苏科版九年级下册第6章《图形的相似》常用10类模型及典型题

1、图形的相似知识点及常用10类模型与典型题性质对应角相等，对应边成比例两角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例位似成比例的线段比例的性质图形相似三角形相似应用黄金分割判定知识结构相似三角形的判定：1预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似。2判定1：有两个角分别对应相等的两个三角形相似 。3判定2：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似4判定3：有三边对应成比例的两个三角形相似相似三角形的性质：1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。2、相似三角形对应边上高的比、中线的比，对应角角平分线的比等于相似比；相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的

2、平方。位似：1、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，对应顶点连线的交点O叫做位似中心 2、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比。 常用10类相似模型1.A字型 2.斜A字型 3. 8字型 4. 斜8字型 5. 母子型 6.旋转型(由A字型旋转得到 ) 7.双直角型 8.K字型1（一线三垂直型） 9. K字型2(一线三等角型) 10. 共享型 模型一.A字型1如图，已知DE/BC，AD=5，DB=3，BC=12，B50º，则ADE °，DE= ， _. 第1题图 第2题图2如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,

3、梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m则梯子的长为( )A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m3.如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？ 练习1. 如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，若BD2AD，则()A. B. C. D. 第1题 第2题 2. 如图，在ABC中，点D，F，E分别在边AB，AC，BC上，且DFBC，EFAB.若AD2BD，则的值为_3.如图在ABCD中，点E在边BC上，

4、点F在边AD的延长线上，且DF=BE. EF与CD交于点G. （1）求证：BDEF . （2）若,BE=4,求EC的长. 4. 如图，已知ECAB，EDAABF. 求证：(1)四边形ABCD是平行四边形； (2)OA2OE·OF.模型二:斜A字型1.如图，已知点E在AB上，若点D在AC上，DE不与BC平行，则满足条件 ，就可以使ADE与原ABC相似. 第1题 第2题 第3题 2.如图，已知ADEABC，若ADE37°，则B_°.3.如图，在ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与ABC相似

5、，则AE的长是( )A. 16B. 14C. 16或14D. 16或9 3.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，求D点运动的时间4如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AED=B，射线AG分别交DE，BC于点F，G，且=（1）求证：ADFACG；（2）若=，求的值模型三8字型1如图，已知与相交于点，AB=4,CD=8,AD=12，则PD的长等于_. 第1题 第2题 第3题2.如图，ABCD，E

6、在CD延长线上，AB10，DE8，EF12，则BF的长为_.3.如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，AF=DF, FE与AC相交于G，则AG:AC=_练习1如图，ABCD，AD与BC相交于点O，已知AB4，CD3，OD2，那么线段OA的长为_ 第1题 第2题2如图，在矩形ABCD中，AB，BC，点E在对角线BD上，且BE1.8，连接AE并延长交DC于点F，则_3 如图，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长模型四:斜8字型 1.如图，四边形的对角线相交于点，DAO=CBO,求证：(1)AODBOC；(2)AOBDOC.2

7、.如图，在ABC中，AB=AC,以AC为边在ABC外作等边ACD，点E在BC边上（不与点B、C重合），点F在BC延长线上，AED=F=60º，DE交AC于G，（1）求证：DEF是等边三角形；（2）若BE=8，CE：CF=3:5，求DG的长度. 模型五:母子型 例1.如图，点D在AB上，当B 时，ACDABC.例2.已知:如图,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC,求证:ABCADB；AB2=AC·AD；AB·BC=AC·CD.例3如图，已知ABC中，D是BC上一点，BD=10，DC=8，BDAC ，E为AB上一点，DE/AC，求AC和DE的长例4：如图

8、，四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E 求证： 例5：已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, 求证：（1）； （2） ACDEB例6：已知：如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证： 相关练习：1、如图，已知AD为RtABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证： 2、已知：AD是RtABC中A的平分线，C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)AMENMD; (2)ND=NC·NB3、已知：如图，在ABC中，ACB=90°，CD

9、AB于D，E是AC上一点，CFBE于F。求证：EB·DF=AE·DB4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：5已知：如图，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积ACBPDE模型六旋转型：1已知：如图，1=2=3，求证：ABCADE

10、2.如图，设，则吗？说明理由.模型七双直角型： 1.如图，RtABC中，BCA=90°，CD是BC上的高，由三角形相似容易得到如下结论：1.CD2=_， 2.AC2=_， 3.BC2=_. 2. 如图, 在RtABC中, ACB=90°,CDAB于D， 若AD=4，BD=1，则CD=（ ）A.2 B.4 C. D.33.如图, 在中,，于，若BD=4,BC=6，则AB=_.4.如图, 在中,，于，若BD=2,BA=8，则BC=_.5.如图,已知ABC中,B=90°,BC=3，AB=4,D是边AB上一点，DEBC交AC于点E，将ADE沿DE翻折得到ADE，若AEC是

11、直角三角形，求AD长.练习1、如图，在ABC中，A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，ABC和BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。模型八K字型1（三垂直型） 例1.如图，C是线段BD上的一点，ABBD，EDBD，ACEC，求证：ABCCDE.例2如图，已知l1l2l3，且相邻两平行线间的距离相等，矩形ABCD的四个顶点在l1、l2、l3上，过B作EFl2，分别交l1、l3于E、F，若AE=2，FC=8，则l1与l2之间的距离是

12、_. 例3.如图，已知直线l1l2l3l4l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，BAD=90°且AB=2AD，DCl4，四边形ABCD面积是_. 例4.已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.例5、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。【练习】1. 在直角中，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F（1）、求AC和B

13、C的长（2）、当时，求BE的长。（3）、连结EF,当和相似时，求BE的长。2. 在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：(2)、当，求的值（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域3. 如图，在中，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点设，的面积为（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以、为顶点的三角形与相似，求的面积.4、如图,在梯形中，, ，是腰上一个动点(不含点、),作交于点.(图1) (1)求的长与梯形的面积； (2)当时,求的长；(图2) (

14、3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.QPDCBAQPDCBA （图1） （图2）模型九. K字型2(一线三等角型) 1.如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60°,（1）求证：BDECFD；（2）当BD=1，FC=3时，求BE. 2.如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由ABCDE3.如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC，CBOA，OA=7，AB=OC=4，COA=60°，点P为x轴上的一个动

15、点，点P不与点0、点A重合连接CP，过点P作PD交AB于点D（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且，求这时点P的坐标 4：已知在四边形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长CDABP（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长

16、5：如图，在四边形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，连接（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长相关练习：1、如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由ABCDE 2、如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）连接DF，如果DE

17、F与DBE相似，求FC的长3、已知在四边形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； 当时，求BP的长EDCBA（备用图）EDCBAP4、如图，已知边长为3的等边，点在边上，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，（1）写出图中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）若，试求的面积模型十. 共享型 1、ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,