22　排序不等式

1、2.2排序不等式1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题.基础·初探教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，称a1b1a2b2anbn为这两个实数组的顺序和；称a1bna2bn1anb1为这两个实数组的反序和；称a1c1a2c2ancn为这两个实数组的乱序和.教材整理2定理(排序原理，又称为排序不等式)设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，则有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2an

2、cna1b1a2b2anbn，等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或b1b2bn，可简记作：反序和乱序和顺序和.已知xy，Mx4y4，Nx3yy3x，则M与N的大小关系是()A.M>NB.MNC.M<ND.MN【解析】由排序不等式，知MN.【答案】B质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型用排序不等式证明不等式(字母大小已定)已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2).【精彩点拨】由于题目条件中已明确abc，故可以直接构造两个数组.【自主解答】(1)ab>0，于是，

3、又c>0，>0，从而.同理，bc>0，于是，a>0，>0，于是得，从而.(2)由(1)知>0且abc>0，a2b2c2.由排序不等式，顺序和乱序和得，故.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.再练一题1.已知0<a1a2an，求证：a1a2an. 【导学号：38000035】【证明】0<a1a2an，aaa，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得a·a·a·.因此a1a2an.字母大小顺序不定的不等式证明设a，b，c为正数，

4、求证：.【精彩点拨】(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序.解答本题时不妨先设定abc，再利用排序不等式加以证明.【自主解答】不妨设0<abc，则a3b3c3，0<，由排序原理：乱序和顺序和，得a3·b3·c3·a3·b3·c3·，a3·b3·c3·a3·b3·c3·.将上面两式相加得2，将不等式两边除以2，得.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，

5、限定一种大小关系.(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论.再练一题2.本例的条件不变，试证明：abc.【证明】不妨设abc>0，则a2b2c2，则a2·b2·c2·(乱序和)a2·b2·c2·(反序和)，同理，b2·c2·a2·(乱序和)a2·b2·c2·(反序和).两式相加再除以2，可得abc.利用排序不等式求最值设a，b，c为任意正数，求的最小值.【精彩点拨】由对称性，不妨设abc>0，注意到1，设法构造数组，

6、利用排序不等式求解.【自主解答】不妨设abc，则abacbc，由排序不等式得，上两式相加，则23，即.当且仅当abc时，取最小值.1.分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组.2.运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值.再练一题3.已知x，y，z是正数，且xyz1，求t的最小值. 【导学号：38000036】【解】不妨设xyz>0，则x2y2z2，.由排序不等式，乱序和反序和.x2·y2·z2·xyz.又xyz1，1，当且仅当xyz时，等号成立.故t的最小值为1.探究共研型排序不等式的特点探究1排序不等式的本质含义是什么？【提

7、示】排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列.探究2排序原理的思想是什么？【提示】在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每

8、台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元.在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】这是一个实际问题，需要转化为数学问题.要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t12t2t3 min，求其最小值即可.【自主解答】设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t12t2t33×252×3045180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小.1.首先，理解题意

9、，实际问题数学化，建立恰当模型.2.三台电脑的维修时间3t12t2t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理).再练一题4.有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×55×46×38×210×184(分钟).即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少.1.设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列

10、为a1，a2，a3，则的最小值为()A.3B.6C.9D.12【解析】由题意，不妨设a1a2a3>0，则>0，3，当且仅当a1a2a3时等号成立.【答案】A2.设a，b，c为正数，Pa3b3c3，Qa2bb2cc2a，则P与Q的大小关系是()A.P>QB.PQC.P<QD.PQ【解析】不妨设abc>0，则a2b2c2>0.由排序不等式得a2ab2bc2ca2bb2cc2a.PQ.【答案】B3.锐角三角形中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的关系为()A.PQB.PQC.PQD.不能确定【解析】不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.【答案】C4.若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值是_.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最