1122( )! ( )( ) ( )( ) ( )() ! ( )nnnnAnf xBn f xCf xD nf xA2( ) ( )fxf x解：( )2 ( ) ( )fxf x f x22 ( ) ( )f xf x32 1 ( )f x 2( )3 2 1 ( )( )fxf xfx 223 2 1 ( ) ( )f xf x 43 2 1 ( )f x ( )1( )! ( )nnfxnf x A选calculus作业作业先看书再做练习 P133:T1(4),(8) ;

60、T4(2),(3);T7.calculus0 x0 xxxx 020 xA 2)( xxx 0 xx 02200()Sxxx,2xS 0 x3.5 微分微分一、微分的概念一、微分的概念 问此薄片面积改变了多少? 0 x变到,0 xx长由引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边设薄片边长为 x , 面积为S, 则当 x 在取得增量x时,面积的增量为20)(2xxx关于x 的线性主部高阶无穷小量0 x时为故xxS02称为面积函数在 的微分calculus0000( )0( )()()()yf xxxxxyf xyf xxf xA xox 设函数在点 的某邻域内有定义，如果对自变量 在点