直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系怎么判断它们之间的位置关系？怎么判断它们之间的位置关系？问题问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？：直线与圆的位置关系有哪几种？drd00因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根， 则原方程组有两组解则原方程组有两组解.- (1)例题讲解例题讲解小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的这是求解直线与二次曲线有关问题的通法通法。0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）看）看：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？：当直线与椭圆相交时，

2、如何求被截的弦长？例题讲解例题讲解例例1、 求直线求直线y=x- 被椭圆被椭圆x2+4y2=2 所截的弦长所截的弦长|AB|.2121 xyx2+4y2=2解：联立方程组解：联立方程组消去消去y01452 xx- (1)12124515xxxx 由韦达定理得由韦达定理得2|1|ABABkxx221)4ABABkxxx x（利用弦长公式求解：利用弦长公式求解：1、直线与圆相交的弦长、直线与圆相交的弦长(几何法）几何法）A（x1,y1）小结：直线与二次曲线相交弦长的求法小结：直线与二次曲线相交弦长的求法dr2l2、直线与其它二次曲线相交的弦长、直线与其它二次曲线相交的弦长（1）联立方程组）联立方程

3、组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）利用弦长公式）利用弦长公式:|AB| =22121214kxxx x（）12122114yyy yk2（） k 表示弦的表示弦的斜率斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的表示弦的端点端点坐标坐标，一般由，一般由韦达定理韦达定理求得求得 |x1-x2 | 与与 | y1-y2|通法通法B（x2,y2） = 设而不求设而不求例例2：在椭圆：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)024181622221kkxxk21解一：（显然，只须求出这条直

4、线的斜率即可）解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于即直线垂直于x轴，轴，则点则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得代入椭圆方程得x2+4k(x-2)+12=16即得即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0直线与椭圆有两个交点直线与椭圆有两个交点, 故故 =16(k2+4k+3)0又又 两式联立解得k=，直线方程为直线方程为x+2y-4=0. 44181622kkk评：评：

5、.本例在解题过程中，充分考虑本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出由此得出=16(k2+4k+3)0，又利用了，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决解决.这种方法是常用的方法，大家务必这种方法是常用的方法，大家务必掌握掌握. 但是，这种解法显得较繁但是，这种解法显得较繁（特别是方程组（特别是方程组 16(k2+4k+3)0显得较繁显得较繁 ）0422212121xxyyyyxx21210422212121xxyyyyxx：设弦的两个端点分别为：设弦的两个端点分别为P(x1,y1)

6、 , Q(x2,y2)则则 x1+x2=4, y1+y2=2在在P(x1,y1) , Q(x2,y2)椭圆上椭圆上, 故有故有x12+4y12=16 x22+4y22=16两式相减得两式相减得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0点点M（2，1）是）是PQ的中点的中点, 故故x1x2，两边同除两边同除(x1-x2 )得得 即4+8k=0 k=弦所在的直线方程为弦所在的直线方程为y-1= (x-2) 即即x+2y-4=0.评：评：.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了有真的求出它们，而

7、是通过适当变形，得到了从而揭示了弦所在的直线斜率从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方之间在椭圆标准方程的前提下的关系：程的前提下的关系：mx0+ny0k=0 . 显得很简便显得很简便.但在解题过程中应注意考虑但在解题过程中应注意考虑x1x2的条件！如果有这种可能性，可采的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决用讨论的方法，先给以解决. 如果不可能有这种情况，则应先说明如果不可能有这种情况，则应先说明 例例2：在椭圆：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程且被这一点平分的弦所在的直线

8、方程.-2-424xyM(2,1)03、弦中点问题的两种处理方法：、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：（1）垂径定理：）垂径定理：|AB|= （只适用于圆）（只适用于圆）（2）弦长公式：）弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 222dr 12122114yyy yk2（）22121214kxxx x（）1、直线直