第四章定量资料的统计描述_正态分布及其应用

1、上两节问题？上两节问题？2变异指标小结变异指标小结1 1极差较粗，适合于任何分布；极差较粗，适合于任何分布；2 2四分位间距比极差稳定，但仍未考虑每个观察值的变四分位间距比极差稳定，但仍未考虑每个观察值的变 异。异。常用于常用于:偏态分布资料偏态分布资料; 分布不明分布不明; 分布末端分布末端 无确切值无确切值; ;3 3标准差标准差与均数的单位相同，最常用，适合于正态分布；与均数的单位相同，最常用，适合于正态分布；4 4变异系数主要用于单位不同或均数相差悬殊资料；变异系数主要用于单位不同或均数相差悬殊资料；5 5平均指标和变异指标分别反映资料的不同特征，常配平均指标和变异指标分别反映资料的不

2、同特征，常配 套使用。套使用。 如如 正态分布：正态分布：均数、标准差；均数、标准差； 偏态分布：偏态分布：中位数、四分位间距中位数、四分位间距4n正态分布的概念和特征正态分布的概念和特征n正态曲线下面积的分布规律正态曲线下面积的分布规律n标准正态分布的性质标准正态分布的性质n正态分布的应用正态分布的应用59岁男童肺活量的频数图如下：岁男童肺活量的频数图如下：7 随人数逐渐增随人数逐渐增多，组段不断分细，多，组段不断分细，频数分布图直条逐渐频数分布图直条逐渐变窄，会逐渐形成一变窄，会逐渐形成一条高峰位于中央条高峰位于中央(均数均数所在处所在处)、两侧逐渐降、两侧逐渐降低且左右对称、不与低且左右

3、对称、不与横轴相交的光滑曲线横轴相交的光滑曲线, ,近似于数学上正态分近似于数学上正态分布曲线。布曲线。 8正态曲线（正态曲线（normal curvenormal curve）的发现）的发现de Moivre（1667-1754），），published in 1733Laplace（1749-1827）:性质性质Gauss（1777-1855）正态分布）正态分布: 又称又称高斯分布高斯分布（Gaussian distribution）(测量误差测量误差)正态分布（正态分布（normal distribution）又名）又名高斯分布高斯分布（Gaussian distribution），是一

4、个在数学、物理），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，及工程等领域都非常重要的概率分布，在在统计学统计学的许多方面有着重大的影响力。的许多方面有着重大的影响力。 9一一.正态分布的概念和特征正态分布的概念和特征 1.正态分布的概念正态分布的概念医学资料中有许多指标的频数分布都呈正态分布医学资料中有许多指标的频数分布都呈正态分布: : 身高身高 体重体重 脉搏脉搏 血红蛋白血红蛋白 血清总胆固醇血清总胆固醇 10若指标或变量若指标或变量 X 的频数或频率分布曲线对的频数或频率分布曲线对应于数学上的正态分布曲线，则称该指标应于数学上的正态分布曲线，则称该指标服从正态分布。服从正态分

5、布。一一.正态分布的概念和特征正态分布的概念和特征 1.正态分布的概念正态分布的概念11正态分布曲线的密度函数为：正态分布曲线的密度函数为： -X X+ 与与X范围内曲线下的面积相等，各占范围内曲线下的面积相等，各占50%；16曲线下在区间曲线下在区间(，)的面积为的面积为68.27%，曲线下在区间曲线下在区间(1.64，1.64)的面积为的面积为89.90%，曲线下在区间曲线下在区间(1.96，1.96)的面积为的面积为95.00%，曲线下在区间曲线下在区间(2.58，2.58)的面积为的面积为99.00%。1768.27%士士范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的68

6、.2768.27，也，也就是说有就是说有68.2768.27的变量值分布在此范围内。的变量值分布在此范围内。18士士1.641.64范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的9090，也就是，也就是说有说有9090的变量值分布在此范围内。的变量值分布在此范围内。5%5%90%192.5%2.5%95%士士1.961.96范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的9595，也就是说有也就是说有9595的变量值分布在此范围内。的变量值分布在此范围内。200.5%0.5%99%士士2.582.58范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的9999

7、，也就是说有也就是说有9999的变量值分布在此范围内。的变量值分布在此范围内。21三、标准正态分布三、标准正态分布1. 标准化变换标准化变换2.标准正态分布曲线下面积规律标准正态分布曲线下面积规律221. 标准化变换标准化变换 令 若若 x 服从正态分布服从正态分布 N ( ， ) ，则，则 z 服从服从均数为均数为0、标准差为、标准差为1的正态分布的正态分布,记为记为 N (0，1)，这一变换也称为标准化变换这一变换也称为标准化变换。xZ22()21()2Xf Xe23N(,2)N（0，1）从一般的正态分布转变为标准的正态分布从一般的正态分布转变为标准的正态分布xZ24统计学家按标准正态分布

8、的累积概率分布统计学家按标准正态分布的累积概率分布函数函数 (-Z)编制了附表编制了附表2（P438）：标准正）：标准正态分布曲线下的面积，由表可查出曲线下态分布曲线下的面积，由表可查出曲线下某区间的面积。某区间的面积。25标准正态分布曲线下面积标准正态分布曲线下面积 (Z)0Z26标准正态分布查表标准正态分布查表-2.62Z=-2.62z0.00 0.01 0.02-3.00.00130.00130.0013-2.90.00190.00180.0018-2.80.00260.00250.0024-2.70.00350.00340.0033-2.60.00470.00450.0044-2.50

9、.00620.00600.0059Standardized Normal Probability Table(p261)P=0.0044概率概率27查附表查附表2时注意事项：时注意事项：曲线下横轴上的总面积为曲线下横轴上的总面积为100%或或1；表中曲线下面积为表中曲线下面积为-到到Z的面积；的面积；对于任意对于任意(z1, z2)范围内的面积或频数比例。范围内的面积或频数比例。28图4.7 查表法求标准正态曲线下面积示意图Z1 Z229查附表查附表2时注意事项：时注意事项：曲线下横轴上的总面积为曲线下横轴上的总面积为100%或或1；表中曲线下面积为表中曲线下面积为-到到Z的面积；的面积；对于

10、服从正态分布的变量对于服从正态分布的变量x，先进行标准，先进行标准化变换（化变换（ ），然后借助标准正态分），然后借助标准正态分布表可得到任意布表可得到任意(x1, x2)范围内的面积或范围内的面积或频数比例。频数比例。XZXZXZ30n例例1. 某项目研究婴儿的出生体重服从某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为正态分布，其均数为3150g，标准差为，标准差为350g。若以。若以2500g作为低体重儿，试估作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。计低体重儿的比例。 31u250031501.86350 曲线下面积分布规律曲线下面积分布规律0-11-1.961.96-2.582.5868.2

11、7%95.00%99.00%-+-1.96+1.96-2.58+2.5868.27%95.00%99.00%标标 准准 正正 态态 分分 布布 正正 态态 分分 布布 面面 积积 或或 概概 率率 -1 1 6 8 .2 7 % -1 .9 6 1 .9 6 1 .9 6 9 5 .0 0 % -2 .5 8 2 .5 8 2 .5 8 9 9 .0 0 % 33四、正态分布的应用四、正态分布的应用估计频数分布估计频数分布制定医学参考值范围制定医学参考值范围质量控制质量控制 是许多统计方法的理论基础是许多统计方法的理论基础34n例例1. 某项目研究婴儿的出生体重服从某项目研究婴儿的出生体重服从

12、正态分布，其均数为正态分布，其均数为3150g，标准差为，标准差为350g。若以。若以2500g作为低体重儿，试估作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。计低体重儿的比例。 35u250031501.86350 36四、正态分布的应用四、正态分布的应用估计频数分布估计频数分布制定医学参考值范围制定医学参考值范围质量控制质量控制 是许多统计方法的理论基础是许多统计方法的理论基础372. 制定医学参考值范围制定医学参考值范围( medical reference interval)又称又称正常值范围正常值范围(normal range)383940确定观察对象和抽取足够的观察单位确定观察对象和抽取足够

13、的观察单位 测定方法应统一、准确测定方法应统一、准确 应采用得到公认的或权威机构推应采用得到公认的或权威机构推荐的标准方法，以利于结果的评价和比较。荐的标准方法，以利于结果的评价和比较。 判断是否分组判断是否分组(性别性别,年龄组年龄组) 单、双侧问题单、双侧问题 选择百分界值选择百分界值(90%,95%) 根据资料特点，选用恰当计算方法根据资料特点，选用恰当计算方法41单侧下限单侧下限-过低异常过低异常 单侧上限单侧上限-过高异常过高异常 双侧双侧-过高、过低异常过高、过低异常 单侧下限单侧下限异常异常正常正常单侧上限单侧上限异常异常正常正常异常异常正常正常双侧下限双侧下限双侧上限双侧上限异

14、常异常42正态分布法正态分布法 ：适用于正态或近似正态分布资料。适用于正态或近似正态分布资料。双侧界值：双侧界值： 单侧上界：单侧上界： ；单侧下界：；单侧下界： 对数正态分布法：对数正态分布法：适用于对数正态分布资料适用于对数正态分布资料双侧界值：双侧界值：百分位数法：百分位数法：常用于偏态分布资料常用于偏态分布资料 双侧界值双侧界值: P2.5和和P97.5；单侧上界；单侧上界: P95；或单侧下界；或单侧下界: P5 XZSXZSX ZS1lglglg ()xxXZS43表表4.5 参考值范围的制定参考值范围的制定 44n例例4.22 某地调查正常成年男子某地调查正常成年男子200人的红

15、人的红细胞数，得均数细胞数，得均数 =55.261012/L，标准，标准差差S=0.381012/L，试估计该地正常成年，试估计该地正常成年男子红细胞数的男子红细胞数的95%参考值范围。参考值范围。 X45解：该地正常成年男子红细胞数的解：该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为参考值范围为 下限：下限： 1.96S =55.26 1.960.38=54.52(1012/L) 上限：上限： 1.96S =55.26 1.960.38=56.00(1012/L)XX46n例例4.23 2005年某市进行的小学生体质评年某市进行的小学生体质评价研究中，测定了价研究中，测定了120名名9岁男孩的肺活岁男孩的肺活量量, =1.672L，S=0.298L，试估计，试估计9岁岁男孩的肺活量的男孩的肺活量的95%参考值范围。参考值范围。 X471.641.6721.640.2981.183(L)XS48n例例7. 测得某年某地测得某年某地282名正常人的尿汞值名正常人的尿汞值如下表所示，试制定正常人尿汞的如下表所示，试制定正常人尿汞的95%参参考值范围。考值范围。49尿汞值尿汞值频数