航天器动力学10-摄动理论_31702934(1).

1、201VI 11J14HMWA201VI 11J14HMWA第三章航天器轨道运动的摄动I§3.1轨道摄动的原因及处理思路§ 3.2轨道根数摄动方程§3.3非中心引力场引起的摄动§3.4大气阻力引起的摄动前面介绍了航天器轨道运动的理想模型一一开普勒轨道。由于各种干扰因素的存在，航天器的轨道不再遵循开普勒运动规律。这些干扰因素包括非均匀的地球引力场大气阻力太阳光压太阳、月球的引力这些干扰因素将使 航天器偏离其预期的轨 道.但由于这些干扰因 素与地球引力相比是微 量，这种微小扰动通常 称为摄动.轨道摄动的处理方法1、考威尔方法（Co*ell910年）基本思想直

2、接考虑干扰因素和中心万有引力。二体系统的动力学方程附加摄动项201VI 11J14HMWA201VI 11J14HMWA在惯性坐标系中，可以写成y =+ fy r=7x2 + y2+z2201VI 11J14HMWA201VI 11J14HMWA优点：该方法简单直观，适用范围广，对摄动项没有什么 限制，可同时处理不同的扰动.缺点：由于摄动项远小于地球引力项，为了在计算中反映 出摄动的影响，要求计算精度高，积分步长小，运算量大, 误差积累可能严重。目前由于计算水平提高，该方法重新得到重视。201VI 11J14HMWA2、恩克方法（Encl©1857年）基本思想；以开普勒轨道为基准轨道

3、，列写航天器偏离此轨道的动力学方程。r = p +111;际基准軌道轨迹轨道偏差建立以产/为变量的动力学方程,201VI 11JJ4IIMW/1Pa«ae8201VI 11JJ4IIMW/1Pa«ae8优点：由于轨道偏差变化缓慢，因此方程积分步长可以较 大，计算效率高.缺点=该方程只能适用于小偏差的情况，当时间较长时， 应选用新的基准轨道.3、轨道根数摄动方法（欧拉,1748年201VI 11JJ4IIMW/1Pa«ae8201VI 11JJ4IIMW/1Pa«ae8基本思想'认为干扰因素远比引力作用小， 保留开普勒运动的基本特征， 将轨道根数视

4、为缓慢变化的变量。首先假设，如果航天器在极短的时间内受到冲击质心位置没有变化, 速度有微小的增量一體萝豔蠶勰碰撞理论的基木假设I航天器在受到冲击后，轨道 运动仍为开普勒运动，但轨道根数相应发生微小的变化第二步，把航天器长时间内连续受到的摄动影响， 看成是在离散时间内航天器受到的系列微小冲量。根据前面的结论,航天器在受到冲击后，轨道运动仍为开普勒运动，但轨道根数相应发生微小的变化因此，每一时刻航天器都存在一个新的椭圆轨道,这些变化的椭圆轨道就构成了航天器的实际轨道。Al>0轨道根数连续变化小结考威尔方法（191（）年）恩克方法（1857年）轨道根数摄动方法（欧拉，1748年）在前面的三种方

5、法中，前两种方法偏重于计算, 每次计算所得结果不具有一般性；后一种方法偏重 于理论分析，所得结论及其近似结果.具有重要的 理论意义。因此本课程将重点介绍轨道根数摄动法。具体在考虑摄动影响时，根据不同摄动因素 的特点，可以采用下面两种主要的处理方法。201VI 11JJ4IIMW/1Pa«ae8存在位函数U（势能函数）如果摄动力是有势力势能函数与势力有何关系?au4R（）势能V与势能函数匕有何关系?摄动力的位函数V(r) =U(oo)-U(r) = -U(r)2011-1 IIJMIiMW/iq102011-1 IIJMIiMW/iq10地球屮心力场的位函数如果摄动力是非有势力例如大气

6、阻力IW9如直接求八就是考威尔 方法。因此关键是把厂 表示成轨道根数的函数。r=r（a?e?M,r2?i,69）拉格朗日行星摄动方程2011-1 IIJMIiMW/iq102011-1 IIJMIiMW/iq10把摄动加速度（单位质量的摄动力）分解为相互垂直的三个分量/p = f" + f" +径向横向法向2011-1 IIJMIiMW/iq102011-1 IIJMIiMW/iq10通过对轨道积分常数的摄动变化，导出轨道根数变化的高斯形摄动方程。高斯形摄动方程具有普遍性，也可处理摄动力是有势力的情况。2011-1 IIJMIiMW/iq10由于高斯形摄动方程具有普遍性，下

7、面简要介绍ZZn建立惯性坐标系o乂亿升交点坐标系OXnKZ近地点坐标系0§忆轨道坐标系Oxvzr各轴的单位矢量用该轴 字母加上标0表示，如2 X：根据轨道积分hrxve斗智_把速度卩在轨道坐标系Oxyz中分解.2011 <1 11JJ4I J期右El卜】+护曲卡）取乔丹速度变分：（& =O,/VH（）碰撞理论的假设f6va +-4-(1 + )COS f >P P力学中有多种变分2"'等时变分"一一不考虑时间变化；“乔丹变分” 一一不考虑位置变化；“高斯变分” 一一不考虑速度的变化.关于变分:X轨道平而一迢 过0、S两点。 新轨道平面朋

8、勰酸八（或X轴股生。7Zor由于扰动不影响航 天器质心的位置.因此201VI 11Jj4|MIW/i设受扰动后轨道平面绕文轴的微小角位移为力0 呦只能由沿2轴的速度增量內所引起。aq«15与刚体定点运动中的欧拉转角类似，刚体的转动会 引起三个欧拉角的变化。而轨道平面的转动d卩也 会引起轨道参数0,3 f的变化有切化 5园+<« +（昴+ 5 宦201VI 11JI4I20具休过程略，参考刘延柱。 但符号与刘书中的略有不同."prsin f“p sini(c= J sin fS + (1 十工)cos fQ；P PS£ =- /cos f(v -(1

9、+ )sin fv J cP2011 ! 11.1)41 J M/i&。=er re-cos 仃$；4(l )sin f ctgisinP轨道根数摄动方程设碍是万有引力之外的摄动力，其引起的单位质量的加速度称为摄动加速度，记为fp°向轨道坐标系投影，为将前面的轨道根数的增量结果除以出，并把变分符号改为微分符号，得到轨道根数摄动方程组di r cos/2 r 山血p nd/2r srn fdt Jupsini 1=/sin f 1* + )cos f £ dlPP= - J-cos f (+(1 + )sin f frcolisin* fadt e y /zpp如果摄

10、动力是时间的函数，则此方程可求解。如果摄动力是位置的函数（有势），则需要改写。1、刚体对质点的万有引力场2、地球引力场3、摄动加速度 4、长期摄动影响201VI 11JI4I20oyz为刚体的中心主轴坐标系，加为质点，有rrrrr=厂 +/r设F相对OX兀的方向余弦为d加在Oxyz内的坐标为xg.则r - r(ai + a2j + ajc)p = Q + 寸 + vkr,2 = r2 + p2 - 2r (xtz, + ya, + zzz定义刚体的万有引力场的位函数为2U=<设Q« 把厂近似展开:r,2 =r2 十/r5 -2r(1 +手+（皿咛如xct十 ya2 十 zzx3

11、11 p1 z+y+ofjZ+cr3z)27%r _2r亍十r十2p201VM1J14I MVI/i件22u = （1 + （A+B+C-引）r 2nir"其中仏R、C为刚体的主转动惯量2011 <12011 <1如果刚体是旋转 对称的，利用A=CU = l-r如果刚体是球对 称的，利用2011 <12011 <1= 0.00108263地球质量扁平分布参数2只考电第1阶、 丿此一 r厂 I1 - 2“一 r=U2011 <13、摄动加速度U = ¥【l-拾）J，3sinj = 一巴畢（3sm?0l） 2r摄动加速度/是摄动力位函数AU的梯度,

12、地球引力位函数非中心引力位函数可以在不同的坐标系中表示。惯性坐标系fx = £LE2弓=警2 （ °3） exdy以£为例进行计算q25""苹(3sin 力-1)JU = -2rzlU = -ljwJnR;2 2011 <1 11JJ4I2011 <1 11JJ4Ir5( AJ)r 3 15zM3r3“y三2011 <1 11JJ4I2011 <1 11JJ4I2r3-5二2011 <1 11JJ4I如果把摄动加速度/的表达式与考威尔方法 相结合，就可以积分求卫星在给出初始条件下的 运动。参考公式 27弓J 咨（3

13、 品 _1）dr 2 r1; = "0Din0=3pJ产(Ssin2isin2-l) 2r4由球面三角形关系，有cosi = cos 仔 sin sin 0 = sin i sin 0 cos fl = tang>sin 0 = (ft?+ f)=-处淫 sir? i sin 202r420110 11H4HMVIK把摄动加速度方程与前面轨道根数摄动方程合在一起，2011z 11 L4I2011z 11 L4I= /cos f fj +(1 + )sin f L ctanisin& 即 dt e V y/ppdt=/sin f t； 4-1-(14-)cos f

14、63; “P P<1(2 r sin 0dt yfjn p sin 1 "二孑“打£血钉血20di rcos& = I.2r4驾冬in咖就可以 求解2011<l 11.1141 ? Vih4.长期摄动影响q3f2011z 11 L4I2011z 11 L4I上述方程组原则上可以求解。但由于严重非线 性，只可能进行数值计算，没有解析解。另一方面，由于摄动的影响与万有引力相比及 其微小，因此轨道要素的变化是缓慢的.我们关心 的是轨道的长期摄动。p,e的变化缓慢。匚0二血十F的变化快。在数值计算中，如果变量变化缓慢，计算的步长可以大些，如果变量 变化剧烈，计算

15、的步长就要小些如果两种情况同时存在特征值相差 大.方程称为“刚性方程”，也称为“病态方程”，需要特殊的算法.当方程中的变量变化快慢明显不同时，理论 分析中可考虑采用平均法对方程进行简化。平均法的思路是;用乐i = 12345)统一表示各轨道要素 Qi, p.edt (1 = 1,23,4,5)在卫星运行的一个周期内，近似认为轨道要素 没有变化，将方程在一个周期内积分，得到每运行 一周轨道要素的微小增量(i =12345)dt由于q不是时间的显函数，而是真点角的显函数，因此g(i)df (i = 1,2,3,4,5)dt*33rdl= dfna2Vl-e22011z 11 L4I2011z 11

16、 L4I虽然轨道根数的变化很复杂，但是其对/的积分 有可能有解析解。经过积分，得Jp = Je = Ji = 0 d/w = - yd, I(5cos2 i -1)2 “P丿= 3hJ2 cosiA P J2011z 11 L4I2011z 11 L4I2011z 11 L4I符号运算的程序2011 flcleur ullr=p/(l*e*cos(f)H dt_df=rA2/sqrt(mu*p); 1 关系fr=-J*iiiu*J2wReA2/2/rA4w(l-3*(siii(in)A2*(sin(tlicta)A2); ft3*niu*J2*ReA2/2/r/s4*(sin(mc»

17、A2*sm(2*theta);fn=-3 w mu*J2wReA2/2/rA4t sin(2*inc)wsui(theti);svms mu t p <lwt» f QincguJ2 Rc incdMr符号运算一一积分1)；theta=f+omega;dpdt=dt_dP2*r*sqrt(p/m u)*ft; dOMEGA_dt=<lt_(lfwrasim(thetii)wfn/sqrt(iiiu*p)/siii(inc); d_dt=cit_df*rtcos(theta)fn/«qrt(mutp)：p=simple(intdp_dt,f904 *pi) inc

18、=sini plc(int(di_dtJA2*pi) OMEGA 二 Mm ple(int(dOMEGAdtXOJw pi)利用MMlab的积分功能很容易得到结果！Ap = zle = /h = 0企（p丿 皿=一3迅爭地球扁平率不影响轨 道的几何形状，只引 起轨道平面的转动。cost为什么？ | 机械能守恒动扯矩不守恒|上述平均化过程消除了轨道要素在每一个运行周 期内的波动，但能准确反映轨道要素的长期变化规律, 即轨道的长期摄动。轨道要素在每个运行周期内的波 动称为周期摄动。2011<111J14I IMVI/1前面，在太阳同步轨道中,问题引用过公式2a* 2(l-e-)-COS1但现

19、在得到的公式是A P丿cosi两者有什么关系?利用 Jn山=2兀p = a(l-e")201VI 11JJ4IIMW/1201VI 11JJ4IIMW/1T 2ti 物理含义?201VI 11JJ4IIMW/1201VI 11JJ4IIMW/1§3.4大气阻力引起的摄动q37201VI 11JJ4IIMW/1U大气阻力对轨道高度和速度的影响由于阻力的影响，航天器的高度不断下降，但 速度却是在增加的！与一些人的直观结论不同!但是，我们根据右图,又 可以直观地证明。因此，你能否根据有关的公式, 推出这一结论？V大2C11f| 11JJ4HMWA大气密度随高度变化.近似表示为，p

20、 = poexp2.大气阻力引起的摄动加速度dE = dv + 马 dr < 0 f dr < 0 dv > 0心为轨道上的某已知点，一般选近地点。Q为大气密度，几为几处的大气密度， H为常数，与几有关。由于随真近点角/(半长轴与矢径的夹角) 变化，因此有Q = p(F)201VI 11JJ4IIMW/1假设航天器为轴对称体.空气动力只有阻力。近似为= -CdS°?上C,）为阻力系数，乩为特征面积，一般为截面积。因此由空气阻力所引起的摄动加速度为CdS。2m=D/9 -VVm201KI42201KI42原则上，摄动加速度已求ZzN将向轨道坐标系投影，得到fr = -D fr = -D/7Wr f；=0出但在任意位置求速度不方 便，将摄动加速度厶表示为真 点角/的函数更方便.201KI42201VI 11JJ4I htVHi201VI 11JJ4I htVHifr = _DqVVt= -D/?Wr只保留次项£ = “Dpcsin f P£ =一&