1819阶段复习课　三角恒等变形

1、第三课三角恒等变形核心速填1两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()coscos_sin_sin_.cos()coscos_sin_sin_.sin()sincos_cos_sin_.sin()sincos_cos_sin_.tan().tan().2二倍角公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3升幂缩角公式1cos 22cos2.1cos 22sin2.4降幂扩角公式sin xcos x，cos2x，sin2x.5辅角公式yasin xbcos xsin(x)体系构建题型探究三角函数的求值问题已知tan，且<<，求的值

2、. 【导学号：64012185】解2cos .tan，tan 3，cos ，2cos 2×.规律方法三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的

3、范围.跟踪训练1已知0<<，0<<，且3sin sin(2)，4tan 1tan2，求的值解3sin sin(2)，即3sin()sin()，整理得2sin()cos 4cos()sin .即tan()2tan .又4tan 1tan2 ，tan ，tan() 2tan 2×1.，.三角函数式的化简化简.解原式2.规律方法三角函数式的化简，主要有以下几类：对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化

4、异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段.以实现三角函数式的化简.跟踪训练2化简sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.解原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)·(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2(1cos2)cos2sin2sin2cos2·sin2cos2sin2(sin2cos2)cos2sin2cos21.三角恒等变换求证：

5、83;·tan. 【导学号：64012186】思路探究等式两边涉及到的角有4x,2x，x，等角，故可将左边4x,2x，x化为的形式证明左边··tan 右边等式成立规律方法1三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：(1)角的差异；(2)三角函数名称的差异；(3)三角函数式结构形式上的差异针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化2证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法3三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明不附条件的三角

6、恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明跟踪训练3求证：.证明左边，右边，左边右边，故原等式成立三角函数与平面向量的综合应用已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b|ab|，求f(x)的最大值和最小值思路探究本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f(x)，并参照x，求出最大值和最小值解(1)a·bco

7、s cos sin sin cos 2x，|ab|2|cos x|.x，cos x>0，即|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122，且x，cos x1.当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值为1.规律方法三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值.跟踪训练4已知向量m(cos ，sin )和n(sin

8、，cos )，(，2)，且|mn|，求cos的值解mn(cos sin ，cos sin )，|mn| 2 .由已知|mn|，得cos.又cos2cos21，所以cos2.<<2，<<.cos<0.cos.三角恒等变换的综合应用探究问题1三角恒等变换的基本方向是什么？提示：基本方向是变角、变函数、变结构2三角恒等变换的基本技巧是什么？提示：基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角)如acos bsin sin()(为辅助角)3三角恒等变换的基本目标是什么？提示：基本目标

9、是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数；尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论已知向量a(2sin x，cos x)，b(cos x，2cos x)，定义函数f(x)a·b1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)画出函数g(x)f(x)，x的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心. 【导学号：64012187】思路探究本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f(x)Asin(x)B的形式，然后求解解f(x)

10、2sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin.(1)T.(2)2k2x2kkxk(kZ)，函数f(x)的单调递减区间为(kZ)母题探究1将例5的条件变为“已知f(x)sinsin2cos2x”，试求f(x)2的x的取值范围解f(x)sinsin2cos2xsin 2xcos cos 2xsin sin 2xcos cos 2x·sin cos 2x1sin 2xcos 2x12sin1，f(x)2，2sin12，sin，2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，f(x)2的x的取值范围是.2将例5中的条件变为“f(x)sin 4x2sin xcos xcos4x”，试求该函数在0，上的单调增区间解f(x)sin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xsin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin.f(x)的单调增区间为