函数的单调性(1)

1、函数单调性 应县四中 赵小青Oxy11Oxy21Oxy y=x2发现：发现：当当x x在区间在区间0,+0,+）上取值时，随着上取值时，随着x x的的增大，相应的增大，相应的y y值也值也随着增大随着增大. .)(xfy1x2xxyo f(x1) f(x2) x x不断增大，不断增大，y y也不断增大也不断增大增函数定义：增函数定义： 设函数设函数f(xf(x) )的定义域的定义域为为I I：如果对于属于定义如果对于属于定义域域I I内某个区间上的内某个区间上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1,x ,x2 2, ,当当x x1 1 x x2 2时时, ,都有都有f(xf(x1

2、1)f( )f( x x2 2), ),那么就说那么就说f(xf(x) )在这个区间上是在这个区间上是增增函数函数; ; Oxy y=x2发现：发现：当当x x在区间（在区间（-,0-,0）上）上取值时，随着取值时，随着x x的增大，的增大，相应的相应的y y值也随着减小，值也随着减小，x1x2 y=f( x)f( x1)Oyx f(x2) x x不断增大，不断增大，y y不断减小不断减小一般地，一般地，设函数设函数f(xf(x) )的定的定义域为义域为I I：如果对于属于如果对于属于定义域定义域I I内某个区间上的内某个区间上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1x1,x2,x2,当当x

3、 x1 1 xf( )f( x x2 2), ),那么就说那么就说f(xf(x) )在这个区间上是在这个区间上是减减函数函数; ; x y0 y=f(x)ab如果函数如果函数y=y=f(xf(x) )在在某个区间是增函数某个区间是增函数或减函数或减函数, ,那么就那么就说函数说函数y=y=f(xf(x) )在这在这一区间具有一区间具有( (严格严格的的) )单调性单调性, ,这一区这一区间叫做间叫做y=y=f(xf(x) )的的单单调区间调区间. .问题问题1 1、 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间-5-5，55上的函数上的函数y=y=f(xf(x) )的图象，根据图象说出的图象，根据图象

4、说出y=y=f(xf(x) )的单调区间，的单调区间，以及在每一单调区间上，以及在每一单调区间上， y=y=f(xf(x) )是增函数还是减是增函数还是减函数。函数。-5-1-2135f(x)-5,-2)-2,1)1,3)3,5解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2)，-2,1)，1,3),3,5，其中，其中y=f(x)在区间在区间-5,-2)， 1,3)上是减函上是减函数，在区间数，在区间-2,1)， 3,5上是增函数。上是增函数。xyo例题、例题、 证明函数证明函数f(xf(x)=3x+2)=3x+2在在R R上是增函数。上是增函数。)23()23()()(2121

5、xxxxff则)( 321xx证明：证明： 设设x1,x2是是R上的任意两个实数，上的任意两个实数，x1x2 ，0,2121xxxx得由于是于是 f(x1)-f( x2)0,即即 f(x1)f(x2)所以所以,函数函数f(x)=3x+2在在R上是增函数。上是增函数。（一）设值（一）设值（二）作差变形（二）作差变形（三）判断符号（三）判断符号（四）结论（四）结论减减练习：证明函数练习：证明函数f(x)= 在（在（-，0）是）是 函数。函数。增增x1上上是是减减函函数数在在所所以以，即即于于是是得得又又由由得得由由则则上上的的任任意意两两个个实实数数，且且是是证证明明：设设)0 ,()().()(, 0)()(, 0, 0),0 ,(,)()(,)0 ,(,121211221212111212121211221 xxxxxxxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxfxfxxxx课外作业：课外作业：证明：函数证明：函数y=x+ （1）在区间）在区间0，1 是减函数