函数的奇偶性

1、函数函数函数函数1.3.2函数的奇偶性函数的奇偶性创设情景:w观察图片观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x2为为偶函数偶函数.偶函数偶函数 (even func

2、tion) 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的的定义域定义域内的内的任意任意一个一个x，都都有有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(, 1)(22xxfxxfoyx练习：练习： 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴轴右边的图象如图，画出右边的图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边的轴左边的图象。图象。 观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发，你能发现现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)

3、=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时我们称函数我们称函数y=x为为奇函数奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)奇函数奇函数(odd function)(odd function) 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的的定义域定义域内的内的任意任意一个一个x，都都有有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 对奇函数、偶函数定义的说明:(1)定义域关于原点对称

4、是函数具有奇偶性的必要条件，对于定定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，对于定义域内的任意一个义域内的任意一个x x，x x也一定是定义域内的一个自变量。也一定是定义域内的一个自变量。 Ox-b,-aa,b（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若若f(x)为偶函数为偶函数, 则则f(-x)= f(x) 成立。成立。 若若f(x)为奇函数为奇函数, 则则f(-x)=f(x)成立。成立。（3） 如果一个函数如果一个函数f(x)f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数, ,那么我们就说函那么我们就说函 数数f(x) f(x) 具有奇偶性，函数的奇偶性是

5、函数的整体性质。具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。（4）按函数奇偶性可以把函数分为四类：）按函数奇偶性可以把函数分为四类： 奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。练习. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数f(x)=x -2 _偶函数 f(x)=x5 _ f(x)=x -3 _ 说明：对于形如说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数。为偶数，则它为偶函数。 若若n为奇数，则它为奇函数。为奇数，则它为奇函数。奇偶函数图象的性

6、质(1)、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数奇函数.(2)、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来，如果一反过来，如果一个函数的图象关于个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函轴对称，那么这个函数为偶函数数.说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. b、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性根据下列函数图象，判断函数的奇偶性根据下列函数图象，判断函数的奇偶性-1-110 xy-1-

7、110 xy-1-110 xy奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数图象图象法法12例. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)= - f(x)f(x)为奇函数=2x4+3x2= f(x)f(x)为偶函数定义域为R解: 定义域为R 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤小结：用定义判断函数奇偶性的步骤: 先求定义域，看是否关于原点对称先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断再判断f(-x)= -f(x)或或f(-x)=f(x) 是否恒成立。是否恒成立。 f(-x)=2(-x)4+3(-

8、x)2例例 设函数设函数f(x)为奇函数，当为奇函数，当x0时，时， f(x)=2x(1-x), 求：当求：当x0时，时，f(x)的表达式的表达式.设设x0解：解：于是于是f(-x)=2(-x)1-(-x)= -2x(1+x)又又f(x)是奇函数，故是奇函数，故f(-x)= -f(x)所以，所以，f(x)=2x(1+x)即当即当x0）2x(1+x) (x0)本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数

9、它的图象关于y轴对称、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。4、按函数奇偶性可以把函数分为四类：按函数奇偶性可以把函数分为四类： 奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。练习 判断下列函数的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1f(x)为奇函数 f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1f(x)为偶函数(1) f(x)=x-(1) f(x)=x- 1x解：定义域为x|x0解：定义域为R= - f(x) = f(x)f(-x)=(-x) -1-x= -x+1 x(3). f(x)=5(3). f(x)=5解: f(x)的定义域为R f(

10、-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数解: 定义域为R f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x)f(x)为既奇又偶函数yox5oyx结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(4). f(x)=0(4). f(x)=0(5) f(x)=x(5) f(x)=x2 2+x+x解: f(-1)=0,f(1)=2 f(-1)f(1) ，f(-1)-f(1)f(x)为非奇非偶函数( (6) f(x)=6) f(x)= x x解: 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数21xfxx22（ ） 练习练习. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性221xfx10 x221xfxx（ ）的定义域为【， ）（0，1】 化简后 （ ）为奇函数注：注：先求定义域，后化简，再判断先求定义域，后化简，