毕业论文--综合除法的计算方法及其应用

1、本科学生毕业论文（设计）题 目 综合除法的计算方法及其应用 姓 名 孙崤 学 号 20144614016 院 系 信息工程学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 马招丽 职 称 副教授 2017年 12 月 1 日云南师范大学文理学院本科毕业论文（设计）任务书系别：信息工程学院 专业： 数学与应用数学 班级： 14数教a班 学生姓名： 孙崤 学号： 20144614016 论文题目： 综合除法的计算方法及其应用 一、毕业论文（设计）的目的（一）培养学生综合运用所学知识进行科学研究和独立分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的科学态度，实事求是和认真负责的工作作风。（二）通过撰写毕业论文（设计）

2、，进一步深化所学知识，运用正确的研究方法，收集相关资料，进行调查研究，提高写作能力。（三）进一步加深对基础理论的理解，扩大专业知识面，完成教学计划规定的基本理论、基本方法和基本技能的综合训练，力求在收集资料、查阅文献、调查研究、方案设计、外文应用、计算机处理、撰文论证、文字表达等方面加强训练，实现所学知识向能力的转化。（四）鼓励学生勇于探索和大胆创新。二、毕业论文（设计）的要求（一）毕业论文（设计）选题应符合本专业培养目标的要求，具有理论意义和实际价值。（二）毕业论文（设计）有一定的深度和广度，份量适中。（三）毕业论文（设计）的正文内容文题相符，结构合理，层次分明，合乎逻辑;概念准确，语言流畅

3、;论点鲜明,论据充分,自圆其说。（四）毕业论文（设计）应当反映出学生查阅文献、获取信息的能力，综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力，研究方案的设计能力，研究方法和手段的运用能力，外语和计算机的应用能力及团结协作能力。（五）毕业论文（设计）书写格式规范，符合云南师范大学文理学院全日制本科生毕业论文（设计）管理实施细则的要求。指导教师（签字）： 主管院、系领导（签字）： 2017年9月26日云南师范大学文理学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文），是本人在指导教师的指导下独立研究、撰写的成果。设计（论文）中引用他人的文献、数据、图件、资料，均已在设计（论文）中加

4、以说明，除此之外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。毕业设计（论文）作者签名： 2017年12月1日综合除法的计算方法及其应用 摘要 高等代数中的综合除法是目前数学代数运算中一种重要的解题方法，其应用非常广泛，主要运用于部分分式计算，多项式除以多项式，因式分解，函数值，多项式变形，高次方程，有理函数的积分等，通过研究综合除法在具体的问题中的应用，不仅能够深化解题思维，简化解题过程，而且对深入理解综合除法以及拓展综合除法的应用具有非常重要的作用。因此，本文首先介绍了综合

5、除法的理论知识，并且深入分析了综合除法的计算原理和方法，最后给出了综合除法在证明问题，多项式计算问题，积分问题，留数问题，经济问题以及译码问题中的应用，并给出了具体的实例，通过研究综合除法在具体问题中的应用，表明了综合除法的有效性和实用性，应用综合除法可以降低问题的复杂程度，提供解决问题的效率，进一步加深了对综合除法的直观认识和理解，为综合除法在其他领域应用提供了一定的参考。关键字 综合除法，数学代数运算，解题方法Calculation method of comprehensive division and its applicationAbstractComprehensive divis

6、ion in higher algebra is the algebra of mathematics is an important method of solving problems, its application is very extensive, mainly used in the calculation of the partial fraction, divided by polynomial polynomial, factorization, polynomial function value, deformation equation, product classif

7、ication, rational function, through the study of synthetic division on specific issues in the application that can not only deepen the thinking, to simplify the process of solving problems, but also plays a very important role in understanding and application of comprehensive division comprehensive

8、division. Therefore, this paper first introduces the theoretical knowledge of comprehensive division, and in-depth analysis of the principle and method of calculating the comprehensive division, the comprehensive division in proving problems are computational problems, polynomial integral, residue p

9、roblem, application of economic problems and the decoding problem, and gives specific examples, through the research on the comprehensive application of division in specific issues, the results show the effectiveness and practicability of the comprehensive application of comprehensive division and d

10、ivision, can reduce the complexity of the problem, provide the efficiency to solve problems, to further deepen the understanding of the removal method intuitive understanding and understanding, comprehensive division in other areas of application provides a reference.Key Words General division mathe

11、matical algebra problem solving method目录第1章绪论41.1 研究意义及其应用价值41.2 研究现状41.3自己的见解6第2章综合除法的理论知识7定义2.17定理2.27定理2.38定义2.48定理2.49定理2.59定理2.69定理2.79第3章综合除法在证明中的应用93.1本章小结11第4章综合除法在多项式中的应用114.1本章小结14第5章综合除法在积分中的应用145.1本章小结16第6章综合除法在留数中的应用176.1本章小结20第7章综合除法在实际生活中的应用207.1综合除法在经济中的应用207.2综合除法在译码中的应用217.3本章小结22结

12、论23致谢语24参考文献25III第1章 绪论1.1 研究意义及其应用价值在数学研究和其他许多计算问题中，常常有函数不便于处理和计算的情形。有时候由于使用其他计算方法，导致过程复杂，容易出现错乱，有时要构成某些函数进行计算困难，使用不方便，因此可以使用一个简单的计算方法来帮助我们解决问题。综合除法是一种很古老的数学，最早出现在于宋淳佑七年(1247年)九月著成的数书九章18卷里，将其运用到对数字方程的求解的研究，开始它叫秦九韶程序，经过逐步演化才叫综合除法。1综合除法在代数运算中是一种很普遍的运算方式，对于进入大学学习的学生是最有用的，中学阶段，可以作为乘法公式最好的逆运算进行教学。作为一个知

13、识点，在很多的数学问题中，综合除法的使用可以为其提供一种全新的解题思路，综合除法还可以与其他方法结合使用，可以极大地提高解题速度，因此，综合除法的计算是我们必须掌握的。在综合除法的计算过程中，它只透过简单的乘法和加法便可以计算出结果，它的每一种方法都有他们各自的优点和灵活简便之处，认真理解综合除法，加深对综合除法的认识，掌握综合除法的计算方法，这不仅有利于学生的运算，还能提高学生分析问题，解决问题的能力和逻辑思维能力，调动学生学习高等代数，数学分析，初等数论等科目的积极性。因此我们应该对综合除法进行更深层次的研究和探讨，为以后学生学习综合除法提供更为有效方法。从古至今，许多数学家都使用综合除法

14、的计算方法研究问题，比如宋元时期的刘益在<<议古根源>>里就记载了使用综合除法来计算矩形面积。综合除法在实际问题中也发挥着重要的作用，比如海洋叶绿素遥感反应、调整银行存款保证金比列、模拟除法电路、麦田呼吸对土壤总呼吸的贡献等领域都会应用到综合除法的计算方法来解决问题,此外在高等代数、初等数论、实变函数、数学分析、复变函数等科目里涉及到的许多计算问题都能使用综合除法方便的运算。综合除法构造简单，便于使用和学习等特点都是具有一定的应用价值的。1.2 研究现状从古至今，综合除法备受很多学者们的喜爱，并且已经有很多学者对它进行研究，得到了一些成果。2001年，在文献3中，万会芳

15、发表的“关于高次多项式因式分解的方法”中提出在高次多项式的因式分解中,首先给出了一个有理数是整系数多项式的根的必要条件,然后得出判断该有理数是多项式的根的方法,最后举例说明了利用综合除法的计算方法达到因式分解的目的。2009年，在文献6中，赵元祥,高际宇发表的“综合除法的推广及其应用”中提出综合除法将一个有理函数分解成整式与部分分式之和是相当简便的，这不仅有利于有理函数的不定积分运算，又能提高学员分析问题解决问题的能力，调动其学习高等代数与数学分析课的兴趣。2010年，在文献8中，杨琴在发表的“关于一元多项式的因式分解”中对一元多项式的因式分解的方法进行了一定的探索，以一题多解的方式列举了综合

16、除法，待定序数法，辗转相除法，矩阵的初等行变换法以及行列式等五种方法进行比较，并对每种方法的优劣进行了评价。2010年，在文献9中，谢嘉泽发表的“矩阵多项式的综合除法及其应用”提出矩阵多项式的综合除法的使用，利用微分代数的观点，将其应用于构造一类常序数偏微分方程的问题中，并对综合除法的计算方法进行了评价，它具有运算过程简单，使用灵活等优点。2010年，在文献10中，刘和义、玉强发表的“矩阵特征值的一种新型求法”指出现行线性代数教科书求矩阵特征值较困难，计算较复杂，且容易出错，本文提出了一种新方法，该方法与一般方法相比具有求解程序化、计算简便、不易出错等特点。2011年，在文献10中，何丽亚发表

17、的“综合除法及其应用”提出综合除法是多项式除法运算的一种简便算法，它是分离叙述法通过变形发展的结果。并且提出了综合除法在数学运算中的类型主要有：多项式除以多项式，应用于部分分式，应用于求函数值，应用于因式分解，应用于高次方程，应用于多项式变形，应用于有理函数的积分等。2011年，在文献12中，齐新社,齐利华,李锋发表的“多项式长除法的应用”通过实例介绍多项式长除法在有理函数积分、求高阶导数、求解微分方程中的具体应用。2016年，在文献16中，周志琛发表的“矩阵多项式的逆矩阵求解方式探讨” 提出矩阵多项式的知识在很多线性代数教材中都有所涉及，其逆矩阵求解计算性较强，方法较多。通过相关数学实例证明

18、得出：在简单矩阵多项式的计算中，应主要采用分解因子法、待定系数法进行求解；而在一般矩阵多项式的求解中，应主要采用综合除法进行求解。1.3自己的见解通过查阅文献和收集资料发现，综合除法是一种常见的计算方法，它在数学学科中具有重要意义，综合除法和其他计算方法进行比较，综合除法的使用更为简单，把综合除法进行推广，应用领域也更为广泛，但是在现有的文献中，对综合除法的研究都是某个领域的。本文将联系之前学过的综合除法的知识点，通过利用网络、期刊、杂志等搜索综合除法应用的相关知识，查阅和综合除法相关文献，总结得出综合除法应用在多项式、积分、命题证明、经济、通讯等方面。对已学习综合除法的概念、计算及相关知识，

19、进行归纳与分析，把所学知识应用到实际生活中，采用他人对综合除法应用的先进经验总结出一篇综合除法的计算方法及其应用的论文,为广大学习者学习综合除法的应用起到抛砖引玉的作用。第2章综合除法的理论知识定义2.1 综合除法是一种简便的除法，只透过乘，加俩种运算便可计算到一元多项式除以（x-a）的商式与余式，其实就是多项式除以多项式，解题的一般步骤是:（1）把被除式，除式按某个字母按降幂排列，并把其所缺的项用零补齐；（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项；（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法

20、继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数为止，被除式=除式商式+余式。定理2.2综合除法是多项式除法运算的一种简便算法，实质上是分离系数法通过变形发展得到的结果。设多项式：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0(an>0或an<0);除以（x-a）所得的商是：q(x)=bn-1xn-1+b1x+b0(bn-1>0或bn-1<0,余数为r);接下来用待定序数法确定q(x)中的序数以及余数r;f(x)=(x-a)q(x)+r;anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(x-a)(bn-1xn-1+b1x+b0)+r;anxn+an-1xn-1+a1x+a

21、0=bn-1xn+(bn-2-abn-1)xn-1+(b0-ab1)x+(r-ab0);由多项式相等的定义：an=bn-1;an-1=bn-2-abn-1,a1=b0-ab1;a0=r-ab0;即bn-1=an;bn-2=an-1+abn-1,b0=a1+ab1;r=a0+ab0.如下表所示：25综合除法运算表 an an-1 a1 a0+ abn-1 ab1 ab0bn-1 an-1+abn-1 a1+ab1 a0+ab0bn-1 bn-2 b0 r注：(1)当除式为kx-b时,可先用x-b/k除被除式f(x),若x-b/k除f(x)所得的商与余数就分别是q(x)除以K与r,一般情况下,在多

22、项式除法中,如果把除式缩小k倍,所得的商则扩大k倍,但余式不变。（2）如果：g(x)=kx-b(k>0或k<0);可先将除式变形为：kx-b=k(x-b/k);用综合除法f(x)除以（x-b/k）的商q(x)和余数r,则其满足关系式：f(x)= （x-b/k）q(x)+r;即：f(x)=1/kq(x)(kx-b)+r;将上述式子与式子：f(x)=(kx-b)q(x)+r进行比较，得出：q(x)= 1/kq(x) ,r=r.定理2.3带余除法定理设f(x)是g(x)任意两个多项式，且g(x)0，那么存在唯一的一对多项式 q(x)和 r(x)，使得：f(x)=g(x)q(x)+r(x)

23、 （1）这里 r(x)=0 或者 r(x)的次数小于 g(x)的次数，q(x)叫做g(x)除 f(x)所得的商，r(x)叫做余式。定义2.4在定理2.3中，当r(x)=0 时，称 g(x)整除 f(x)，记为 g(x)|f(x)，也称g(x)是f(x)的因式。定理2.4余数定理：多项式 f(x)除以x-a 所得的余数为f(a)。定理2.5因式定理：多项式f(x)有因式x-a 的充要条件是 f(a)=0。定理2.6 降幂综合除法：记a(z)=a0zn+a1zn-1+an-1z+an，b(z)=b0zm+b1zm-1+bm-1z+bm（n>m），q(z)=a(z)/b(z)，其中a(z)和b

24、(z)均按降幂排序（称这种综合除法为“降幂综合除法”）。定理2.7 升幂综合除法：对于定理2.6中的q(z)=a ( z )b ( z )，将a(z )和b (z)按升幂排列（称这种综合除法为 “升 幂综合除法”）， 即q( z ) =an+an-1z+a0zn/bm+bm-1z+b0zm（假设bm0）。第3章综合除法在证明中的应用不等式的证明，公式的证明以及命题的证明是中学和大学数学的重要内容之一，在数学学习过程中的理论推导及其在实际问题的应用中含有大量的证明问题，由于证明问题的抽象性，给很多学生求解数学证明问题带来一定的困难。因此，本章通过深入分析综合除法在证明不等式问题，因式分解问题以及

25、求表达式的值等方面的应用，研究表明综合除法能够有效的简化证明问题，为求解证明问题提供了一种简洁高效的计算方法。例 1已知a，b，cR+证明：a3+b3+c33ab证明：a，b,cR+又利用综合除法先将右端按a进行降幂排列，并记f(a)=a3+0·a2-3abc+(b3+c3)由综合除法（如图）得：f(a)=(a+b+c)(a2-(b+c)a+(b2-bc+c2) = (a +b +c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)-b-c 1 0 -3bc b3+c3 -b-c b2+2bc+c2 - b3-c3 1 -b-c b2-bc+c2 0 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c

26、)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 a3+b3+c33ab例 2分解因式：(n-m)3+(m-n-2)3+8解：令 a=n-m，b=m-n-2，c=2则a+b+c=0又利用综合除法先将右端按a进行降幂排列，并记f(a)=a3+0·a2-3abc+(b3+c3)由综合除法（如图）得：f(a)=(a+b+c)(a2-(b+c)a+(b2-bc+c2) = (a +b +c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)-b-c 1 0 -3bc b3+c3 -b-c b2+2bc+c2 - b3-c3 1 -b-c b2-bc+

27、c2 0 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0a3+b3+c3=3abc原式=(n-m)3+(m-n-2)3+23=3(n-m)(m-n-2) D_Dd_例3已知a+b+c=0，a3+b3+c3=0，求a2013+b2013+c2013的值。解：a+b+c=0，a3+b3+c3=0又利用综合除法先将右端按a进行降幂排列，并记f(a)=a3+0·a2-3abc+(b3+c3)由综合除法（如图）得：f(a)=(a+b+c)(a2-(b+c)a+(b2-bc+c2) = (a +b +c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)-b-c 1

28、0 -3bc b3+c3 -b-c b2+2bc+c2 - b3-c3 1 -b-c b2-bc+c2 0 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)可知：abc=0，故a，b,c中至少有一个为0，不妨设c=0，则a+b=0a=-b故a2013=-b2013a2013+b2013+c2013=03.1本章小结通过对综合除法在证明不等式，分解因式以及求代数值等方面的应用进行深入分析，可以看出综合除法能够有效的简化证明问题，其在证明问题中有着非常重要的作用，在整个数学证明题中有着极为广泛的作用，不论是中学数学中的不等式证明，因式分解等，还是大学数学中的线性规划

29、等可以应用综合除法。在例1中，证明不等式，综合除法比其他方法证明不等式更简单，而且有规律可循；在例2中，对这类多项式因式分解，提取公因式，或者平方差，完全平方公式等不适合，而用综合除法则比较容易分解因式；在例3中，对于这类表达式的求值，直接计算比较困难，用综合除法对a进行降幂排列，则可以简单算出结果。因此，综合除法是求解数学中证明问题的一个有力的工具。第4章综合除法在多项式中的应用多项式计算是高中和大学数学中的重要内容之一，在多项式的计算问题中，采用的求解方法一般是求根公式、十字相乘法、配方法等，但是在求解复数多项式问题时使用这些方法，会使计算复杂，不容易得出结果；并且函数的泰勒展开式是多项式

30、中非常重要的内容，在分析和研究数学问题方面有着重要应用，但由于展开式中需要用到函数的高阶导数值，因此计算量很大，给问题的求解带来一定的困难。因此，本章通过深入研究综合除法在求解多项式问题中的应用，研究表明综合除法在求多项式的标准分解式，求方阵的特征值，求解高阶方程等方面都有很好的应用，方法简单可行，具有很好的操作性，拓宽了多项式问题的求解方法。例1：求x-2除f(x)=x3+x2+5x-10，所得的商和余式。解：综合除法：用2丨1 1 5 -102 丨 1 1 5 -10+ 2 6 22 1 3 11 12所以（x3+x2+5x-10）除以（x-2）的商式是x2+3x-1，余式是12。例2：求

31、多项式f(x)=x5- 10x3- 20x2- 15x- 4的标准分解式。解：f(x)的最高次项系数1的因子有±1，常数项-4的因子有±1，±2，±4，故f(x)的根有可能是±1，±2，±4，代入f(x)逐一检验,得出-1和4是f(x)的有理根。综合除法： -1 1 0 -10 -20 -15 -4 -1 1 9 11 4 4 1 -1 -9 -11 -4 0 4 12 12 4 1 3 3 1 0由上可知：x3+ 3x2+ 3x+ 1=(x+ 1)3，所以f(x)=(x+ 1)4(x- 4)。例3：设A=，求A的特征值。解

32、：| = (&&)D_Dd_ + + ） = 应用综合除法：1 1 -2 -1 2 1 -1 -2 -1 1 -1 -2 0 -1 2 1 -2 0所以A的特征值为=1，=-1，=2。 例4： 在复数集c求中解方程2x5+3x4-15x3-26x2-27x-9=0解：原方程的可能有理根是1，3，9，由f(1)0，f(-1)0，知x=1，都不是原方程的根。对上述可能的有理根利用综合除法，有： 2 +3 -15 -26 -27 -9 3 +6 +27 +36 +30 +9 2 +9 +12 +10 +3 0 -3 -6 -9 -9 -3 2 +3 +3 +1 0 -1/2 -1 -

33、1 -1 2 2 +2 +2 0 1 +1 +1所以原方程的有理解是3，-，解降次方程x2+x+1=0得另外两根是x=故原方程在C中的解是。例5： 将多项将多项式 x5-6x4+11x3-2x2-12x+8 按 x-2的方幂展开如图所示： 1 -6 11 -2 -12 82 2 -8 6 8 -8 1 -4 3 4 -4 02 2 -4 -2 41 -2 -1 2 02 2 0 -21 0 -1 02 2 41 2 32 2 1 4于是 f(x)=(x-2)5+4(x-2)4+3(x-2)34.1本章小结通过深入研究综合除法在多项式问题中的应用，可以得出求解多项式的求解有理根，多项式展开，因式

34、分解，含字母系数的方程组解、矩阵的最小多项式的求解、判断线性变换及矩阵是否可以对角化等难点问题的过程中，通过综合除法的应用能够有效的简化多项式问题的求解。在例1，例2中，求一个多项式除以多项式的商和余数，求一个多项式的标准分解式等，用其他方法也可行，相对而言，综合除法比较简单，而且有公式可以套用；在例3中，求一个方阵的特征值，在计算一元高阶方程时，经常会碰到3次以上的方程，计算比较困难，用综合除法，则比较容易；在例5中，求多项式按（x-2）的幂排列，这个在泰勒公式中应用广泛，可以用一个幂级数来表示某个函数。通过综合除法求解问题，能够有效的简化问题，减少错误率，并且在多项式的除法里，可以利用乘法

35、公式，直接写出除法运算的结果，为多项式问题的求解提供了一种非常有效的方法。第5章综合除法在积分中的应用积分学是函数论中的重要内容。无论是各种实积分还是复积分,不仅是研究函数的重要工具,而且在几何、物理和工程技术上,都有着广泛的应用。积分是复变函数论中的一个重要部分,它在研究复变函数,特别是解析函数时所起的作用远远超过实积分在研究实变函数时所起的作用。积分是数学分析中的重要组成部分，同时也是难点。数学分析中已经给出一些计算积分的方法，但在做题时这些方法远远不够。通过对积分的研究，使用综合除法来计算积分比较简便。积分学是函数论中的重要内容。无论是各种实积分还是复积分,不仅是研究函数的重要工具,而且

36、在几何、物理和工程技术上,都有着广泛的应用。积分是复变函数论中的一个重要部分,它在研究复变函数,尤其是在求解析函数在某个奇异点的积分，以及曲线积分等，尤其是解析函数时所起的作用远远超过实积分在研究实变函数时所起的作用。积分是数学分析中的重要组成部分，同时也是难点。数学分析中已经给出一些计算积分的方法，但在某些积分中不是很适合。通过对积分的研究，使用综合除法来计算这类积分比较简便。计算积分例1：dx解：利用综合除法先把被积分函数化成部份分式,把被积分子展开为关于x-1的二次多项式，即：2x2-x+1=a(x-1)2+b(x-1)+c=由此，可连续作综合除法，就可求出a，b，c，由于 2 -1 1

37、 1 2 1 2 1 2 c 2 2 3 .c a所以2x2-x+1=2(x-1)2+3(x-1)+2即：=+所以，原式=+ =2-3-例2： I=1z1= 解记f(z)= 则f(z)在封闭曲线z =所围成的区域D内解析。要求积分I,只需求f(z)在D内的展开式中z2一项的系数c2。对于f(z)由综合除法，有：- - 1 0 0 - - - 1 - -× /_D_Dd_ 因此f(z)=-+z-z2+，即C2= ，从而所求积分I= 2ic2=-34i。5.1本章小结本章通过深入研究综合除法在积分问题中的应用，发现综合除法可以有效的求解积分问题，并且比一般的计算方法较简单。在求积分时，应

38、用综合除法，将被积函数f(x)表示为 x-x0的展开式，只要以x-x0除f(x)所得余式就是表达式中的常数项，再以 x-x0除前一次所得的商，所得余式就是 x-x0的一次项系数，依次类推，直至求得 x-x0的n-1 项系数为至，而 x-x0的n次项系数是原多项式f(x)的首次项系数，就可以把被积分函数展开成部分分式，在例1中，将被积函数表示成几个简单的分式的和，再对每项积分，方法简单，对于这类函数的积分均可采用综合除法先把函数分解后再积分；在例2中，对于解析函数在闭合曲线内的积分，这类积分直接计算很繁琐，运用公式计算限制条件比较多，而用综合除法则显得比较简单。综合除法在积分的计算中使用比较方便

39、，在研究复变函数导数、微分、级数以及其应用等各方面,都能够通过综合除法进行求解，进一步表明了研究综合除法的重要性。第6章综合除法在留数中的应用本章深入探讨了综合除法在留数问题中的应用。由于在很多实际问题和理论研究中经常遇到一些定积分，它们的计算往往比较复杂，有的甚至由于原函数不能用初等函数表示而无法计算，利用留数求这些定积分，方法比较简便，但是在求解留数的过程中，传统方法比较复杂，其要点是将定积分转化为闭曲线上的积分，对于留数的求法方法很多，求留数的一般方法是将所求函数f(z)展开为Laurent级数,再利用原理Res f(z),z0= c- 1(c- 1是f(z)在以z0为中心的圆环域内La

40、urent级数中(z- z0)- 1项的系数)求留数，然而该方法在应用过程中存在一定的问题，原因是有些函数的Laurent级数展开式比较难求。因此，通过借助综合除法，则可以较快地计算出系数c- 1,从而得所求的留数。其具体做法是，对于有限奇点z0,我们可以采用综合除法将f(z)在以z0为中心的圆环域内展开为Laurent级数。而对于无穷远点 ,我们采用综合除法将其在的邻域内展开为Laurent级数。这是由于在求处的留数时一般都是利用倒数变换,将其转化为求原点处的留数。通过综合除法的应用，为留数问题的求解提供了一种有效的计算方法。 求下列函数在指定点处的留数。(1)，在奇点z=-1的留数；(2)

41、 ，在无穷远点的留数；(3) ，在z= 0的留数。解：(1)由于z=-1是有限奇点，并且f(z)=由综合除法： 1 -3 0 1 1 1 -2 -1 - . . . 1 -2 - - /_D_Dd_ 1 因此=+(z+1)+(z+1)2+从而一项的系数为，即f(z)在奇点z=-1的留数为。（2）f(z)=，由于是求无穷远点的留数,由综合除法,有：0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 . . . 1 0 1 0 1 故f(z)= z3+ z+ 从而f(z)在无穷远点的留数为- 1。（3）f(z)=由综合除法有：0 0 - 1 0

42、 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 1 0 因此f(z)=+，从而f(z)在=0的留数为.6.1本章小结本章通过综合除法分别求解了函数在-1，无穷以及0点上的留数问题，通过求解表明应用综合除法可以简化留数的求解，相比于常规的方法,使得计算量大幅度减少，从而提高解题的速度。通过本章的研究说明了综合除法在留数问题中具有非常重要的作用，尤其说明了综合除法求函数在指定奇点处的留数。综合除法除了在留数中应用广泛外，在求解高阶导数在某点的取值问题等也具有非常广泛的应用，其不仅可以帮助我们将复杂的计算问题简单化，而且还可以给问题的求解提供了一种特殊的思路。因此，研究综合除法在留数问题中的应用是

43、非常重要的。第7章综合除法在实际生活中的应用7.1综合除法在经济中的应用内部收益率(IRR)是一个被广泛采用的投资方案的判据。它是指项目寿命期内使净现金流量的净现值等于零的折现率。项目的寿命期多在三四年以上,因此IRR的精确计算中就涉及到三次以上的高次方程的解法,而代数方法不能解四次以上的标准型方程,即使是有解的三四次方程的求解也十分复杂。因此要准确、迅速地求解IRR,必须使用工程解法。人们通常采取的方法是线性内插法,但该方法逼近根的速度太慢,致使需要多次反复试算。尤其是对IRR的精确度要求较高时,这种反复次数更多。因此,需要寻求一种快捷的计算方法。采用综合除法进行试算,可大大提高求解的速度,

44、从而使内部收益率这一决策工具能更好地为经济建设服务。如下：某现金净流量为-10000，5000，4000，3000元的项目，其IRR满足方程-10000+5000×(1+ r)- 1+ 4000×(1+ r)- 2+ 3000×(1+ r)- 3= 0的r值。令1+ r= x并对方程进行变形后得：f(x)= x3- 0.5x2- 0.4x- 0.3= 0 (2)首先,对方程(2)的根作初步界定得x在(1.0，1.5)上。然后，用0.618法定出两个试值x1=1.309，x2= 1.191。再用综合除法求得f(x2)= 0.204,因x1> x2,故f(x1)

45、> f(x2),即f(x1)和f(x2)同号,用牛顿切线法(图2)求解。连续地应用综合除法,可直接求f(x2)及f(x2)的值2:1 - 0.5 - 0.4 - 0.31.191 1.191 0.823 0.5041 0.691 0.423 0.204= f(x2)1.191 1.191 2.241 3.1731 1.882 2.664 3.377= f(x2)从而：x3= x2- f(x2)/ f(x2)= 1.191- 0.204/ 3.377= 1.131 本小节应用综合除法求解实际生活中遇到的经济问题，并且给出了综合除法在求解经济决策中内部收益率的例题，由于在求解内部收益率的过程

46、中涉及到三次以上的高次方程，给求解带来了一定的困难，因此本例题通过应用综合除法求解高次方程，发现综合除法可以简化问题的求解，进而简化了内部收益率的求解，提高了解题的效率。7.2综合除法在译码中的应用RS码具有诸多优点，目前已被广泛运用于移动通信、空间通信、卫星通信和数据存储等领域的差错控制中，它在信息可靠传输中的良好应用前景。RS码最重要的是关键方程的求解，故提出了综合除法的计算方法。RS译码的步骤：RS译码的基本步骤如下：（1）利用接收到的码元多项式R(x)计算出伴随值Si(i= 1,2, ,2t- 1),进而构造出综合多项式：S(x)= S0+S1x+ +S2t- 1x2t- 1. (1)

47、式(1)中，t为错误容限,即最多能纠正的错误字节的个数；（2）对关键方程(x)=(x)S(x)modx2t进行逐次迭代，直到deg(i)(x)<t为止，然后求解出(x)，(x).由关键方程可知,存在多项式H(x)，使得(x)=x2tH(x)+S(x)(x)成立，按下列条件进行：(- 1)(x)=x2t,H(- 1)(x)= 1,(- 1)(x)= 0，(0)(x)= S(x),H(0)(x)= 0,(0)(x)= 1。设(k- 2)(x)除以(k- 1)(x)的商式为Q(k)(x)，余式为(k)(x)，则关键方程的迭代式可表示为(k)(x)= (k- 2)(x)+Q(k)(x)(k- 1

48、)(x). (3)同时(k)(x)按(k)(x)=(k- 2)(x)+Q(k)(x)(k- 1)(x)进行迭代，直到deg(k)(x)<t为止。此时求解出的(k)(x)，(k)(x)就是最终要求解的(x),(x)。本小节应用综合除法求解实际生活中遇到的译码问题，并且给出了综合除法在求解信息可靠传输中RS译码的例题，由于在求解RS译码的过程中涉及到高次综合多项式的求解，给RS译码问题的求解带来了一定的困难，因此本例题通过应用综合除法求解高次综合多项式，发现综合除法可以简化综合多项式的求解，进而简化了RS译码的求解，在一定程度上简化了问题的求解。7.3本章小结本章通过深入研究综合除法在求解内

49、部收益率和信息RS译码的应用，发现综合除法能够简化问题的求解，降低问题的复杂度，一定程度上提高了解决问题的效率。在经济问题中计算内部收益率时，采用综合除法进行求解,可大大提高求解的速度，从而使内部收益率这一决策工具能更好地为经济建设服务。综合除法在求解译码问题中的应用可以提高通信和数据存储系统进行差错控制效率。通过对综合除法在实际经济问题和信息传输问题中应用的研究，发现综合除法在实际问题中同样具有非常广泛的应用，为求解实际问题提供了一种有效的计算方法。结论在数学中有很多计算问题都很复杂和繁琐,而用综合除法思想解决此类问题就会迎刃而解，综合除法是一种常见的计算方法，不仅在高等数学，数学分析，初等数论等科目里中应用广泛,而且许多科学、技术、生活领域同样运用到综合除法。通过深入研究了他人对综合除的应用的经验，可以看出应用领域很广泛，但在现有的文献中，对综合除法的研究都是局限于某个领域。本文从综合除法的理论出发，选取综合除法在多项式除以多项式、部分分式、求函数值、因式分解、高次方程、多项式变形、有理函数的积分等方面的应用，在每个方面的应用选取一些典型的例子，最后对每个方面的应用做了小结，通过这些例子，可以看出综合除法在数学各个领域的应用广泛，也总结出了对每种类型的数学问题怎么运用综合除法。不足之处就