1 11　实数大小的比较12　不等式的性质

1、§1不等式的性质1.1实数大小的比较 1.2不等式的性质1理解实数大小与实数运算间的关系，会用作差(商)法比较大小(重点)2理解并掌握不等式的性质(重点、易错易混点)3能用不等式的性质解决一些简单的问题(难点)基础·初探教材整理1实数大小的比较阅读教材P1P3“思考交流”以上部分，完成下列问题1实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大2两实数大小与运算间的关系(1)abab0；abab0；abab0.(2)当a>0，b0时，1ab，1ab；1ab.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若>1，则a

2、>b.()(2)xR，x2>2x.()(3)若a>b>c且abc0，则a>0，c<0.()【解析】(1)×因为b的正负不确定(2)×因为x22xx(x2)，其正负随x的范围的变化而改变(3)因为a>b，a>c，所以2a>bc，即3a>abc0，所以a>0，又因为c<a，c<b，3c<abc0，即c<0.【答案】(1)×(2)×(3)教材整理2不等式的性质阅读教材P1P3“思考交流”以上部分，完成下列问题.性质1对称性abba性质2传递性如果ab，bc，那么ac性质3

3、可加性如果ab，那么acbc推论如果ab，cd，那么acbd性质4可乘性如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc推论1如果ab0，cd0，那么acbd推论2如果ab0，那么a2b2推论3如果ab0，那么anbn(n为正整数)推论4如果ab0，那么ab(n为正整数)填空(填不等号)：(1)若a>bc，则ab_c.(2)若a>b>0，则_.(3)若a>b，c<d，则ac_bd.(4)若a>b>0,0<c<d，则_.【解析】利用不等式的性质可得【答案】(1)>(2)<(3)>(4)>质疑·手记预

4、习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型实数大小的比较(1)已知x3，比较x33与3x2x的大小；(2)若m0，试比较mm与2m的大小【精彩点拨】(1)只需考查两者差同0的大小关系；(2)注意到2m0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质【自主解答】(1)x333x2xx2(x3)(x3)(x3)(x1)(x1)x3，(x3)(x1)(x1)0，x333x2x.(2)m，当m2时，m1，此时mm2m，当0m2时，01，m1，mm2m.当m2时，1，m1，mm2m.比较大小的常用方法及步骤1求差法：abab0，aba

5、b0.一般步骤是：作差变形判号定论变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段2求商法：当a>0，b>0时，把比较a，b的大小转化为比较与1的大小关系，此即为作商比较法理论依据是不等式的性质：若a>0，b>0，则1ab，1ab.一般步骤为：作商变形与1比较大小定论再练一题1已知x，y均为正数，设m，n，试比较m与n的大小. 【导学号：94910000】【解】mn，x，y均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20，mn0，即mn.利用不等式性质判断命题的真假对于实数a，b，c判断下列命题的真假(1)若a>b，则ac<bc；(2)若ac2>b

6、c2，则a>b；(3)若a<b<0，则a2>ab>b2；(4)若a<b<0，则|a|>|b|；(5)若c>a>b>0，则>.【精彩点拨】本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断【自主解答】(1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题(2)由ac2>bc2知c0，而c2>0，a>b，故该命题是真命题(3)a2>ab；又ab>b2，a2>ab>b2，故该命题是真命

7、题(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题(5)0<ca<cb>，故该命题是真命题1判断命题的真假往往用举反例予以否定，或从条件入手，看是否推出与结论一致的结论2运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质再练一题2判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若ab，则ac2bc2；(2)若，则ab；(3)若ab，ab0，则；(4)若ab，cd，则acbd.【解】(1)错误当c0时不成立(2)正确 c20且c20，在两边同乘以c2，ab.(3)错误ab成立的条件是ab0.(4)错误ab，cd/ acbd，例如当

8、a，b，c，d为负数时不成立探究共研型不等式性质的简单应用探究1甲同学认为ab，乙同学认为ab0，丙同学认为ab，ab0，请你思考一下，他们谁说得正确？【提示】甲说得不正确当a>0，b<0时不成立；乙说得是正确的，但不全面，当0>a>b时也有<；丙说得非常正确探究2根据60<x<84,28<y<33，如何求得xy和的取值范围，直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围可以吗？【提示】不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”

9、间的联系正确解法应是：xyx(y)，所以需先求出y的取值范围；x×，所以需先求出的取值范围28<y<33，33<y<28，<<.又60<x<84，27<xy<56，<<，即<<3.设f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，在求f(2)的取值范围时有如下解法：由得3f(2)4a2b12.上述解法是否正确？为什么？【精彩点拨】f(1)ab，f(1)ab，而ab与ab中的a，b，不是独立的，是相互制约的本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(2)的范围扩大因此需要将f(2)用a

10、b与ab整体表示【自主解答】不正确设f(2)mf(1)nf(1)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(mn)b.于是解得f(2)3f(1)f(1)而1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件. 再练一题3若a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.【证明】c<d<0，c&

11、gt;d>0，a>b>0，ac>bd>0.(*)由(*)式知(ac)2>(bd)2>0，>.又e<0，<.即>.构建·体系1设aR，则下面式子正确的是()A3a2aBa22aC.aD32a12a【答案】D2已知m，nR，则成立的一个充要条件是() 【导学号：94910001】Am0nBnm0Cmn0Dmn(mn)0【解析】00mn(nm)0mn(mn)0.【答案】D3若6x13,2y7，则xy的取值范围是_【解析】2y7，7y2，又6x13，所以76xy213，即1xy11.【答案】1,114已知ab0，那么下列不等式成立的是_(