江苏省镇江市2016届高三上学期期末调研考试数学试题word版(含答案)

1、镇江市镇江市 2015201520162016 学年度第一学期期末检测试题学年度第一学期期末检测试题高三数学2016.1第一部分第一部分一、 填空题：本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，共 7070 分不需写出解答过程1. 若全集为 UR R，Ax|x2x0，则UC A _【答案】0，1【命题立意】本题旨在考查集合的补集运算，考查概念的理解和运算能力，难度较小【解析】由题可得2010Ax xxx xx或，0,1UC A 2. i 为虚数单位，计算1i2i_【答案】31i55【命题立意】本题旨在考查复数的除法运算与概念，考查概念的理解能力，难度较小【解析】1-i2+i1-i3-i3 i

2、=-2-i2-i2+i55 53. 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 球颜色不同的概率为_【答案】35【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用，考查概念的理解能力，数据的运算能力，难度中等.【解析】对红球和白球进行编号：红 1；红 2；红 3；白 1；白 2，则摸到的 2 球的可能性有10 种：红 1，红 2；红 1，红 3；红 1，白 1；红 1，白 2；红 2，红 3；红 2，白 1；红 2，白2；红 3，白 1；红 3，白 2；白 1，白 2；摸到的 2 球颜色不同的有 6 种：红 1，白 1；红 1，白 2；红 2，白 1；红 2，

3、白 2；红 3，白 1；红 3，白 2；故摸到的 2 球颜色不同的概率为354. 已知实数x，y满足xy2，xy8，x1，则z2xy的最小值是_【答案】1【命题立意】本题旨在考查线性规划最值问题，考查数形结合思维，难度中等【解析】作出不等式组xy2，xy8，x1，其是由点1,7A,1, 1B,5,3C围成的三角形区域（包含边界） ，对于目标函数 z2xy，转化为直线2yxz ，过点1, 1B时，z最小，即2 1 11z 5.5. 阅读如图所示的程序框，若输入的 n n 是 3030，则输出的变量 S S 的值是_(第 5 5 题图)【答案】240【命题立意】本题旨在考查算法的当型流程图及其应用

4、考查运算和推理能力，难度较小【解析】 根据算法的流程图， 当30n ，2n ，30S ，28n ； 当28n ，2n ，58S ，26n ； ， 当2n ，15 30230282622402S，0n 输出240S 6.6. 已知向量a a(2，1)，b b(1，0)，则|2ab|_【答案】 13【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积，考查运算能力，难度较小【解析】23,2ab ，2223213ab7. 已知函数f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，f(x)1log2x，则不等式f(x)0 的解集是_【答案】(2，0)(2，)【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，不等式

5、的运用，考查数形结合思维，难度中等【解析】当x0 时， 2log1f xfxx ,f(x)0 时，f(x)1log2x，f(x)0,即21 log0 x，解得2x ，综上所述，不等式f(x)0，0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为_【答案】2【命题立意】本题旨在考查三角函数的几何性质，基本不等式，考查概念的理解和运算能力，难度较小【解析】取函数yasin(ax)(a0，0)的最大值为a，周期为2Ta，所以同一周期内相邻的最高点与最低点的距离为：22224242aaaa（当且仅当2a时，等号成立） ，故答案为 212.Sn是等差数列an的前n项和，若SnS2nn14n2，则a3a

6、5_【答案】35【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前 n 项和，考查学生的运算能力，难度中等【解析】由SnS2nn14n2可得，111212122212nnnnn aaaann aaaan，当1n 时，112223aaa，212112 ,aa daaa，311511233455aadaaada13. 函数f(x)x2x，x0，12|12x|，x0，若关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为_【答案】13，1)(1，)【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数与方程考查概念的理解和运算能力，难度中等.【解析】作函数图象可得，当ykxk过点1 1,2 2时，直

7、线的斜率最小即13k ，当直线ykxk与20yxx x相切时有一个交点，1ky，故函数f(x)x2x，x0，12|12x|，x0，与直线ykxk有两个不同的交点时，k的取值范围为13，1)(1，)，即关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为13，1)(1，)14. 由 sin 36cos 54，可求得 cos 2 016的值为_【答案】514【命题立意】本题旨在考查三角函数值，诱导公式考查概念的理解和运算能力，难度中等.【 解 析 】 由 sin36 cos54 得00000sin362sin18 cos18cos 3618即2004sin 182sin1810

8、 ，解得20221651sin182 44 ，000002051cos2016cos 5 360144cos 144cos362sin 1814 ，二、 解题题：本大题共 6 6 小题，共计 9090 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)如图：四棱锥 PABCD 中，PDPC，底面 ABCD 是直角梯形，ABBC，ABCD，CD2AB，点 M是 CD 的中点(1) 求证：AM平面 PBC；(2) 求证：CDPA.(第 1515 题图)【答案】 （1）略； （2）略【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定、线线垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化

9、书写表达能力，难度较小.【解析】证明：(1) 在直角梯形 ABCD 中，ABCD，CD2AB，点 M 是 CD 的中点，由 ABCM，且 ABCM，所以四边形 ABCM 是平行四边形，且是矩形(3 分)所以 AMBC， （4 分）又因为 BC平面 PBC， （5 分）AM 是平面 PBC 外一条直线， （6 分）故 AM平面 PBC，(2) 连接 PM，因为 PDPC，点 M 是 CD 的中点，所以 CDPM，(8 分)又因为四边形 ABCM 是矩形，CDAM，(9 分)CDAM，CDPM，PM平面 PAM，AM平面 PAM， （10 分）PMMAM， （11 分）CD平面 PAM.(12 分

10、)又因为 AP平面 PAM，(13 分)所以 CDPA.(14 分)16.16. (本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，向量m m(ac，bc)，n n(bc，a)，且m mn n.(1) 求B；(2) 若b 13，cosA6 3 3926，求a.【答案】 （1）B3； （2）1【命题立意】本题旨在考查向量的平行的运算，余弦定理，同角三角函数的基本关系，三角变换，正弦定理；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.能力，难度较小【解析】 (1) 因为m mn n，所以a2c2b2ac，(2 分)因为 cosBa2c2b22acac2ac1

11、2，(4 分)B(0，)(5 分)故B3.(6 分)(2) 因为A66，56，(7 分)cosA6 3 3926，所以 sinA6 5 1326，(9 分)所以 sinAsinA6 6 3926，(11 分)在ABC中，由正弦定理可得：asinAbsinB，(13 分)解得a1.(14 分)17. (本小题满分 14 分)如图，某工业园区是半径为 10km 的圆形区域，离园区中心O点 5km 处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域(1) 设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内

12、再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值(第 1717 题图)【答案】 （1）的最小值为23，较小区域面积的最小值是 502332km2.； （2）20201010 3 3kmkm【命题立意】本题旨在考查导数在函数中的应用，考查学生的推理分析能力，难度中等.【解析】(1) 如图 1，作 OHAB，设垂足为 H，记 OHd，2AOH，因为cosAOHd10，(1 分)要使有最小值，只需要 d 有最大值，结合图像可得，dOP5km，(3 分)当且仅当 ABOP 时，dmin5km.此时min2AOH2323.(4 分)设 AB 把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为 S，根据

13、题意可得：Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6 分)f()50(1cos)0 恒成立，f()为增函数，(7 分)所以 Sminf23502332km2.(8 分)答：视角的最小值为23，较小区域面积的最小值是 502332km2.(9 分)(第 1717 题图 1 1)(2 2) 如图 2 2，分别过 O O 分别作 OHOHABAB，OHOH1 1CDCD 垂足分别是 H H，H H1 1，记 OHOHd d，OHOH1 1d d2 2，由(1 1)可知 d d1 10 0，5 5所以 d d2 21 1d d2 22 2OPOP2 22525，且 d d2 22 22525d d2

14、21 1(1010 分)因为 ABAB2 2 100100d d2 21 1，CDCD2 2 100100d d2 22 2，所以 ABABCDCD2 2( 100100d d2 21 1 100100d d2 22 2)2 2( 100100d d2 21 1 7575d d2 21 1)，(1111 分)记 L L(d d1 1)ABABCDCD2 2( 100100d d2 21 1 7575d d2 21 1)，可得 L L2 2(d d1 1)4 41751752 2 （100100d d2 21 1） （7575d d2 21 1），(1212 分)由 d d2 21 10 0，2

15、525，可知 d d2 21 10 0，或 d d2 21 12525 时，L L2 2(d d1 1)的最小值是 100100(7 74 4 3 3)，从而 ABABCDCD 的最小值是 20201010 3 3 km.km.(1313 分)答：两条公路长度和的最小值是 20201010 3 3 km.km.(1414 分)(第 1717 题图 2 2)18.18. (本小题满分 1616 分)已知在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1(ab0ab0)的离心率为3 32 2，左顶点为 A A(3 3，0 0)，圆心在原点的圆 O O 与

16、椭圆的内接三角形AEFAEF 的三条边都相切(1 1) 求椭圆方程；(2 2) 求圆 O O 方程；(3 3) B B 为椭圆的上顶点，过 B B 作圆 O O 的两条切线，分别交椭圆于 M M，N N 两点，试判断并证明直线 MNMN 与圆 O O 的位置关系(第 1818 题图)【答案】 （1）x29y2941； （2）x2y21； （3）直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；圆的方程，直线与圆的位置关系；考查运算能力，难度中等.【解析】 (1) 由题意可知ca32，a3，得：c3 32，(2 分)因为 a2b2c2，所以 b294，

17、(3 分)故椭圆的标准方程是：x29y2941.(4 分)(2) 设直线 AE 的方程：yk(x3)，点 E(x1，y1)，由x29y2941，yk（x3） ，可得(4k21)x224k2x36k290.(5 分)因为3x124k24k21，得 x1312k24k21，代入直线 yk(x3)，得 y16k4k21，所以 E312k24k21，6k4k21 ，(7 分)同理可得 F312k24k21，6k4k21 ，(9 分)根据条件可知圆心 O 到直线 AE 的距离等于圆心 O 到直线 EF 的距离可得|3k|k21|312k24k21|r，解之得 k218，(10 分)从而 r21，所以圆

18、O 的方程为：x2y21.(11 分)(3) 设直线 BM 的方程为 ykx32，因为直线 BM 与圆 O 相切，所以 dr，解得 k52，(14 分)当 k52，lBM：y52x32，由x29y2941y52x32，解得 x2 5x0.(11 分)所以 M( 5，1)，(12 分)同理可得 N( 5，1)(13 分)可得直线 MN 方程是：y1，(15 分)直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切(16 分)【方法技巧【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.19.19. (本小题满

19、分 1616 分)已知数列a an n)的各项都为自然数，前 n n 项和为 S Sn n，且存在整数，使得对任意正整数 n n 都有S Sn n(1 1)a an n恒成立(1 1) 求值，使得数列a an n)为等差数列，并求数列a an n)的通项公式；(2 2) 若数列a an n为等比数列，此时存在正整数 k k，当 1 1kjk0 x0，2a2a3 3，m m1 1，f f(x x)b b2a2a1 1e e1 1a a恒成立，求正数 b b 的范围【答案】 （1）当 a0 时，函数 f(x)的增区间是(，0)，减区间是(0，)；当 a0 时，函数f(x)的增区间是(，0)1a，减

20、区间是0，1a ； （2）当 2m4 时，04时，00，则 x0；令 f(x)0；若 a0，得1ax0；由 f(x)x 或 00，由 f(x)0，得 0 x0，得 x1a或 x0；综上可得：当 a0 时，函数 f(x)的增区间是(，0)，减区间是(0，)；(3 分)当 a0 时，函数 f(x)的增区间是(，0)1a，减区间是0，1a (7 分)(2) 因为 2a3，m1，由(1)x(0，)上函数 f(x)的最小值是 f1a .因为 f(x)b2a1e1a恒成立，所以 f1a b2a1e1a恒成立，(8 分)所以e1a(2a1)b2a1e1a恒成立，即 2a1b2a1恒成立(9 分)由 2a3，

21、m1，令 2a1t2，m，则 tbt，所以lnblnttg(t)，(10 分)由 g(t)1lntt2，可知函数 g(t)在(0，e)上递增；(e，)上递减，且 g(2)g(4)(11分)当 2m4 时，g(t)ming(2)ln22，从而lnbln22，解得 04 时，g(t)ming(m)lnmm，从而lnblnmm，解得 0bm1m，(15 分)故：当 2m4 时，04 时，0y，求证：x4x22xyy2y3.【答案】略【命题立意】本题旨在考查基本不等式及其应用考查运算求解能力，难度较小【解析】证明：xy4x22xyy2(xy)4（xy）2(3 分)xy2xy24（xy）2，(5 分)因

22、为xy，xy0，所以xy2xy24（xy）233xy2xy24（xy）23，当且仅当xy2xy24（xy）2取等号，此时xy2.(10 分)【必做题】第 2222 题、第 2323 题，每题 1010 分，共计 2020 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图，在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1) 求两条异面直线 AC1与 BE 所成角的余弦值；(2) 求直线 BB1与平面 BED1F 所成角的正弦值(第 2222 题图)【答案】 （1）39393939； （2）3 1414【命题立意】本题旨在考查空间直角坐标系的建立，空间向量的应用，空间异面直线所成角、线面所成角的求解与应用等考查空间想象能力和识图能力，难度中等.【解析】(1) 以 D 为原点，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图所示，(第 2222 题图)则 A A(3 3，0 0，0 0)，C C1 1(0 0，3 3，3 3)，ACAC1 1(3 3，3 3，3 3)，B B(3 3，3 3，0 0)，E E(3 3，0 0，2 2)，BEBE(0 0，3 3，2 2)(2 2