节常用统计分布

1、第二节常用统计分布取得总体的样本后，通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断 ，为此须进- 步确定相应的统计量所服从的分布 ，除在概率论中所提到的常用分布外 ，本节还要介绍几个 在统计学中常用的 统计分布：2分布t分布F分布分布图示引言分位数例12分布例2 t分布例3 F分布例4内容小结课堂练习习题5-2内容要点一、分位数设随机变量X的分布函数为F(x),对给定的实数：.(0：1),若实数F一.满足不等式PX AFQ 皿，则称F.为随机变量X的分布的水平:-的上侧分位数.UL若实数T.满足不等式P| X AT& R，则称为随机变量X的分布的水平：的双侧分位数.、2分布定义1设XX

2、2，Xn是取自总体N(0,1)的样本，则称统计量2 2 2 2上=Xl +X2 卡一 +Xn(1)服从自由度为n的2分布，记为2 2(n).这里，自由度是指(1)式右端所包含的独立变量的个数丄x e 2 ，x 0.xO2 (n)分布的概率密度：1 n f(x) = 2n/2】(n/2) % I0，其中-()为Gamma函数，f (x)的图形如5-2-3.1. 2分布的数学期望与方差：若 2 2(n),贝U E( 2) = n, D( 2) =2n.2. 2分布的可加性：若2(m), 2 2(n),且 12, 2 相互独立，则12 2 2(m n).3. 宇分布的分位数：设 2 ；(n),对给定

3、的实数(0 ：1),称满足条件f (x)dx 弋的点为2(n)分布的水平a的上侧分位数.简称为上侧口分位数.对不同的。与n,分位数的值已经编制成表供查用(参见附表).三、t分布定义2设XN(01),Y 2(n)，且X与Y相互独立贝U称f(x)(n 1)/2、FnF(n /2)F分布具有如下性质1若 X t(n)，则X2F(1, n);服从自由度为n的t分布，记为t t(n),t(n)分布的概率密度：n -1x2 一1,: t :nt分布具有如下性质：1. f(x)的图形关于y轴对称，且lim f(x)=O;2当n充分大时，t分布近似于标准正态分布；3. t分布的分位数：设Tt_. (n),对给

4、定的实数(0 ： : ：1),称满足条件PTt;.(n) =L(n)f(x)dx=：的点t-.(n)为t(n)分布的水平的上侧分位数.由密度函数f (x)的对称性， tn) "：.(n).类似地，我们可以给出t分布的双侧分位数f(±2 (n):处P|T| t-./2(n)f(x)dxf(x)dx=:,t 一化(n)显然有ototPT t/2(n) = 2； PT T/2(n) = 2. 对不同的：与n, t分布的双侧分位数可从附表查得.四、F分布定义3设X 2(m),Y 2(n),且X与Y相互独立，则称r X / m nX Y / n mY 服从自由度为(m,n)的F分布，

5、记为FF(m, n).F(m, n)分布的概率密度：f(x) 0,x _012. 若 F F(m,n),贝卩丄 F(n,m).F3. F分布的分位数：设F F ：.(n,m)，对给定的实数：( =1),称满足条件boPF >Fo(n,m) = J ) f(x)dx=«的点F.(n,m)为F(n,m)分布的水平：的上侧分位数 F分布的上侧分位数的可自附表查得4. F分布的一个重要性质：F (m, n)aQ n,m)此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数.例题选讲分位数例1 (E01)设口 =0.05,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数解 由于(u0.0

6、5) =1 -0.05 =0.95,查标准正态分布函数值表可得u0.05 =1.645,而水平0.05的双侧分位数为 U0.025,它满足:(U0.025)=1 0.025 =0.975,查标准正态分布函数值表可得u0.025 =1.96.注：今后，分别记U-.与U：./2为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数2分布例2 (E02)设X1,，X6是来自总体N(0,1)的样本，又设2 2Y 二(X1 X2 X3)(X4 X5 X6),C,使CY服从 2分布.因为 X1 X2 X3 N (0,3) X4 X5 X6 N (0,3) ：X2 ' X3X4 : X5 ：；'X62 入3

7、 N(0,1),入4 X5 X6,3-.3试求常数解所以X1 N (0,1),且相互独立，于是故应取X1X2 X3X4X5X62(2),则有-Y 2(2).3t分布例 3 (E03)-4(X-2)J Yi2i =1L :y 2设随机变量X N(2,1),随机变量Y1,Y2,Y3,Y4均服从N(0,4),且 X,Y(i =1,2,3,4)都相互独立,令t=4(x_2) 2试求T的分布，并确定t0的值，使P| T |t0 =0.01.解 由于 X 2 N(0,1), Y/2 N(0,1), i =1,2,3,4,故由t分布的定义知X -2即T服从自由度为4的t分布：Tt(4).由 P|T| t。 =0.01.对于 n =4, ： =0.01 查附表 4,得 t：./2 =to.o05(4) =4.6041.F分布例4 (E04)设总体X服从标准正态分布，X1,X2- ,Xn是来自总体X的一个简单随机样 本，试问统计量也一1誉Xi2服从何种分布？5因为 Xj N(0,1),、X2i 4n2(5), Xi2 2(n 5),i z655且 V Xi2i An与7 Xi2相互独立，所以i J Xi2 5一旦F(5, n-5),再由统计量Y的表达式，、Xi2 (n5)i J即得 Y F (5, n 5).课堂