同济大学(高等数学)第四章不定积分

1、第四章不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学.本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法.第1节不定积分的概念与性质1.1不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数(或微分)的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为ss(t),则质点在时刻t的瞬时速度表示为vs(t).实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度vv(t),求出质点的位移函数ss(t).即已知函数的导数，求原来的函数.这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在.为了便于研究，我们引入以下概念.1。1。1原函数定义

2、1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一xI,都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数.例如，在变速直线运动中，s(t)v(t),所以位移函数s(t)是速度函数v(t)的原函数；一，一一一一，八"一一，1再如，(sinx)'cosx,所以sinx是cosx在(，)上的一个原函数.(lnx)'-(x0),x所以lnx是-在(0,)的一个原函数.x一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件.定理1如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数F(x),使

3、对任一xI都有F(x)f(x).简言之，连续函数一定有原函数.由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数.定理1的证明，将在后面章节给出.关于原函数，不难得到下面的结论：若F(x)f(x),则对于任意常数C,F(x)C都是f(x)的原函数.也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个.假设F(x)和(x)都是f(x)的原函数，则F(x)(x)0,必有F(x)(x)C,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数.因此我们有如下的定理：定理2若F(x)和(x)都是f(x)的原函数，则F(x)(x)C(C为任意常数).若F(x)f(x),则F(x)C(C为任意常数

4、)表示f(x)的所有原函数.我们称集合F(x)C|C为f(x)的原函数族.由此，我们引入下面的定义.1.1。2不定积分定义2在区间I上，函数f(x)的所有原函数的全体，称为f(x)在I上的不定积分，记作f(x)dx.其中称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.由此定义，若F(x)是f(x)的在区间I上的一个原函数，则f(x)的不定积分可表示为f(x)dxF(x)C.注(1)不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素.(2)求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C.2例1求3xdx.23

5、_解因为(x)3x,所以3xdxxC.例2求sinxcosxdx.5解因为(sin12x)2sinxcosx,所以sinxcosxdx12-sinx2(2)因为(cos2x)2cosxsinx,所以sinxcosxdx(3)因为(cos2x)2sin2x4sinxcosx,所以)上的一个原函数，因此在(0,)内,0)上的一个原函数，因此在(，0)内,1一sinxcosxdx-cos2xC4一,_11,_解由于x。时，(Inx),所以inx是一在(0,xx1 .-dxInxC.x一，一，11,又当x0时，ln(x)一,所以ln(x)是一在(xx1-dxln(x)C.x1_综上，一dxInxC.x

6、例4在自由落体运动中，已知物体下落的时间为t,求t时刻的下落速度和下落距离.解设t时刻的下落速度为vv(t),则加速度a(t)史g(其中g为重力加速度).dt因此v(t)a(t)dtgdtgtC,又当t0时，v(0)0,所以C0.于是下落速度v(t)gt.又设下落距离为ss(t),则dsv(t).所以dt12s(t)v(t)dtgtdt-gtC,1c又当t0时，s(0)0,所以C0.于是下洛距离s(t)-gt2.1。1。3不定积分的几何意义设函数f(x)是连续的，若F(x)f(x),则称曲线yF(x)是函数f(x)的一条积分曲线.因此不定积分f(x)dxF(x)C在几何上表示被积函数的一族积分

7、曲线.积分曲线族具有如下特点(如图4。1):(1)积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；(2)积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的.例5设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程yf(x),曲线上任一点(x,y)处切线的斜率型2x,即f(x)是2x的一个dx原函数.因为2xdxx2C,又曲线过(1,2),所以21C,C1.于是曲线方程为2yx1.1。2基本积分公式由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算，我们把求不定积分的运算称为积分运算.既然积分运算与微分运算是互逆

8、的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式.11例如，因Jx=x,所以xdx-一C(1).11类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为基本积分公式.kdxkxC(k是常数)；小x1xdxC(1);1B1-dxInxC;x sinxdxcosxC； cosxdxsinxC；112 dxsecxdxtanxC;cosx1 2dxcscxdxcotxC;sinx&secxtanxdxsecxC;吩cscxcotxdxcscxC；arctan x C ，arcsin x12-dxarccotxC;1x1dxarccosxC，2.1x? exdx exC；例6求不定积分x2Vxdx.

9、5解x2.xdxx2dx5-1x25一12以上例子中的被积函数化成了哥函数x的形式，然后直接应用哥函数的积分公式求则可出不定积分.但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用基本积分公式求解，以结合不定积分的性质和基本积分公式求出一些较为复杂的不定积分.1。3不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质.性质1积分运算与微分运算互为逆运算(1) f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx.(2) F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C性质2设函数f(x)和g(x)的原函数存在，则f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.易得性质2对于有限个函数的都是成立的.性质

10、3设函数f(x)的原函数存在，k为非零的常数，则kf(x)dxkf(x)dx.由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：kf(x)lg(x)dxkf(x)dxlg(x)dx.例7求解 32 dx 3 1 dx 21 dx1 x 1 x21 x1 x23arctanx 2arcsin x C .例 8 求 1 x x dx .x(1 x )解原式=(1 x2)2xdx x(1 x )例 9 求 2xexdx .19 dx x3 x arctanx C . x 1 x 3解原式(2e) dx (2e)x Cln 2ex x2 e1 ln 2例10求一1一dx.1sinx解dx1 sin x1

11、 sin xsin x 1 sin xdx1-sin x 2dx cos x/2(secxsecxtanx)dxtanxsecxC.例11求tan2xdx.幺R.2.2角牛tanxdx=(secx1)dxtanxxC.注本节例题中的被积函数在积分过程中，将函数恒等变形再利用积分性质和基本积分公式,算的结果是否正确，可以通过它的逆运算(求导要么直接利用积分性质和基本积分公式，要么这种方法称为基本积分法.此外，积分运)来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否则是错误的.下面再看一个抽象函数的例子：例12设f(sin2x)cos2x,求f(x)?解由f(sin2x)cos2x1s

12、in2x,可得f(x)1x,从而f(x)x2c(11) 一dx ； (12) tan xdx;1 x4x2C.2习题411.求下列不定积分.1，Q-(1)dx；(2)xJxdx；x(3)dh=；(4)ax2bdx；,2gh242(5) jdx；(6)x2x3dx；1 xx1；一2一2dx；1x1x2(9)2ex3dx；(10)-dxxxx144009(13)(15)sin2-dx;(14)221cosxdx;(16)cos2xdx；cosxsinx(17)1cos2x23x52x3xsecxsecxtanxdx;dx；(18)xx3ext的函数，f(t) at b ( a,b为常数).设此产品

13、的2.已知某产品产量的变化率是时间产量函数为p(t),且p(0)0，求p(t).3.验证dxarcsin(2x1)C1arccos(12x)C22arctanJ；px-C?4.设f(x3)dxx3C,求f(x)?第2节换元积分法和不定积分法2。1换元积分法上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的.因此，有必要进一步研究不定积分的求法.这一节，我们将介绍不定积分的最基本也是最重要的方法换元积分法，简称换元法.其基本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为基本积分公式中的形式，从而计算不定积分.换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法.2

14、.1。 1第一类换元积分法定理1设f(u)具有原函数，u(x)可导，则有换元公式f(x)(x)dxf(u)du.(4.2。1)u(x)证明不妨令F(u)为f(u)的一个原函数，则f(u)duF(x)C.由不定积分的u(x)定义只需证明(F(x)f(x)(x),利用复合函数的求导法则显然成立.注由此定理可见，虽然不定积分f(x)(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可以当做自变量x的微分来对待.从而微分等式(x)dxdu可以方便地应用到被积表达式中.例1求3e3xdx.解3e3xdxe3x(3x)dxe3xd(3x)eudueC,最后,将变量u3x代入，即得3x3x-3e

15、dxeC-根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤：(1)将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分；(2)引入中间变量作换元；(3)利用基本积分公式计算不定积分；(4)变量还原.显然最重要的是第一步-凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法.例2求4x599dx.解被积函数(4x 5)99是复合函数，中间变量u 4x 5 , (4x 5)=4,这里缺少了中间变量u的导数4,可以通过改变系数凑出这个因子:99(4x 5)dx199199一 (4x 5)99 (4x 5) dx - (4x 5) d(4x 5)44199-u du100 u(4x5)100100-dxa解2为复合

16、函数，ux2a2是中间变量，且(x2a2)2x,xa2x2dx-2-2(x2a2)dx1212d(x2a2)xa2xa2xa1111oo-du-InuC-ln(xa)C.2u22对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成.3-F212212f解xj1x2dx-J1x2d(1x)-(1x)2C.注如果被积表达式中出现f(axb)dx,f(xm)xm-1dx,通常作如下相应的凑微分:f (ax1f (ax b)dx - f (ax b)d( ax b),b)xa1dx 1f (axnb)d( axn b) .a n例5求一 x(11 dx . 2ln x)解因为1dxxd In x1dx x

17、1 d(1+2ln x),所以 2dx x(1 2ln x)dln x 1 2ln x 21 2ln-d(1+2ln x) x1_-ln1+2lnxC.Oarctanx例6求-dx-1x1d arctan x,所以解因为3dx1xarctanx&xarctanx2 d arctanxarctanx2ln2例7求“dx.2,x解因为=dxddx,所以2,xsin Jx ：-dx2 - x在例4至例7中,没有引入中间变量, 出的常用的凑微分公式.sin xd xcos x而是直接凑微分.下面是根据基本微分公式推导'dx2dx.exdxdex. cosxdx sin xdxdsin

18、x .dcosx .0 2 dxcos x2.sec xdx dtan x 12 dxsin x2.csc xdxdcot x .1 . 1 dx1 x2d(arcsin x)d(arccos x) .d( arctan x)d( arccot x).23在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后,用凑微分法求不定积分.,.1例8求一a解将函数变形1 ." a1由dx ad',所以得到aTdx-dx x,x 1, x cd- - arctan- C 解1,a2=dx2xa1 d2 dx1 x2arcsin-C.a例10求tanxdxsin xdx

19、角牛 tanxdx =-cosxd cosxcosxIn cos同理，我们可以推得cotxdxInsinx2(1-cos x)dcosx例11求sin3xdx.解sin3xdxsin2xsinxdxsin2xdcosxcosx1cos3xC.3例12求sin2xcos解sin2xcos3xdx.22,.22,.sinxcosxcosxdxsinxcosxdsinx.2“.22sinx(1sinx)dsinx(sin.4、，.xsinx)dsinx例13求sin2xdx.1.3-sin3x1sin5xC.52.1cos2x.角牛sinxdxdx11.xsin2x24例14求secxdx.-1斛s

20、ecxdxdxcosxcos1xdxcosxdsinx1dsinx1sin2x-ln2sinxsinx1InsecxtanxC.同理，我们可以推得cscxdxlncscxcotxC.注对形如sinmxcosnxdx的积分,如果mn中有奇数，取奇次哥的底数（如则取cosx）与dx凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数从而可以顺利的计算出不定积分；如果m,n均为偶数，则利用倍角降为一次哥，再逐项积分.（半角）公式降哥，直至将三角函数例15求sin2xcos3xdx.1斛sin2xcos3xdx=sin5xdx2sinxdx=cos5x10IcosxC2_1=一cosx21co

21、s5xC.10般的，对于形如下列形式sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx,cosmxcosnxdx，的积分（mn）,先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分.例16求12x(xa)(xa)2a所以一dxxa12adx12a，dxxa，dxxa12a1 d(x a)x a1 d(x a)x a12aln x a|ln x1C ln 2a这是一个有理函数(形如£史的函数称为有理函数，P(x) , Q(x)均为多项式)的积Q(x)分，将有理函数分解成更简单的部分分式的形式，法.下面再举几个被积函数为有理函数的例子.然后逐项积分,是这种函数常用的变形方例 1

22、7 求 2 x 3一dx .x 5x 6解先将有理真分式的分母22x 5x 6因式分解彳导x 5x 6(x 2) (x 3).然后利用待定系数法将被积函数进行分拆.设高从而x 3A(x3)B(x分别将x3, x2代入故原式=例18求jx- x3 1解由x32(x 1)(x, A(x 3) B(x 2)=,(x 2)(x 2),3 A(xdx= 51n x3)3)B(x 2)中，易得AB61nx 3 C .两边同乘以1,得23A(x21)(BxC)(x1).令x所以1彳导A一dx1dxlnx12x13=1nxd(x21)12234=lnx.1221mx1)3arctan2xC.2。1。2第二类换

23、元积分方法定理2设x是单调，可导的函数，并且 (t) 0,又设f (t)(t)具有原函数,则有换元公式，f (x)dx f(t)dtt "其中， 1 (x)是x(t)的反函数.证明设f (t)(t)的原函数为1(x)F(x),利用复合函数及反函数求导法则得匚 /、d dt F (x)dt dx则F(x)是f(x)的原函数.所以f (t)f (t) f(x),f(x)dx F(x) C1_(x) Cf(x)dtt 1(x)利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数x代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将Xx)还原.常用的换元法主要有角函数代换法、简单

24、无理函数代换法和倒代换法.、三角函数代换法2.xdx(a解设xasint,Tt2It22一,、ax2acost,dxacostdt,22axdx=acostacostdta2cos2tdt2asintcostC.2. x arcsin 一,a因为xasint,t为求出cost ,利用224-2),求得cost-a-,a所以a2x2dx2xa2图4-2利用所以利用所以例20求dx(a0).22xa解令xatant,ttantdxTtTt一，一,dx22x2a2a2,asectdt,2,-costasectdtsectdtInsect一作辅助三角形（图43）,求得sectdx22.xa例21求In

25、dxx2解当xa时,dx2xa(a22xa,ta令xasect,t1一cottasecta0,dxasect2tantdtsectdtcosta作辅助三角形（图4-4）,求得tantxdx22.xaIna时,dxdu.In:22ua综上,tantdt，InsecttantC1Inx.x2a2由上面的结果，得C1InC,(Cxx2a2C,(CCi2lna).dxxa2Inxvx2a2tant|C.TtTt2,2Ina).Ci图4-4注当被积函数含有形如Ja2x2,Ja2x2,“a2的二次根式时，可以作相应的换元：xasint,xatant,xasect将根号化去.但是具体解题时，要根据被积函数的

26、具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换.二、简单无理函数代换法例22求dx1.2x解令uJ2x,x2,dx2例23求dx=2xdxudu1u11duuln1uC2x1uIn1(1+3/x)/x，可以作如下代换:(16(t6t5-23 dtt )tarctant)解为了去掉根式，作如下代换:12 xdx(t2t2 dt1 t6(6 xarctan 6 x)，dxdt22t 2 dt,从而(t2 1f1)2tf2t1)2dt22 t dt解被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式从而令t6/x,则xt6,dx6t5dt,3t3般的，如果积分具有如下形式n ax b

27、;(1)R(x,%xb)dx,则作变换tn的最小公倍数；(2)R(x,Q'axb,maxb)dx,则作变换tpaxb,其中(3)R(x，n；ax_b)dx ,则作变换 t yaxb .,cx dcx d运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数.三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数,可以尝试利用倒代1 换，即令x -,利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子 t例25求dx解令xx(x61)1 ,1 ,d x-2- dt ,t tdx/ 6 x(x1)包t1r 1t5rrdt1d(t6 1)-In 1 6t61ln 6例

28、26求22.a x4x解设x1 w-，则 dx t1Fdt,2 22a x4xdx1 t721at2dt(a2t211)2 t dt,当x0时，有2.a x4 dxx2a22 2(at11)%(a2t21)3/ 22工(a x )22 3 C 3a xx0时，结果相同.本例也可用三角代换法，请读者自行求解.四、指数代换例27求dxx 2xe (e1)解设ex t,则dx1tdt,于dxx, 2xe (e 1)1"22-dtt (1 t)11三一2 dtt 1 t注本节例题中，有些积分会经常遇到,1 arctant tOx arctane-x C .通常也被当作公式使用.承接上一节的基

29、本积分公式，将常用的积分公式再添加几个(a 0)：tanxdxlncosxC;cotxdxlnsinxC;cscdx=lncscxcotxC；secxdxlnsecxtanxC;-arctan一dx= ln2a©_J-22xa1.a2dx, x2dx1dxInIn例28求 .5dx4x解 dx.5 4x x2.x arcsin 一aC (a 0)d(x2),32(x 2)2x 2arcsin C .3例29求一dx.4x2解 dx ,4x2d2x(2x)2321 - ln(2x2,4x2 9) C .例30求dxx2 2x解x2dx2x 3d(x 1)(x 1)2 22In x1x2

30、 2x3例31求 2 x(x 2x 2)解被积函数为有理函数,且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方:(x 1)2 1 ,令 x 1 tant ,tTt Tt2,22x，则2 .2x 2 sec t , dxsec tdt .所以32dx(x2x2)3(1tant)24sectdtsect23(sintcost)3”cost(1tant)dtdtcost,.3.1.-.2,-,2,、“(sintcost3sint3sintcostcost)dt2lncostcost2tsintcostC.27图4-5按照变换x1tantt-,-22(辅助三角形图4-5),则有cost-=,x22x于是

31、3x22dx(x2x2)sint1ln(x22x2)2x22arctan(x1)x-2ZZx2x2来推导求积分udv转化成另我们不妨先设2。2分部积分法前面我们得到了换元积分法.现在我们利用“两个函数乘积的求导法则”的另一种基本方法一分部积分法.定理1设函数uu(x),vv(x)具有连续的导数，则udvuvvdu.(4。2。2)证明微分公式d(uv)udvvdu两边积分得uvudvvdu,移项后得udvuvvdu.我们把公式(4。2。2)称为分部积分公式.它可以将不易求解的不定积分个易于求解的不定积分vdu.例32求xcosxdx.解根据分部积分公式，首先要选择u和dv,显然有两种方式，ux,

32、cosxdxdv,即vsinx,贝UxcosdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC.采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择:12设ucosx,xdxdv,即v-x,贝U2,1,21212xcosxdxcosxdx-xcosxxsinxdx,2221比较原积分xcosxdx与新得到的积分-x2sinxdx,显然后面的积分变得更加复杂难以2解出.由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u和dv.如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂.在选取u和dv时一般考虑下面两点：(1) v要容易求得；(2) vdu要比udv容易求出.例33求xexdx.解令ux,

33、exdxdv,vex,则xexdxxdexxexexdxxexexC例34求x2exdx.解令ux2,exdxdv,vex,则利用分部积分公式得2x2x2xx22xx,xedxxdexeedxxe2xedx,这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x的哥次比原来降了一次,xexdx显然比x2exdx容易积出，根据例4。3。2,我们可以继续运用分部积分公式，从而得2 x .2 xx e dx x ex , 2 xe dx2 xxe 2 xde2xxxxe2(xee)Cex(x22x2)C.注当被积函数是备函数与正(余)弦或指数函数的乘积时，哥函数在d的前面，正(余)弦或指数函数

34、至于d的后面.例35求xlnxdx.12121 x2 Inx 1x2 C22斛令ulnx,xdx-dxv-x则2'2，,1,212,21,xInxdxInxdx-xInxx-dx22xx2Inx在分部积分公式运用比较熟练后,就不必具体写出u和dv,只要把被积表达式写成udv的形式，直接套用分部积分公式即可.例36求xarctanxdx.解 xarctan xdx - 2,2 arctanxdx1 x2 arctan x22x 2 dx1 x1 ,2-(x arctan x x arctanx) C .注当被积函数是募函数与对数函数或反三角函数的乘积时, 的前面，哥函数至于 d的后面.下

35、面再来举几个比较典型的分部积分的例子.例 37 求 ex sin xdx .对数函数或反三角函数在d解 (法)exsin xdxsin xdex exsinxex cosxdx_x 一e sinxcosxdexexx=e cosx e sin xsinxde=ex cosx exsinxex sinxdx ,.x .1 x,e sin xdx -e (sin x cosx) C 2,当被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会还原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法”，但要注意两次凑微分函数的选择要一致.例 38 求 sec3

36、 xdx .“R3斛 sec xdxsecxdtanx secx tanxsinxexcosxexsinxdx,x1xesinxdx-e(sinxcosx)2(法二)exsinxdxexd(cosx)ex(cosx)cosxd(ex)xxxx2secx tan xdx=ecosxcosxedxecosxedsinxsecxtanxsecxdx3.secxdx,禾U用secxdxInsecxtanxC1并解方程得tan x) +C .31secxdx=-(secxtanxInsecx在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法.例39求edx.解令t«xt2,dx2tdt,

37、edxet2tdt2tdet2tet2etdt2tet2etC2匠026''C.例40求cos(lnx)dx.解令tlnx,xet,dxetdt,t1t_x_cos(lnx)dx=costedt-esintcostC-sinInxcosinxC.22下面再看一个抽象函数的例子.例41已知f(x)的一个原函数是snx,求xf(x)dx?x解因为f(x)的一个原函数是皿，所以f(x)dx皿C,xxsinxxcosxsinx且f(x)2.从而xxxcosx2sinx原式xf(x)dxxdf(x)xfxf(x)dxC.x习题423dx2(1 2x)、求下列不定积分.2014-1.(2x

38、3)dx;2.k3.(abx)dx(b0);4.sin3xdx；5.cosxdx；6.tan5xdx;7. e3xdx；8.102xdx；.119.%x；10.-dxy；x19x42913.15.17.19.21.23.25.27.29.31.33.35.37.39.41.43.45.二、1.(2x3)dx;14.2x23x8exsinexdx；16.dx(arcsinx),12dx;22.3x2cosxdx;1tanx,dxsin2x3cos4secxdxxdxdx22sinxcosdxx2,x29x.xedx，cot,sindw20x(arctanx)4xdx;1324.sin4xdx;2

39、6.28.30.2cos2xsinxdx_._3_5sinxcosxdx，,4tanxdx,32.34.(14.xdx-1=)(1x2)3J；x2)立xdx3;36.(1x2)2d-；38.(x2a2)2dx=;40.2xx2-11T7'dx4x29'dx-小46-xx求下列不定积分.xsin2xdx;2.xcosxdx，22xa.dx,xdx125x2dxx(x21)x,x-x、2.-(ee)dx；4.x2axdx;3.315.lnxdx;6.nxlnxdx(n1)；7.arctanxdx；8.arccosxdx;9.axecosnxdx;10.2,xln(1x)dx;11.

40、3lnx2dx；x12.2.(arcsinx)dx;13.2xcosxdx.14.xtan2xdx；15.22xcosxdx;16.lncosx,dx;2x;cosx17.lnx3dx;x18.e'xdx.三、已知f(x)的一个原函数是v2e，求xf(x)dx.43第3节有理函数的积分3。1有理函数的积分有理函数的形式即具有如下形式的函数:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数P(x)aoxnaixn1Q(x)boxm«xm1anixanbm1xbm其中m和n都是非负整数aoa1a2an及bob1b2bm都是实数并且ao0bo0当nm时称这有理函数是真分式假分式总可以化成一

41、个多项式与一个真分式之和的形式而当nm时称这有理函数是假分式例如3x2xx1x(x21)1x21真分式的不定积分求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例1求x3x25x-dx6解?x3x25x-dx63dx(x2)(x3)dx6.odxx3dx6ln|x3|5ln|x2|C提示一x(x 2)(x 3)(AB)x(2A3B)AB13A2B3A6B5(x2)(x3)分母是二次质因式的真分式的不定积分x2x22xdxx2x22x-dx312x22x22x312x-)dx32x2x22x3dx1x22x3dx提示x 2x2 2x 31n2x 2) 3x2 2x 31x

42、2c 1z 3 -z2 x2 2x 3x2 2x 31x(x 1)2dx1d(x22x3)°d(x1)32x22x3(x1)2卜2)2元dxxydxx 11(x 1)2dx1人ln|x|ln|x1|-1-CxI提示1x(x1)21xxx(x1)211x(x1)(x1)21xx1111x(x1)(x1)2xx1(x1)23。2三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式用于三角函数有理式积分的变换：把

43、sinx、cosx表成tan）的函数然后作变换utanx222tan-xx2sinx2sincos-22sec2x22tan-2_1tan222u1u29xcosxcos2一21tan/sin2-22sec221u21u2变换后原积分变成了有理函数的积分例4求1sinxdxsinx(1cosx)人x2u1u2.2.解令utan-贝Usinx2cosx2x2arctanudx2du21u21u21u2于是1sinxdx。1u2)2二du1(u2-1)dusinx(1cosx)2u1u2、1u22u2(12)1u1u。(心2uln|u|)C1tan2-tanx-ln|tan-|C2242222说明

44、：并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如-cosdx1sinx1d(1sinx)ln(1sinx)C1sinx习题4-3求下列不定积分.1。dx2。2x3x23x10dx3.dxx(x21)5。C1dx(x1)(x1)(X(x21£1)2dx7.9.dx2;3sinxdx2sinx'dx3cosx10。dx1sinxcosx11.dx2sinxcosx512。dx13x1第4节MATLA瞅件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质，在此，我们应用MATLAB命令来实现这一操作。MATLAB符号运算工具箱提供了int函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(仅，x)%求函数f(x)关于x的不定积分参数说明：仅是函数的符号表达式，x是符号自变量，当仅只含一个变量时，x可省略。例计算下面的不定积分。xsinxdx1cosxsymsxI=int(x+sin(x)/(1+cosx)I=X*tan(x/2)说明：由上述运行结果可知，int函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：symsxcfx=f(x);int(仅，x)+c以Ixsinxdx为例，编写如下语句可以得到其不定积分:1cosxsymsxcfx=(x+sin(x)/(1+cos(x);I=int(fx,x)+cI=C+x*tan(