函数的极大值与极小值(使用)

1、函数的极大值与极小值函数的极大值与极小值知识回顾知识回顾： 一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可在某个区间内可导，则函数在该区间导，则函数在该区间 如果如果f f(x)0(x)0, , 如果如果f f(x(x)0)0, , 则则f(xf(x) )为为增增函数函数; ;则则f(xf(x) )为为减减函数函数. . 如果在如果在某个区间某个区间内恒有内恒有f f(x(x)=0,)=0,则则f(xf(x) )为为常数函数常数函数. .根据导数确定函数的单调性的步骤：根据导数确定函数的单调性的步骤：f(xf(x) ) yxOaby= =f(x)x1 f (x1)x2 f

2、(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点值，相比有什么特点?观察图像：观察图像：一、函数的极值定义一、函数的极值定义一般的，设函数一般的，设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0

3、 x使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点1 1、在定义中，取得极值的点称为极值、在定义中，取得极值的点称为极值点，点，极值点极值点是是自变量自变量(x)(x)的值，的值，极值极值指指的是的是函数值函数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个局部局部概念，极值只是某个点概念，极值只是某个点的函数值与它的函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大的函数值比较是最大或最小或最小, ,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义着它在函数的整个的定义域内最大或最小。域内最大或最小。3 3、函数的、函数的极值不是唯一极值不是唯一的即一个函数在某区间的即一个函数在某区间上或定

4、义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的个函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值，如下图所示。，如下图所示。1x4x41()( )f xf x 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法究方法, ,看极值与导数之间有什么看极值与导数之间有什么关系关系? ?o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧

5、 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0如何判断如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？ yxO在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。aby= =f(x)x1 f (x1)= =0 x2 f (x2)= =0 x3 f (x3)= =0 x4 f (x5)= =0 x5 f (x)0 yxOx1aby= =f(x)在极大值点附近在极大值点附近在极小值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)01、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，右侧，右侧f

6、(x)0，则则f (x0)是极大值；是极大值；2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 则则f (x0)是极小值；是极小值；二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x2导数为导数为0的点不一定是极值点；的点不一定是极值点；极值点处的导数不一定是存在的；极值点处的导数不一定是存在的；若极值点处的导数存在，则一定为若极值点处的导数存在，则一定为0左正右负为极大，右正左负为极小左正右负为极大，右正左负为极小 abxy)(xfy=O abxy)(xfy=O 练习练习1.函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间)(xf导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则

7、函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfAf (x) 0f (x) =0注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别例例1 求函数求函数 的极值。的极值。314xx31y3 = =x(-，-2）-2(-2，2）2(2，+） yy解：定义域为解：定义域为R，y=x2-4由由y=0可得可得x=-2或或 x=2当当x变化时，变化时，y, y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=-2时，时， y极大值极大值=17/3 当当x=2时，时， y

8、极小值极小值=5+ + +0 0-0 0极大值极大值17/3极小值极小值 -5求可导函数求可导函数f(x)极值的极值的 步骤：步骤：(2)求导数求导数f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f (x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（- +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；巩固练习巩固练习：

9、求函数求函数 的极值的极值 33f xxx= x fx f x, 1 1,11,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf当当 时时, , 有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2.2.1=x1x = x解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 33f xxx= 0fx 23 3fxx= 23 30fxx=1x =1.x = 0fx 11x 1x 1

10、x ,fxf xa=2.a=2.例例4:4:函数函数 在在 处具有极值，求处具有极值，求a a的值的值1( )sinsin33f xaxx=3x=分析：分析：f(x)f(x)在在 处有极值，根据一点是极值点的处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，必要条件可知， 可求出可求出a a的值的值. .()03f=3x=1( )( sinsin3 )coscos33fxaxxaxx=解：解： ，()03f=1coscos(3)010332aa= 函数函数 在在 时有时有极值极值1010，则，则a a，b b的值为的值为 223)(abxaxxxf = =1= =x，注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 巩固练习 设函数设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数求函数f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值；(2)若关于若关于x的方程的