人教版九年级上册第二十一章 《一元二次方程》实际应用：几何图形问题

1、一元二次方程实际应用：几何图形问题1如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高2某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？3学校打算用长16米的篱笆围成一个

2、长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由4用一块边长为60cm的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图），然后把四边折合起来（如图）若做成的盒子的底面积为900cm2时，求截去的小正方形的边长5如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由6合肥长江180艺术街区进行

3、绿化改造，用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围城一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm；（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为150m2时，求x的值；（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，当花园面积是150m2时，求BF的长7如图所示，在RtABC中，B90°，AB6cm，BC8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，PBQ的面积等于8cm2？（2）经过

4、几秒后，P，Q两点间距离是cm？8公园原有一块矩形的空地，其长和宽分别为120米，80米，后来公园管理处从这块空地中间划出一块小矩形，建造一个矩形小花园，并使小花园四周的宽度都相等（四周宽度最多不超过30米）（1）当矩形小花园的面积为3200平方米时，求小花园四周的宽度（2）若建造小花园每平方米需资金100元，为了建造此小花园，管理处最少要准备多少资金？此时小花园四周的宽度是多少？9如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？10如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公

5、园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长11某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？12如图所示，利用一面墙的部分长度作为矩形较长的一边，另三边用24米长的篱笆围成一个面积为54平方米的矩形场地，求矩形场地较短边的长13学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且

6、宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米（1）用x表示绿化区短边的长为 米，x的取值范围为 （2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长14如图，用99米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为20米，其中ADMN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米（1）用含x的代数式表示AB的长（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长15如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米（1）求道路宽

7、多少米；（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？16在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成在校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽17九龙坡区政府为改善民生，自2019年起启动了43个“需由所应”专

8、项项目，该区某社区的居民活动广场是多年前修建而成，而辖区人口近年来又不断增加，已经远不能满足居民活动需要为此，政府决定对该矩形广场进行扩建改造，并提档升级（改建施工示意图如图所示）（1）若原广场长的3倍比宽的2倍多70米，而宽的3倍比长的2倍多20米，则原广场的长和宽分别是多少米？（2）如果扩建改造后的矩形广场长比宽的1.25倍多15米，扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元，若扩建和铺设地砖总费用为642000元，则扩建改造后的广场长和宽应分别是多少米？18手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首

9、”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值19阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形请你解决下列问题：（1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果

10、不存在，请说明理由20社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道已知铺花砖的面积为640平方米（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？参考答案1解：（1）纸盒底面长方形的长为（402×2）÷218（cm），纸盒底面长方形的宽为202×216（cm）答：纸盒底面长方形的长为1

11、8cm，宽为16cm（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得：×（202x）150，化简，得：x230x+1250，解得：x15，x225当x5时，202x100，符合题意；当x25时，202x300，不符合题意，舍去答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm2解：（1）设BCxm，则AB（333x）m，依题意，得：x（333x）90，解得：x16，x25当x6时，333x15，符合题意，当x5时，333x18，1818，不合题意，舍去答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m（2）不能，理由如下：设BCym，则AB（333y）m，依题意，得：

12、y（333y）100，整理，得：3y233y+1000（33）24×3×1001110，该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场3解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（162x）米，依题意，得：x（162x）30，整理，得：x28x+150，解得：x13，x25当x3时，162x108，不合题意，舍去；当x5时，162x6答：生物园的长为6米，宽为5米（2）不能，理由如下：设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（162y）米，依题意，得：y（162y）35，整理，得：2y216y+350（16）24×2×35

13、240，原方程无解，不能围成面积为35平方米的生物园4解：设截去的小正方形长为xcm，依题意列方程（602x）2900解得：x115，x245（舍去）答：截去的小正方形长为15cm5解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（202x）m，由题意得x（202x）50，解得：x1x25，（202×5）10（m）围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地理由：若能围成，则可列方程x（202x）52，此方程无实数解所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地6解：（1）由题意得：（40x）x150；解得：x110，x230，30

14、15x30舍去，x10m；答：x的值为10m；（2）设BFy；则（252y）（y+15）150；解得y1（舍去），y25，答：BF的长为5m7解：（1）设经过x秒后，PBQ的面积等于8cm2，则BP（6x）cm，BQ2xcm，依题意，得：（6x）×2x8，化简，得：x26x+80，解得：x12，x24答：经过2秒或4秒后，PBQ的面积等于8cm2（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP（6y）cm，BQ2ycm，依题意，得：（6y）2+（2y）2（）2，化简，得：5y212y170，解得：y1，y21（不合题意，舍去）答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm8解：（1）设小花园

15、四周的宽度为xm，由于小花园四周小路的宽度相等，则根据题意，可得（1202x）（802x）3200，即x2100x+16000，解之得x20或x80由于四周宽度最多不超过30米，故舍去x80x20m答：小花园四周宽度为20m（2）当矩形四周的宽度最大的面时，小花园积最小，从而投入的建造资金最少，此时最少资金为100（1202x）（802x）100×（1202×30）×（802×30）120000（元）答：为了建造此小花园，管理处最少要准备120000元，此时小花园四周的宽度是30m9解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，依题意，得：（82x）（52x

16、）18，整理，得：2x213x+110，解得：x11，x2又52x0，x，x1答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m10解：设B地块的边长为xm，根据题意得：x2x（16x）40，解得：x110，x22（不符题意，舍去），10+1626m，答：矩形荒地的长为26m11解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（282x）米，依题意，得：x（282x）80，整理，得：x14，x210当x4时，282x2012，不符合题意，舍去；当x10时，282x8，符合题意答：这个花圃的长为10米，宽为8米12解：设矩形场地较短边的长为x米，则邻边长为（242x）米，依题意得x（242x）54，整理得x2

17、12x+270，解得x13，x29（舍去）答：矩形场地较短边的长为3米13解：（1）路面宽为（142x）米，则绿化区短边的长为10（142x）÷2（x2）米，依题意得2142x5，解得x6；（2）设绿化区的长边长为x米由题意列方程得150×4x（x2）+20014×104x（x2）25000，整理得x22x150，解得x15，x23（不合题意，舍去）答：绿化区的长边长为5米故答案为：（x2），x614解：（1）AB（米）；（2）依题意有x450，解得x110，x2901020，9020，x10故所利用旧墙AD的长为10米15解：（1）设道路宽x米，根据题意得：（5

18、02x）（30x）1392，整理得：x255x+540，解得：x1或x54（不合题意，舍去），故道路宽1米（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据题意得：300×0.8y+200×50×1+（301）×1×2y23600，解得：y50故最多选A种类型步道砖50平方米16解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（182x）（10x）18×10×80%，整理，得：x219x+180，解得：x11，x218又182x0，x9，x1答：广场中间小路的宽为1米17解：（1）设原广场的长是x米，宽是y米，依题意，得：，解得：答：原广场的长是50米，宽是40米（2）设扩建改造后广场的宽是m米，则长是（1.25m+15）米，依题意，得：30×m（1.25m+15）50×40+100m（1.25m+15）642000，整理，得：m2+12m43200，解得：m160，m272（不合题意，舍去），1.25m+1590答：扩建改造后广场的长是90米，宽是60米18解：根据题意，得（10004x200）（402x）15200解这个方程，得：x1210（不合题意，舍去），x210所以x的值为1019解：（1）存在假设存在，不妨设“减半